matan

8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды (уравнение циклоиды задано в параметрической форме)

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0

вокруг своего основания.

а) 5а3; б) 5π;

в) π;

г) 5π2a3.

9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса

x2 + y2 =1 вокруг малой оси (эллипсоид вращения).

25 9

а) π(50+22,5ln3); б) 50π;

в) 22,5ln3;

г) 50+22,5ln3.

10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды

x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a>0. вокруг оси 0у.

а) 16π2a2; б) 16π2;

в) а2;

г) π.

171

Итоговый тест

Найти пределы

1. hlim→∞ 12 + 14 + 18 +...+21n .

а) 1; б) 0,5; в) 3; г) -2.

2. xlim→+∞( x2 −5x +6 −x).

а) - 12 ; б) - 52 ; в) 1; г) 2.

а) 1; б) -2; в) 3; г) 1,5.

5. Определить порядок б.м.ф. f(x) по отношению к б.м.ф. ϕ(x). f(x)=arcsin ( 4 + x2 -2), ϕ(x)=x, x→0.

172

а) 2; б) 1; в) 3; г) 5.

6. Найти точку разрыва функции и определить его характер f(x)= xx−2 2 .

а) х=2 - точка разрыва 2-го рода; б) х=2 - точка разрыва 1-го рода; в) х=2 - точка устранимого разрыва.

Найти пределы.

а) 8; б) 5; в) 0; г) 9.

а) ∞; б) 2; в) 2+е; г) 3;

Найти производную второго порядка функции в точке (9;6).

x = t 2 ,

9.y = t 3 −t.

3

а) 1; б) - 13 ;

в) 545 ;

г) 5.

173

а) 15 ; б) 0,5; в) 43 ; г) 25 ;

15. Найти полный дифференциал второго порядка функции U=cos(x+y).

а) -cos(x+y)(dx+dy)2; б) -cos(x+y)dx2;

в) (dx+dy)2; г) cosxdy2.

16. Разложить функцию U=ex+y по формуле Тейлора в окрестности точки (1;-1) до членов второго порядка включительно.

а) (x-1)+(y+1);

б) 1+[(x-1)+(y+1)]+ 12 [(x-1)+(y+1)]2;

в) [(x-1)+(y+1)]2; г) 1+(x-1)2.

17. Найти минимум функции U=x2+xy+y2-3x-6y.

а) 10; б) 0; в) 1; г) -9.

18. Найти условный максимум функции U=xy при условии, что

2х+3у=5.

а) 2523 ; б) 2425 ; в) 254 ;

г) 25.

175

Вычислить неопределенные интегралы. 19. ∫x +arctg2 x dx .

а) 12 ln(1 +x2 )+ arctgx3 +c ; б) 12 ln(1 +x2 )+c ;

в) arctgx3 +c ;

г) 12 x2 +c . 20. ∫x2shxdx .

а) x2chx-2xshx+2chx+c; б) x2chx+2chx+c;

в) 2xshx+c; г) chx+c.

21. ∫( x4)dx . x2 −1 (x +2)

22. ∫esin x xcos3 x −sin x dx . cos2 x

а) esinx+c;

б) x-secx+c;

в) esinx(x-secx)+c; г) sinx+c.

176

25.Вычислить площадь, ограниченную локоном Аньези y=1 +1x2 и

параболой y= x2 .

2

а) π2 − 13 ;

б) π2 ; в) 13 ; г) π.

26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля, уравнение которой задано в полярной системе координат

ρ=2+cosθ.

а) 92 π; б) π; в) 92 ;

177

г) π2 .

27. Вычислить длину дуги гиперболической спирали ρθ=1 от точки (2; 12 ) до точки ( 12 ;2) (координаты точек заданы в декартовой системе координат).

б) 25 ; в) 12 ;

г) ln 25 .

у=2 до у=1.

а) 2ln2; б) ln2; в) 2; г) 12 .

29. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривой y=sin2x и прямой у=0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0х.

а) 38 π2; б) π2;

в) 38 ; г) π.

30. Вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением окружности x2+(y-2)2=1 вокруг оси 0х.

а) 8π2; б) 8;

в) 8π; г) π2.

178

Литература

1.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, ч.1, М,

Наука, 1971; ч.2, М., Наука, 1973.

2.Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа, т. 1,2,3, М.,

Наука, 1968.

3.В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. Математический анализ,

М., Наука, 1979.

4.В.С. Шипачев. Высшая математика, М., Высшая школа, 1985.

5.Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа. М., Наука, 1989.

6.В.А. Никишкин, Н.И. Максюков, А.Н. Малахов. Высшая математика,

М., МЭСИ, 2000.

7.П.Е. Данко, А.Т. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1,2, М., Высшая школа, 1980.

8.Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.,

Наука, 1962.

9.Г.С. Бараненков, Б.П. Демидович и др. Задачи и упражнения по математическому анализу (для ВТУЗов), М., Наука,1970.

179