matan

где интеграл в правой части берется с помощью рекуррентной формулы(4.24).

В заключение этого пункта методом Лагранжа получим следующую формулу

простейших правильных рациональных дробей с неопределенными коэффициентами А и В.

Отсюда

0 х+1=(A-B) х + aA + aB

идля определения A и В приходим к системе линейных уравнений

xA − B = 0,

x0 aA + aB =1.

Решая последнюю, получим

A=B= 2a1 .

Тогда имеем

Отсюда, как следствие, можно получить и формулу

∫x2dx−a 2 = 2a1 ln aa −+ xx + C.

4.6.Интегрирование тригонометрических выражений

Впункте 1.4.5 мы установили, что интеграл от любой рациональной дроби представляет собой элементарную функцию. В настоящем пункте и далее мы рассмотрим другие классы функций, которые также интегрируются в элементарных функциях. Как правило,

131

мы с помощью определенной подстановки будем сводить интеграл к интегралу от рациональной дроби.

Определение 4.6. Рациональной функцией R(x,y) от двух аргументов x и у называется отношение вида

R(x, y) = Pn (x, y) ,

Qm (x, y)

где Pn(x,y) и Qm(x,y) являются многочленами степени n и m с действительными коэффициентами относительно двух аргументов х и у, т.е.

Pn(x,y)=a00+a10x+a01y+a20x2+a11xy+a02y2+...+a0nyn,

Qm(x,y)=b00+b10x+b01y+b20x2+b11xy+b02y2+...+b0mym.

Теперь перейдем к рассмотрению интегралов от функций вида

R(cos x,sin x), т.е. к интегралам

Для вычисления подобных интегралов делаем подстановку

x=2arctg t, dx = 12+dtt 2 .

Теперь используя известные тригонометрические формулы

Тогда исходный интеграл(4.43) превращается в следующий

132

Так как рациональная функция от рациональной функции также является рациональной функцией, то стоящий справа в (4.45) интеграл есть интеграл от рациональной дроби, который умеем интегрировать

(см. пункт 1.4.5).

Заметим далее, что хотя (4.44) является универсальной подстановкой, но иногда приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях подынтегральной функции R(cos x,sin x) в (4.43) удобнее пользоваться другими подстановками.

Рассмотрим эти частные случаи.

1. Пусть рациональная функция R(cos x,sin x) в(4.43) меняет знак при изменении знака одного из аргументов, т.е.

R(-cos x/sin x)=-R(cos x,sin x) или R(cos x ,-sin x)=-R(cos x,sin x).

Тогда удобнее сделать подстановки

sin x=t или cos x=t. (4.45)

2. Пусть рациональная функция R(cos x,sin x) в(4.43) не меняет своего значения при одновременном изменении знаков cos x и sin x, т.е.

R(-cos x,-sin x)=R(cos x,sin x).

Тогда удобнее пользоваться подстановкой

В заключение этого пункта еще раз напомним, что некоторые рекуррентные формулы, связанные с интегрированием тригонометрических функций, нами получены в пункте 1.4.5 методом интегрирования по частям. Ими также часто пользуются при вычислении интегралов от тригонометрических функций.

133

4.7. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей и дифференциальных биномов

действительные постоянные, n- целое положительное число.

Покажем, что при условии a1b2-a2b1≠0 интеграл (4.47) можно вычислить подстановкой

На самом деле, так как из(4.48) следует, что

x = b2t n − b1 a1 −a 2t n

и мы приходим к интегралу от дробно рациональной функции, интегрировать которую мы умеем(см. пункт 1.4.5).

Теперь перейдем к вопросу интегрирования дифференциальных биномов.

Определение 4.7. Дифференциальным биномом называется дифференциальное выражение вида

134

переменной х и от квадратичной иррациональности ax2+bx+d ≥0, a, b, d- действительные постоянные числа.

Отметим, что если у квадратного трехчлена ax2+bx+d равные

действительные корни и а>0, то иррациональность ax2 + bx +d заменяется рациональным выражением и для рационализации интеграла(4.53) не требуется никакой подстановки.

А если у квадратного трехчлена ax2+bx+d нет равных действительных корней, то для вычисления интеграла (4.53) необходимо пользоваться известными тремя подстановками Эйлера. Рассмотрим их по отдельности.

1. Первая подстановка Эйлера.

Пусть квадратный трехчлен ax2+bx+d не имеет действительных корней(D=b2-4ad<0) и a>0.

В этом случае интеграл (4.53) вычисляется первой подстановкой Эйлера

Возведя обе части (4.54) в квадрат

ax2 + bx +d = t 2 −2a tx +ax2

и решая относительно х, получим

x = 2 a t + b . (4.56)

Нетрудно заметить, что при этом

136

Тогда с учетом (4.56),(4.57),(4.58) подынтегральное выражение в (4.53) принимает вид

Отметим, что подстановка(4.55) приведет нас к аналогичному результату.

2. Вторая подстановка Эйлера.

Если квадратный трехчлен ax2+bx+d не имеет действительных корней (D=b2-4ad<0) и d > 0, то интеграл(4.53) вычисляется второй подстановкой Эйлера:

Если возвести обе части (4.59) в квадрат, то получим

Теперь с учетом(4.61), (4,62), (4,63) интеграл принимает вид

Подстановка(4.60) приводит к аналогичному результату. 3. Третья подстановка Эйлера.

137

Если корни х1 и х2 квадратного трехчлена ax2+bx+d действительные и х1≠х2, то ax2+bx+d=a(x-x1)(x-x2) и для вычисления интеграла (4.53) пользуемся третьей подстановкой Эйлера

Если возвести обе части(4.64) в квадрат и найти х через новую переменную t, то получим

В заключение этого пункта получим формулу (4.25) с помощью первой подстановки Эйлера (4.54).

Рассмотрим ∫ x2dx±a 2 . Так как многочлен второй степени под

квадратным корнем не имеет действительных корней и коэффициент при х2 имеет положительный знак, то пользуемся первой подстановкой Эйлера

что совпадает с (4.25).

138