matan

что xn+1>xn. Итак утверждение а) о том, что последовательность

Для доказательства утверждения б) воспользуемся очевидным неравенством:

В (1.20) сумму членов, начиная со второго, вычислим по формуле убывающей геометрической прогрессии. Имеем:

1.10. Предельный переход в неравенствах

Теорема 1.12. Если, начиная с некоторого номера n*, все члены последовательности {xn} удовлетворяют неравенству xn ≥ 0 (xn ≤ 0), и последовательность {xn} сходится к а, то а ≥ 0 (а≤ 0).

21

Доказать: lim yn =а.

n→∞

Из условия (1.22) следует, что

( ε > 0)( n' (ε)): ( n)(n ≥ n' (ε) xn −a < ε),

R N N

и

( ε > 0)( n'' (ε)): ( n)(n ≥ n'' (ε) zn −a < ε).

R N N

Но в силу условия (1.21) начиная с номера N0=max{n’, n’’, n*}, т.е. при n ≥ N будет иметь место и неравенство |yn - a|<ε. А это и означает,

что lim yn =а.

n→∞

Доказательства теорем 1.13 и 1.14 оставляем читателю.

1.11. Подпоследовательности числовых последовательностей

Пусть имеем числовую последовательность {xn}=x1, х2, х3,...,хn,...

Рассмотрим последовательность возрастающих натуральных чисел n1, n2,...,nk,... и соответствующие им члены последовательности {xn}

xn1 , xn2 , ..., xn k ,... = x1, x2,...,xk,...={xk}. (1.23)

Определение 1.13. Полученная описанным выше образом числовая последовательность (1.23) называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

Ниже сформулируем основные свойства подпоследовательностей

2. Если последовательность {xn} ББП, то любая ее подпоследовательность {xn k } также ББП.

22

3.Если последовательность {xn} сходится к а, то из нее можно выделить подпоследовательность {xn k } монотонно сходящуюся к а.

4.Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Свойство 4 известно как теорема Больцано-Вейерштрасса.

1.12. Функция одной переменной

Определение 1.14. Пусть даны два подмножества {x} и {y} множества вещественных чисел R. Если каждому x {x} по определенному правилу, или закону ставится в соответствие один элемент y {y}, то у называется функцией аргумента х. Множество {x} называется областью определения D(y), а множество {y} - областью значений Е(у) функции у.

Известна символическая запись этого факта: у=f(x) или y=y(x). Аргумент х называют независимой, а у - зависимой переменной, а

соответствие между ними функциональной зависимостью.

Частым значением функции y=f(x) при х=а, называется значение у, соответствующее данному значению х. Оно обозначается как у(а), или

f(a), или y|x=a.

Закон или правило, по которому значению аргумента x ставится в соответствие значение функции у, может быть описано аналитически (математической формулой у=f(x)), графически или таблицей.

Приведем некоторые примеры аналитического задания функции.

Пример 1. Показательная и логарифмическая функции с основанием е аналитически задаются следующим образом:

y=ex, x R; y=lnx, x>0. (1.24)

Пример 2. Функция Дирехле задается следующим образом:

Пример 3. Знаковая функция (signum) от х имеет вид:

1 приx> 0

sgnx = 0 прих= 0 (1.26)-1 приx< 0

Зависимость функции у от аргумента х можно задать в форме таблицы, в которой рядом со значением аргумента х0 записывается соответствующее значение функции у(х0). Неудобство этой формы

23

заключается в том, что таблица может содержать только определенные значения аргумента и функции.

Наглядным представлением функциональной зависимости являются график функции в той или иной системе координат.

Определение 1.15. Графиком функции у=f(x) в выбранной системе координат называется множество точек с координатами (x,f(x)). Читатель хорошо знаком с графиком различных, изучаемых в школе, функций. Ниже приведем еще график упомянутой выше функции 1.26 (y=sign x).

Рис. 1.8.

В некоторых случаях мы имеем дело с так называемой суперпозицией двух или нескольких функций или со сложной функцией.

