4.4.2 Распределение случайной величины

Под распределением случайной величины понимают совокупность ее значений, расположенных в возрастающем порядке, с указанием либо их вероятностей в теоретическом, либо частости в практическом распределении.

Частость события представляет собой отношение частотыfпоявления событияAк общему числуNпроведенных опытов:

.

Между вероятностью и частостью какого-либо события существует приближенное равенство:

,

которое будет тем точнее, чем больше число опытов.

Практическое распределение случайных величин дискретного характера можно представить в виде таблицы (табл. 4.2) или графика (рис. 4.1).

Таблица 4.2. Практическое распределение дискретной случайной величины

X	1	2	3	4	5
m(xi)	1/20	3/20	8/20	5/20	3/20

Рисунок 4.1 ­– Распределение случайной дискретной величины

 

Распределение случайной величины непрерывного типа может быть также представлено в виде таблицы или графика. Для составления таблицы практического распределения непрерывной случайной величины в совокупности ее значений находят maxиminи определяют разность между ними. Разность эта называется полем рассеивания ω случайной величины:

.

Значения случайной величины, составляющие совокупность, делят на равные интервалы. Их число kопределяют из отношения значения ω к избранному значениюaинтервала:

.

Во многих источниках можно найти упоминание эвристической формулы Старджесса для определения “оптимального” числа интервалов:

.

Относя каждое значение случайной величины к тому или иному интервалу, подсчитывают частоты ее значений в границах интервалов и определяют частости значений x_i. Например. Пусть в партии валов из 100 штук диаметр одной из шеекмм, а другоймм. Тогдамм.

При избранном значении интервала мм числоkбудет равно:

.

Установив границы и подсчитав частости, получают таблицу распределения значений диаметра вала (табл. 4.3):

Таблица 4.3

Номер интервала	Границы интервала	Частота	Частость
1)	32,13 – 32,16	3	0,03
2)	32,17 – 32,20	11	0,11
3)	32,21 – 32,24	36	0,36
4)	32,25 – 32,28	40	0,40
5)	32,29 – 32,32	6	0,6
6)	32,33 – 32,36	4	0,04

Графически практическое распределение непрерывной случайной величины может быть представлено либо гистограммой, либо практической кривой (полигоном) распределения (рис. 4.2).

Рисунок 4.2 – Гистограмма и практическая кривая распределения непрерывной случайной величины

Общей формой закона распределения случайной величины является ее функция распределения. Функцией распределения или интегральным законом распределения скалярной случайной величины Xназывают вероятность выполнения неравенстваX<x:

,

где X– случайная величина,

x– возможные значения случайной величины.

Для дискретной случайной величины может быть найдено по таблице или графику распределения для любого значенияx, как сумма вероятностей тех значенийX, которые лежат влево от точки с координатойx. В рассмотренном выше примере распределения случайной величины для.

Интегральный закон распределения можно представить в виде графика . Для дискретной случайной величины график будет иметь вид ступенчатой кривой.

Рисунок 4.3 – Интегральный закон распределения дискретной случайной величины

 

Имея функцию распределения дискретной случайной величины можно вычислить вероятность ее нахождения в границах от x₁доx₂:

Для непрерывной случайной величины график функции распределения будет иметь вид монотонно возрастающей кривой, а сама функция будет дифференцируемой.

Производнуюфункции распределениянепрерывной случайной величиныXназывают плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения этой случайной величины.

Графически этот закон распределения может быть представлен кривой линией, построенной в координатах x, f(x)(рис. 4.4).

Зная плотность вероятности, можно определить вероятность того, что значение случайной величины Xокажется в интервале отaдоb.

.

В данном случае вероятность равна площади участка с основанием ab, ограниченного сверху кривой плотности вероятности. Прии:

.

Рисунок 4.4 – Дифференциальный закон распределения непрерывной случайной величины

 

Дифференциальный закон или плотность вероятности дает полную картину распределения случайной величины.