- •9. Понятие интегралов на поверхности
- •9.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •9.2. Понятие о двусторонней поверхности
- •9.3. Поверхностный интеграл второго рода
- •10. Элементы теории поля
- •10.1. Скалярное поле Производная по направлению. Градиент
- •10.2. Векторное поле
- •Свойства простейших векторных полей
- •11. Дифференциальные уравнения
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Виды и способы решения дифференциальных уравнений
- •12. Числовые и функциональные ряды
- •12.2.3. Стандартные числовые ряды с положительными членами
- •12.2.4. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •12.2.5. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов (теорема лейбница)
- •12.2.6. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
- •12.3. Числовые ряды с комплексными членами
- •12.4. Функциональные и степенные ряды
- •12.4.1. Область сходимости. Интервал сходимости
- •12.4.2. Равномерная и неравномерная сходимость
- •Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости ряда
- •12.5. Ряды Тейлора
- •12.5.1. Необходимое условие разложения функции в ряд тейлора
- •12.5.2. Достаточное условие разложения функции в ряд тейлора
- •12.5.3. Ряд маклорена
- •12.5.4. Стандартные разложения функций в ряд маклорена
- •12.5.5. Примеры приближенных вычислений с помощью рядов
- •13. Ряды фурье
- •13.1. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье
- •13.2. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
- •13.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
13. Ряды фурье
Тригонометрический ряд (1),
коэффициенты которого определяются формулами
(2)
называется рядом Фурье, а числа – коэффициентами Фурье функции. Ряд Фурье, построенный для функции, обозначается так:
.
● Большое практическое значение имеет следующая задача: по заданной периодической функции с периодомнайти всюду сходящийся ряд (1), имеющий сумму . Эта задача называется разложением данной функциив ряд Фурье.
●Если отрезок можно разбить внутренними точкамитак, что на каждом из полученных промежуткахибудут непре-
рывны и, кроме того, существуют конечные односторонние пределы и
в концевых точках этих промежутков, то такая функция называется кусочно-дифференцируемой. Кусочно-дифференцируемая на отрезкефункция может быть на нем непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого ряда.
13.1. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье
Если функция кусочно-дифференцируема на отрезке, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке, и имеет сумму
.
На концах отрезка сумма ряда Фурье определяется формулой:
.
Кроме того, если – точка непрерывности, то
.
Пример 18. Разложить в ряд Фурье периодическую и заданную в интервале функциюПостроить график функции и второй частичной суммыее разложения в ряд Фурье.
Решение. Данная функция имеет одну точку разрыва первого рода при , а точки экстремума отсутствуют. Следовательно, данная функцияудовлетворяет условиям Дирихле и может быть представлена рядом Фурье.
Интервал симметричен относительно начала координат и на этом интервале, следовательно, данная функция нечетная и ее ряд Фурье не содержит косинусов, так как коэффициенты Фурье.
Найдем коэффициенты :
Разложение данной функции в ряд Фурье запишется следующим образом:
Далее построим график данной функции (рис. 46,а).
Рис. 46, а
Для того чтобы выяснить, каким образом график функции приближается графиками последовательных частичных сумм полученного ряда, изобразим на рисунке графика самой функции последовательные гармоники ряда (пунктиром) и график 1-й и 2-й частичных сумм (рис. 46, б). Как видно из этого рисунка, чем больше последовательных гармоник ряда включает в себя частичная сумма, тем ближе график частичной суммы подходит к графику данной функции.
13.2. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
,
где ,
.
Замечание. Условия сходимости ряда Фурье для функции , заданной на отрезкеаналогичны условиям разложения функции в ряд Фурье на отрезке.
Пример 19. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале функцию:
Решение. Вопрос о четности или нечетности данной функции не рассматриваем, так как она задана на интервале, не симметричном относительно начала координат. Длина указанного интервала (0,4) равна . Определим коэффициенты Фурье для этой функции:
Ряд Фурье данной функции имеет вид:
Полученное разложение справедливо во всей области определения заданной функции, причем в интервале (0,2) сумма ряда а в интервале (2,4) сумма рядатак как во всех точках непрерывности сумма ряда равна исходной функции. В точке разрывагде функция не определена, сумма ряда