Пусть y=y(x) с областью определения {x}, а переменная х, в свою очередь, есть функция аргумента t, т.е. х=х(t) с областью определения {t}. В этом случае говорят о сложной функции y=y(x(t)). Областью определения этой функции являются те элементы множества {t} при которых x(t) {x}.

Итак функциональная зависимость связывает две переменные, одна из которых является аргументом, а другая - функцией.

Пусть у=у(х) с областью определения {x} и областью значений {y}. Если каждому значению y {y} соответствует только одно значение x {x}, то можно говорить об обратной функции х=х(у) с областью определения {y} и областью значений {x}.

1.13. Предел функции

Трудно переоценить значение понятия предела функции в математическом анализе. Читатель не раз убедится, что это понятие

24

используется во многих определениях, теоремах, доказательствах и является одним из основных.

Наиболее часто упоминаются два подхода к определению этого понятия, которое связывают с именами двух математиков Гейне и Коши.

Определение 1.16 (определение предела функции по Гейне). Число b называется пределом функции y=f(x) (область определения {x}) в точке a {x} (при х, стремящемся к а), если для любой последовательности {xn} (xn {x}), сходящейся к а, соответствующая последовательность {f(xn)} сходится к b. В символической форме это определение можно записать в виде:

Приведенное определение в некоторых случаях позволяет доказать отсутствие предела функции.

Пример 1. Докажем, что функция y = sin 1x при х→0 не имеет предела.

элементы которых принадлежат области определения рассматриваемой функции sin 1x . Хотя обе эти последовательности стремятся к нулю при n→∞, т.е. б.м.п., соответствующие последовательности

25

Отсюда на основании определения 1.16 следует, что рассматриваемая функция sin 1x не имеет предела при x→0.

Определение 1.17 (определение предела функции по Коши). Число b называется пределом функции y=f(x) при х→а, если для любого положительного вещественного числа ε (сколь угодно малого) существует такое положительное вещественное число δ, зависящего от ε, что из неравенства 0<|x-a|<δ следует неравенство |f(x)-b|<ε.

В символической форме определение 1.17 записвается в виде:

Условие 0<|x-a|<δ(ε) означает, что точка х принадлежит δ(ε) окрестности точки а и х≠а, а условие |f(x)-b|<ε означает, что значение функции принадлежит ε окрестности точки b (или значение “отличается от b” менее, чем на b). Поэтому определение 1.17 можно сформулировать и так:

Число b называется пределом f(x) при х→а, если, каково бы ни было вещественное число ε>0, существует вещественное число δ>0, зависящее от ε, такое, что для всех х из δ(ε) окрестности точки а, соответствующие значения функции принадлежат ε окрестности точки b.

Воспользуемся определением 1.17 для доказательства следующего утверждения

lim cos x = cos x0

x→x0

Для решения последнего неравенства воспользуемся очевидным неравенствами |sin α|≤1 и |sin α|<|α| и свойством транзитивности неравенств. Имеем

|cos x - cos x0|<2 1 x0 2− x < ε.

То есть, если удовлетворяется неравенство |x0 - x|<ε, то удовлетворяется и неравенство |cos x - cos x0|<ε. Итак, мы убедились в существовании такого числа δ(ε) (в данном случае δ(ε)=ε), что из

26

|x0-x|<δ(ε)=ε |cos x- cos x0|<ε. А это, на основании определения 1.17

означает, что lim cos x = cos x0 .

x→x0

В математике, в том случае, когда одному понятию дается два определения, обязательно доказывается их эквивалентность. В данном случае справедлива следующая теорема (приводится без доказательства).

Теорема 1.15. Определения предела функции 1.16 (по Гейне) и 1.17 (по Коши) эквивалентны.

Заметим далее, что существуют понятия пределов функции y=f(x) при х стремятся к а справа (правосторонний предел) и при х стремящемся к а слева (левосторонний предел). Эти односторонние пределы обозначаются так:

lim f(x) или f(a+0) - правосторонний предел,

x→a +0

lim f(x) или f(a-0) - левосторонний предел.

x→a −0

Теорема 1.16. Предел функции y=f(x) при х→а равен b тогда и только тогда, если существует пределы этой функции справа и слева при х→а и равны b.

В символической форме теорема 1.16 записывается так:

(limx→a f(x)= b) (xlim→a +0 f(x)= b) (xlim→a −0 f(x)= b). (1.29)

Ниже приведем определение предела функции y=f(x) при х→∞ в символической форме.

В частных случаях, когда х→+∞ и х→-∞, имеем:

1.14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Определение 1.22. Функция y=f(x) называется бесконечно большой функцией (ББФ) при х→а, если для любого вещественного

27

числа В>0 (сколь бы большим оно ни было) существует вещественное число δ>0, зависящее от В такое, что если 0<|x-a|<δ, то выполняется

|f(x)|>B.

Это определение (по Коши) в символической форме имеет вид:

Определение этого же понятия на языке последовательностей (по Гейне) имеет вид:

Теорема 1.17. Если функции f(x) и ϕ(x) являются ББФ при х→а и имеют один знак в некоторой окрестности точки а, то их сумма f(x)+ϕ(x) также является ББФ.

Определение 1.23. Функция α(х) называется бесконечно малой

функцией (б.м.ф.) при х→а (при х→∞), если lim α(x)= 0 ( limα(x) = 0 ).

x→a x→∞

Эти определения в символической форме имеют вид:

Бесконечно большие и бесконечно малые функции обладают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно больших и бесконечно малых числовых последовательностей. Относительно этих свойств справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.19. Если α(х) является б.м.ф. при х→а (х→∞) и α(х)≠0 в окрестности точки а, то функция α1(x) является Б.Б.Ф. при х→а (х→∞).

Теорема 1.20. Если f(x) является Б.Б.Ф. при х→а (х→∞), то функция α1(x) является б.м.ф. при х→а (х→∞).

28

Теорема 1.21. Если α(х) и β(х) являются б.м.ф. при х→а (х→∞), то функции α(х) ± β(х) также являются б.м.ф.

Отметим здесь, что использование класса бесконечно малых функций позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие существования предела функции.

Теорема 1.22. Функция f(x) имеет предел b при х→а (х→∞) тогда

и только тогда, когда f(x)=b+α(x), где α(х) является б.м.ф. при х→а

(х→∞).

Теорема 1.22. В символической форме записывается так:

1.15. Свойства функций, имеющих предел

Теорема 1.25. Пусть в некоторой окрестности точки а функции

Эти теоремы легко доказать, если воспользоваться определением предела функции “по Гейне” и уже доказанными теоремами о свойствах сходящихся последовательностей (см. п. 1.1.17.).

1.16. Замечательные пределы

Теорема 1.26. lim sin x =1.

x→0 x

29

Дано: х→0.

Доказать: lim sin x =1.

x→0 x

Пусть х есть радианная мера угла и 0<x< π2 .

Пользуясь очевидными неравенствами (см. рис. 1.9)

S∆AOB<Sсект. AOB<S∆AOC

и учитывая, что S∆AOB = 12 R 2 sin x , Sсект. AOB= 12 R 2x , S∆AOC = 12 R 2tgx , где R

есть радиус круга, получим

0<sin x<x<tg x

B C

R x

O A

Рис. 1.9.

Деля полученные неравенства на sin x>0, имеем

0<1< sinx x < cosx1

или

cosx< sinx x <1, (1.37)

которые верны и для - π2 <x<0, так как cosx и sinx x являются четными

функциями. Если теперь в неравенствах (1.37) перейти к пределу при х→0 и пользоваться теоремой о предельном переходе в функциональных неравенствах (см., например, теорему 1.14), то получим

lim sin x =1.

x→0 x

Результат (1.36) известны как первый замечательный предел.

Теорема 1.27.

30