Задание 9

Доказать, что векторное поле потенциально. Найти потенциал поля.

Решение. Докажем, что векторное поле потенциально, используя необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля(2.10)

Найдем по формуле (2.11)

.

Так как , то

Заданное векторное поле потенциально.

Находим потенциал поля по формуле (2.13)

Выбор точки M₀(x₀;y₀;z₀) определяется двумя условиями:

1) в точке M₀векторное поле должно быть определено;

2) интегралы, входящие в формулу (2.13) должны максимально упрощаться.

В данном случае выбираем в качестве M₀начало координат.

3. Примеры выполнения заданий Задание 1

Вычислить криволинейный интеграл I рода

где L – дуга кривой , 0 ≤x≤ 1.

Решение. По формуле сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в случае плоской явно заданной кривой (1.3) имеем:

где y=y(x),x₀≤x≤x₁ – уравнение дугиLкривой интегрирования. В нашем рассматриваемом примереНаходим производную этой функции

и дифференциал кривой L

.

Так как

,

то, подставляя в это выражение вместоy, получаем

и преобразуем криволинейный интеграл к определенному:

.

Вычисляем этот интеграл с помощью подстановки . Тогдаt²= 1 +x,x=t²– 1,dx= 2t dt; приx =0 соответствуетt= 2; аx= 1 соответствует. После преобразований получаем

Задание 2

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода по дугеLкривойx=cos³t,y=sin³ t,.

Решение.Так какL– дуга плоской кривой, заданной в параметрическом виде, то используем формулу (1.1) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному:

.

Здесь

Найдем дифференциал длины дуги

Найденные выражения подставляем в данный интеграл и вычисляем:

Задание 3

Найти массу дуги линии Lлинейной плоскостью.

L:

Решение.МассаМдугиLс плотностьюzвычисляется по формуле (1.8)

.

В этом задании =z, поэтому

.

Это криволинейный интеграл 1 рода по параметрически заданной дуге в пространстве, поэтому он вычисляется по формуле (1.2) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному интегралу:

Найдем производные

и дифференциал длины дуги

Подставим эти выражения в формулу для массы:

.

Задание 4

Пример 1.Вычислить криволинейный интеграл 2 рода

по дуге Lкривой 4x+y²= 4 от точкиA(1, 0) до точкиB(0, 2).

Решение.Плоская дугаLзадана в неявном виде. Для вычисления интеграла удобнее выразитьxчерезy:

и вычислять по формуле (2.8) преобразования криволинейного интеграла 2 рода в определенный интеграл по переменной y:

где a_x(x, y) = xy – 1, a_y(x, y) = xy².

Теперь запишем

Далее подставляем эти выражения в данный криволинейный интеграл и преобразуем его в определенный:

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по дуге

где L– ломанаяABC,A(1, 2),B(3, 2),C(2, 1).

Решение. По свойству аддитивности криволинейного интеграла

Каждый из интегралов слагаемых вычисляем по формуле (2.7)

где a_x(x,y) =x² +y,a_y(x,y) = –3xy.

Уравнение отрезка прямой ABy= 2,y= 0,x₁= 1,x₂= 3. Подставляя в формулу (2.7) эти выражения, получаем:

И теперь по формуле (2.7) найдем

.

Запишем уравнение прямой BCпо формуле

где x_B,y_B,x_C,x_C– коэффициенты точекBиС, получим

y– 2 =x– 3,y=x– 1,y= 1.

Подставляем полученные выражения в формулу (2.7)

Задание 5

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по дуге L

0 ≤ t≤ 1.

Решение. Так как кривая интегрирования задана параметрически уравнениямиx = x(t),y = y(t),t[t₁;t₂], гдеx(t) иy(t) – непрерывно дифференцируемые функцииtприt[t₁;t₂], то для вычисления криволинейного интеграла второго рода используем формулу (2.5) сведения криволинейного интеграла к определенному для плоской параметрически заданной кривой

.

В рассматриваемом примере a_x(x;y) =y;a_y(x;y) = –2x.

Cучетом задания кривойLполучаем:

Подставляем найденные выражения в формулу (2.5) и вычисляем определенный интеграл: