12.5. Ряды Тейлора

12.5.1. Необходимое условие разложения функции в ряд тейлора

(по степеням где– фиксированная точка). Если непрерывная функциябесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки, то она может быть представлена в виде ряда Тейлора:

12.5.2. Достаточное условие разложения функции в ряд тейлора

называется достаточным условием сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции и заключается в следующем. Чтобы ряд Тейлора сходился к порождающей его функции т. е. сумма ряда Тейлора совпадала с данной функцией:достаточно, чтобыгде остаточный члени(форма Лагранжа).

Пример. Разложить в ряд Тейлора функцию по степеням.

Решение. Запишем ряд Тейлора для данной функции при

и вычислим значения данной функции и ее производных в точке

……………….. ……………….

Найденные значения подставим в ряд Тейлора и получим разложение данной функции по степеням :

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера:

Решая последнее неравенство, находим интервал

Границы этого интервала исследуем особо.

Подставляя в ряд , затем, получим числовые рядыи, которые расходятся, так как для каждого из этих рядов

Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для функции есть промежуток.

Замечание. Исследуя остаточный член формулы Тейлора, можно убедиться, что полученный ряд сходится к данной функции именно на указанном интервале.

12.5.3. Ряд маклорена

Если то ряд Тейлора называетсярядом Маклорена и разложение функции в ряд Маклорена называетсяразложением функции по степеням х и имеет следующий вид:

Замечание. Значение функции и суммы ряда совпадают лишь в точках области сходимости.

12.5.4. Стандартные разложения функций в ряд маклорена

№№ п/п	Функция	Ряд Маклорена	Интервал сходимости
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Биномиальный ряд
7.
8.
9.

12.5.5. Примеры приближенных вычислений с помощью рядов

Пример 13. Вычислить значение точностью до 0,001.

Решение. Ряд Маклорена для функции :

сходится в интервале . Полагая, получим:

Для того чтобы выбрать необходимое число членов полученного числового ряда для вычисления значения е с заданной точностью, оценим остаток ряда при.

Заметим, что все члены последнего ряда не превышают значений соответствующих членов ряда

представляющего собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Следовательно, по теореме о сравнении знакоположительных рядов и ошибка, допускаемая при замене суммы ряда частичной суммой, не превосходит. Учтем, что привеличинаЗначит, для вычисленияс точностью до 0,001 достаточно взять сумму первых пяти членов ряда:

Пример 14. Пользуясь соответствующим рядом, вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Выполним следующее преобразование:

Применяя биномиальный ряд и полагая ,, получим:

Учитывая, что в полученном знакочередующемся ряде значение четвертого члена меньше 0,001, делаем вывод: для вычисления с заданной точностью достаточно взять сумму трех первых членов ряда: