Библиографический список

1. Аллен К.У. Астрофизические величины. М.: Мир, 1977. – 188 с.

2. Бакулин П.И., Кононович Э.В., Мороз В.И.Курс общей астрономии. – М.: Наука, 1983. – глава XII, § 161–163.

3. Бронштэн В.А. Как движется Луна? М.: Наука, 1990. – 206 с.

4. Бронштэн В.А. Планеты и их наблюдения М.: Наука, 1979. – 178 с.

5. Воронцов-Вельяминов Б.А. Сборник задач и практических упражнений по астрономии. – М.: Наука, 1977. – 272 с.

6. Дагаев М.М.Лабораторный практикум по курсу общей астрономии. – М.: Высшая школа, 1972.

7. Дагаев М.М., Демин В.Г., Климишин И.А., Чаругин В.М.Астрономия.– М.: Просвещение, 1983. – 384 с.

8. Данлоп С. Азбука звездного неба. – М.: Мир, 1990. – 126 с.

9. Кауфман У. Планеты и луны. – М.: Мир, 1982. – 217 с.

10. Ксанфомалити Л.В.Парад планет. – М.: Наука, 1997. – 256 с.

11. Куликовский П.Г. Справочник любителя астрономии. М.: УРСС, 2002. – 688 с.

12. Курышев В.И. Практикум по астрономии. – М.: Просвещение, 1986. – 148 с.

13. Марс: великое противостояние / Ред.-сост. В.Г. Сурдин. – М.: Физматлит, 2004. – 224 с.

14. Миннарт М. Практическая астрономия. (Практические занятия по общей астрономии.). М.: Мир, 1971. – 240 с.

15. Уипл Ф. Семья Солнца: планеты и спутники солнечной системы. – М: Мир, 1983. – 316 с.

Лабораторная работа № 8

Закон всемирного тяготения и задача двух тел

Цель работы: определение масс небесных тел и изучение гравитационного ускорения.

Пособия: Астрономический календарь – постоянная часть или «Справочник любителя астрономии; калькулятор».

Из закона всемирного тяготения вытекают, как следствия, все три закона Кеплера, которые И. Ньютон вывел математически в более общем виде, применимом не только к обращению планет вокруг Солнца, но и к любым системам обращающихся тел.

Задача определения орбиты одного небесного тела относительно другого называется задачей двух тел. При решении этой задачи небесное тело большей массы , называемое центральным телом, полагается неподвижным, и определяется орбита, по которой тело меньшей массыдвижется относительно центрального тела. Ньютон показал, что в поле тяготения центрального тела любое другое небесное тело будет двигаться по одному из конических сечений – кругу, эллипсу, параболе или гиперболе, причем центральное тело всегда находится в одном из фокусов орбиты движущегося тела, линейная скоростькоторого относительно центрального на данном расстоянииопределяется интегралом энергии

,

(8.1)

где ,– большая полуось орбиты,– радиус-вектор движущегося тела,– гравитационная постоянная.

Согласно интегралу энергии, каждому расстоянию от центрального тела соответствует ряд значений скорости, определяющих род орбиты движущегося тела. Так, чтобы небесное тело обращалось вокруг центрального по круговой орбите радиуса, оно должно на данном расстоянииобязательно иметь величину орбитальной скорости, причем согласно выражению (8.1),

(8.2)

или

.

(8.3)

Эта скорость называется круговой скоростью.

Если на расстоянии от центрального тела скоростьдвижущегося тела несколько превышает, соответствующую расстоянию, такое тело также будет спутником центрального, и будет двигаться вокруг него по эллиптической орбите, большая полуось которойможет быть вычислена по интегралу энергии. Чем большепревышает, тем более вытянутой будет эллиптическая орбита (0<e<1). Наконец, если на данном расстоянии от центрального тела скорость движущегося тела

,

(8.4)

то оно уже не будет спутником центрального тела, а пройдет мимо него по параболической орбите. В самом деле, при подстановке

в интеграл энергии получим , то есть, что характеризует эллиптическую орбиту (e = 1). Поэтому скорость

(8.5)

называется параболической скоростью.

При движение тела происходит по гиперболе ().

