2) Дифференциальное исчисление: производная, ее геометрический смысл, правила дифференцирования. Производная сложной функции, параметрически заданной, неявно заданной, логарифмическая производная. Дифференциал, производные высших порядков. 3) Условия монотонности функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость кривой. Асимптоты плоских кривых. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1)Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования неопределенных интегралов ( непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям). Интегрирование рациональных функций, тригонометрических функций, некоторых иррациональных функций.

2)Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, интеграл с переменным верхним пределом. Приближенное вычисление интегралов ( формула трапеций и формула Симпсона).

3)Несобственные интегралы первого и второго рода, определение и сходимость.

6.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТСТАТИСТИКА.

1)Введение в теорию вероятностей. События. Основные понятия. Классическое определение вероятности. Свойства. Примеры. Статистическое определение вероятности. Принципы. Геометрическое определение вероятности. Примеры.

2)Сумма и произведение событий. Противоположное событие. Свойства суммы и произведения. Примеры. Теорема о вероятности суммы двух несовместных событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий. .Теорема о вероятности противоположного события Теоремы о вероятности произведения двух совместных событий, двух несовместных событий. Примеры.

1)Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Пример на формулу полной вероятности и формулы Байеса.

2)Основные понятия и правила комбинаторики. Примеры на правила. Виды выборок: размещения, перестановки, сочетания. Примеры. Бином Ньютона. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Следствия. Пример. Локальная

3)Случайная величина. Виды: дискретная, непрерывная, смешанная. Примеры. Закон распределения случайной дискретной величины. Таблица и многоугольник распределения. Пример. Математическое ожидание случайной дискретной величины. Свойства. Пример. Дисперсия случайной дискретной величины. Свойства. Пример.

4)Функция распределения вероятностей случайной непрерывной величины. Свойства функции. Пример.

5)Плотность распределения вероятностей. Свойства. Пример.

6)Математическое ожидание и дисперсия случайной непрерывной величины. Пример. 7) Равномерное распределения вероятностей случайной непрерывной величины.

8)Нормальное распределения вероятностей случайной непрерывной величины. Следствия. Примеры.

10 КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

ПРИМЕР ИНДИВИДУАЛЬНОГО РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ.

1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1)найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя умножение матриц.

x 7x2 2x3 3, 3x1 5x2 x3 5,

2x1 5x2 5x3 4.

2. Применяя метод исключения неизвестных, исследовать и решить ( в случае совместности) следующие системы уравнений.

x1 2x2 x3 3x4 5, 2x1 4x2 2x3 6x4 10,

13

2x1 x2 x4 20.

3. а) Какой угол составляют между собой два вектора a i j 4k , b i2 j 2k ?

б) Найти величину площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы

a i 3j k , b 2i j 3k .

4. а) Через точку пересечения прямых xy30, 2x3y 110 провести прямую, параллельную прямой 5x4y17 0.

б) Найти проекцию точки M(0;1;2) на прямую x 1 y z 1. 2 1 0

5. 1) Вычислить указанные пределы

3x3 5x2 2 x2x3 5x2 1

а) lim ;

2x2 3x 1 x1 2x2 5x 3

б) lim ; в)

limarctg2x; x0 4x

г) lim 2x 3 ln x 2 xln x.

2) Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж. 3,x 0,

fxsinx,0 x ,

x 2 ,x 2 .

6. 1) Найти производные dx данных функций.

2)Построить график функции y f x, используя общую схему исследования

3)Найти частные производные от функции z x2 2y2 3xy 4x 2y 5.

4)Найти наименьшее и наибольшее значения функции z f x, y в замкнутой области, ограниченной заданными линиями z x2 2xy 10, y 0, y x2 4 .

5)Дана функция z f x, y, точка Ax0; y0 и вектор a . Требуется найти gradzв

точке A, производную по направлению вектора a в точке A, если z arctgx2 y2 , A1;1 , a 5i12 j .

7. 1) Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

а)

xdx

7x2 б)

x 18dx x2 4x 12

, в) 3xcosxdx . x 2 dx .

3)Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость e xln2 x

4)Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми 3x2 4y 0, 2x4y10. Сделать чертеж.

9.1) Через остановку пролегают троллейбусный и автобусный маршруты. Троллейбус подъезжает через каждые 15 минут, автобус через каждые 25 минут. К остановке подходит пассажир. Какова вероятность того, что в ближайшие 10 минут на остановке появится троллейбус либо автобус?

2)В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором – 10 ламп, из них одна нестандартная. Из первого ящика

14

наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

3)Имеется n лампочек, каждая из них с вероятностью p имеет дефект. Лампочку ввинчивают в патрон и подают напряжение, после чего дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Случайная величина X – число лампочек, которое будет испробовано. Построить ряд распределения F x, найти ее математическое ожидание mx , дисперсию Dx и вероятность того, что испробовано будет не более k лампочек ( если n 4, p 0,2, k 3).

4)Дана функция f x . При каком значении параметра C эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X ? Найти ее математическое ожидание mx , дисперсию Dx , функцию распределения F x и вероятность попадания на заданный интервал ,.

f xCx 46x, x 4,x 6,

4 x 6. 4,5;5.

10. 1) Дана выборка из генеральной совокупности объема. По выборке необходимо выполнить следующие расчеты.

1. Построить вариационный ряд.

2. Построить группированную выборку с числом интервалов k 310 . 3. Построить гистограмму и полигон частот.

4. По группированной выборке найти точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения.

5. Построить доверительные интервалы для математического ожидания с доверительными вероятностями 0,95 и 0,99.

6. Выбрать один из законов распределения в качестве предполагаемого (теоретического) распределения, используя пункт 3.

7. Найти параметры теоретического распределения с помощью метода моментов. Построить на одном графике гистограмму, полигон частот и кривую теоретического распределения для найденных параметров.

8. Проверить гипотезу о том, что выборка имеет выбранное теоретическое распределение. Принять уровень значимости 0,01.

11. Определить по корреляционной таблице групповые средние Xi и Yj и изобразить их графически. Построить эмпирические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:

а) вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направление связи между X и Y ;

б) найти уравнения регрессии и построить их графики.

Данные о живом весе X (кг) и молочной продуктивности Y (кг) 80 коров приведены в таблице

15

Используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю молочную продуктивность коров весом 450 кг.

ПРИМЕР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Решить систему

уравнений

3x 2y z 5, x y z 0, 4x y 5z 3.

2.Найти проекцию вектора a 4;3;4 на направление вектора b2;2;1 .

3.Составить уравнение плоскости, проходящей через т. M 1;1;1 перпендикулярно к прямой x 3 y 1 z 2

2 3 4

lim . 2x3 4x 5 x1x2 3x2

5.Найти dx : y . sin2 x 2cos2x

6.Найти экстремумы функции z x2 xy y2 4x.

7.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 3x2 4y 0, 2x4y10.

8.Найти общее решение уравнения yy2y ex .

11.ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНЫХ

16