При вычислении тех или иных величин приходится пользоваться самыми различными единицами измерений. Так, расстояние между небесными телами выражаются и в километрах () и в астрономических единицах (), массы небесных тел – в массах Земли, массах Солнца, а иногда и в граммах (), время – в годах, средних солнечных сутках и в секундах, линейная скорость, как правило, – ви так далее. Однако, это отнюдь не означает, что при решении задач можно пользоваться произвольными единицами измерений – все зависит от условий решаемой задачи. Если однородные физические величины входят в уравнение в виде отношения, то они могут быть выражены в любых соответствующих, но обязательно одинаковых единицах измерения, вне зависимости от единиц измерения других величин, входящих в то же уравнение. Если же уравнением связаны разнородные физические величины, то все они должны быть выражены обязательно в одной определенной системе единиц.

Часто приходится применять абсолютную систему единиц СГС, в которой масса выражается в граммах (), расстояние – в сантиметрах (), время – в секундах (), скорость – в, ускорение – в, тогда гравитационная константа. В Международной системе единиц СИ, практически не используемой в астрономии, масса выражается в, расстояние – в метрах (), время – в секундах (), скорость – ви.

Следует предупредить о бессмысленном вычислении масс небесных тел с точностью до 1 или 1, а расстояний – с точностью 1или 1; речь идет лишь об их выражении в системе СГС или СИ, и поэтому при вычислениях достаточно ограничиться числом из трех-четырех значащих цифр, умножая его на число 10 в определенной степени(то есть), полученной при вычислениях.

В астрономии часто применяется гауссова система единиц, в которой массы небесных тел выражаются в массах Солнца, единицей длины является астрономическая единица (), а единицей времени – средние солнечные сутки.

Если же массы небесных тел выражать в солнечных массах, расстояния – в астрономических единицах, а скорость – в , тои.

Полагая в равенстве (8.1) массу Солнца и пренебрегая в сравнении с массой Солнца малыми массами его спутников (), получим, и тогда скорость небесных тел в поле тяготения Солнца определится как

,

(8.6)

где ивыражены в астрономических единицах (), ав.

Выражение (8.6) позволяет вычислить скорость планет и комет на любом расстоянии от Солнца. Положив в формуле (8.6), можно найти значение круговой скорости

(8.7)

и значение параболической скорости на произвольном расстоянииот Солнца.

При подстановке в равенство (8.7) и делении на него выражения (8.6), получается удобная формула для вычисления скоростител в поле тяготения Солнца по их круговой скорости.

Из интеграла энергии (8.1) весьма просто выводится третий закон Кеплера в обобщенном виде, для чего достаточно эллиптическое движение спутника заменить движением по круговой орбите радиуса . Тогда круговая скорость спутника

,

(8.8)

где – период обращения спутника вокруг центрального тела, а так как, согласно формуле (8.2),

, то
, откуда
.	(8.9)

Массы спутников, как правило, очень малы в сравнении с массойцентрального тела, и поэтому, пренебрегая в формуле (8.9) величиной, можно вычислить массу центрального тела в определенной системе единиц.

Поскольку масса небесных тел обычно вычисляется в сравнении с солнечной или земной массой (то есть, в массах Солнца или в массах Земли), то значительно проще применить третий обобщенный закон Кеплера к двум системам обращающихся тел

.

(8.10)

Здесь величины с индексом 1 относятся к одной системе центрального тела и его спутника, а те же величины с индексом 2 – к другой системе аналогичных тел.

При определении масс планет в массах Земли сравнивают движение спутника планеты с движением Луны вокруг Земли. Для этого в формуле (8.10) под подразумевают массу планеты, поди– большую полуось орбиты спутника и период его обращения вокруг планеты, а массой спутникапренебрегают (). Считаямассой Земли,– массой Луны,– звездным месяцем и– большой полуосью лунной орбиты, вычисляют массу планетыв массах Земли и Луны, а затем уже, зная, что масса Луны () в 81,3 раза меньше массы Земли (), находят массу планетыв массах Земли.

Зная массу и радиуснебесного тела, можно вычислить ускорение силы тяжестина его поверхности, причем удобнее всего вычислятьв сравнении с ускорениемна Земле, а затем уже, в случае необходимости, найти его абсолютное значение. Очевидно, на поверхности небесного тела

,

(8.11)

а на земной поверхности

(8.12)

и тогда

или

,

(8.13)

где выражена в массах Земли, а– в радиусах Земли.

Аналогичным образом вычисляется гравитационное ускорение небесных тел в поле тяготения центрального тела на расстоянииот него

(8.14)

или

,

(8.15)

если мало в сравнении с.

Формула (8.15) позволяет также вычислить массу центрального тела по известному гравитационному ускорению .

Разделив равенство (8.15) на выражение (8.11), получим для вычисления простую формулу, в которойвыражается в радиусахнебесного тела.