6. Постоянное магнитное поле

6.1. Базовые соотношения

Определение магнитного поля (формула Лоренца): F = q(υ × B).

Сила Ампера: dF = i(dl×B).

Закон Био-Савара: B =.

Магнитное поле элемента тока: dB =.

Принцип суперпозиции: В = ∑ В_k..

Магнитное поле прямого длинного провода с током: B =.

Магнитное поле на оси круглого витка с током: .

Магнитное поле в соленоиде: .

Теорема о циркуляции вектора В: .

Магнитный момент контура с током (магнитного диполя): р_m = i S.

Сила, действующая на точечный магнитный диполь в поле В: F_x= .

Давление магнитного поля: р = В²/(2μ₀).

6.2. Задачи

6.1. Как будет реагировать магнитная стрелка, если к ней поднести небольшой положительный заряд? Варианты ответа: 1) никак; 2) ближайший конец стрелки притянется к заряду; 3) к заряду притянется северный полюс стрелки; 4) к заряду притянется южный полюс стрелки.

6.2. Оценить величину магнитного поля В, в котором развалится атом водорода, влетающий в это поле со скоростью, близкой к скорости света. Радиус атома водорода r₀ = 510^–11 м.

6.3. Прямой проводник ab длиной l и массой т подвешен на тонких проволочках и помещен в однородное вертикальное магнитное поле (рис. 6.1). При пропускании по проводнику постоянного тока i он отклонился на угол . Вычислить величину магнитного поляВ.

6.4. Прямой проводник ab длиной l = 6,9 см и массой т = 10 г подвешен на тонких проволочках длиной h = 10 см и помещен в вертикальное однородное магнитное поле В = 0,1 Тл (рис. 6.1.). При пропускании через проводник короткого импульса тока, проводник оказался "отброшенным" от вертикали на угол α = 4°. Найти заряд q, прошедший через проводник.

6.5. По круглому витку радиусом R течёт ток i. Найти магнитное поле на оси витка В(х) и построить соответствующий график. Вычислить поле В₀ в центре витка, если R = 1 см, i = 10 А.

6.6.. По круглому витку радиусом R течёт ток i. На каком расстоянии х от центра витка на его оси магнитное поле в N раз меньше, чем в центре? Сделать вычисления с точностью до трёх знаков для N = 2, 3 и 10.

6.7. Тонкое кольцо радиусом R имеет заряд q и вращается вокруг своей оси с частотой f об/с. Определить магнитное поле В₀ в центре кольца и магнитный момент кольца.

6.8. Тонкий диск радиусом R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью σ, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Определить поле В₀ в центре диска и магнитный момент диска.

6.9. Тонкий стержень длиной l имеет заряд q и вращается вокруг перпендикулярной ему оси, проходящей через его середину, с угловой скоростью ω. Определить магнитный момент стержня.

6.10. Сфера радиусом R, заряженная равномерно с поверхностной плотностью σ, вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через её центр. Определить поле В в центре сферы.

6.11. Применяя закон Био-Савара, вычислить магнитное поле длинного прямого тонкого провода с током i.

6.12. Длинный прямой провод с током i изогнут, как показано в вариантах рис. 6.2: а) под прямым углом; б) полуокружностью радиусом R; в) четвертьокружностью радиусом R. Найти магнитное поле В в точке О каждой из этих систем. Величины а и R заданы.

6.13. Вычислить поле В₁ на оси полубесконечного соленоида в сечении его торца, если в глубине соленоида оно равно В₀.

6.14. Короткий соленоид радиусом R имеет длину l. По его обмотке с плотностью витков п течёт ток i. Вычислить магнитное поле В₀ в центре соленоида. Найти асимптотику В₀(l) при l ≫ R.

6.15. Круглый тонкостенный цилиндр радиусом R, длиной l обтекается током i, равномерно распределённым по его длине, как показано на рис. 6.3. Вычислить магнитное поле В₀ в центре такого цилиндра. Найти асимптотику В₀(l) при l → 0.

6.16. Ток i течёт вдоль длинного в форме полутрубы радиусом R прямого проводника, как показано на рис. 6.4. Определить поле В на оси полутрубы.

6.17. Постоянный ток i равномерно распределён по сечению длинного цилиндрического провода радиусом R. Применяя теорему о циркуляции вектора В, вычислить магнитное поле внутри и вне провода и изобразить соответствующий график B(r), 0 ≤ r ≤ ∞.

6.18. Применяя теорему о циркуляции вектора В, вычислить магнитное поле вблизи проводника в виде тонкой прямой широкой ленты, по которой течёт ток, равномерно распределённый по ней с поверхностной плотностью J = 10 А/мм.

6.19. Найти поле В в полосковой линии, если ток в полосках i = 10 А, ширина полосков а = 12 мм.

6.20. Применяя теорему о циркуляции вектора В, вычислить магнитное поле вблизи проводника в виде прямой широкой ленты, движущейся вдоль своей длины со скоростью υ и равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ.

6.21. Электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом r = 5·10⁻¹¹ м. Орбитальный магнитный момент электрона р_m = 3·10⁻³² А·м². Определить: 1) эквивалентный молекулярный ток i; 2) частоту f (Гц) вращения электрона вокруг ядра.

6.22. В атоме водорода электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите радиусом r = 0,053 нм. Определить магнитное поле в центре круговой орбиты электрона.

6.23. Тонкое проволочное кольцо радиусом R = 2 см находится в перпендикулярном ему однородном магнитном поле В = 1 Тл. По кольцу идёт ток i = 10 А. Найти силу натяжения кольца F. Действие на кольцо собственного магнитного поля тока i не учитывать.

6.24. Медный диск массой m = 1 кг, находящийся в перпендикулярном ему однородном поле В = 1 Тл, может свободно вращаться вокруг своей оси. При пропускании через него постоянного тока i = 1 А, как показано на рис. 6.5, он начинает вращаться. Через какое время скорость его вращения f достигнет 10 об/с ?

6.25*. Тонкое проволочное кольцо радиусом R = 2 см находится в неоднородном поле магнита, силовые линии которого в точках пересечения с кольцом образуют угол =30° с нормалью к плоскости кольца (рис. 6.6), а величина магнитного поля в точках кольца В = 0,48 Тл. По кольцу идёт ток i =10 А, стрелка которого показана на рис. 6.6. Притягивается или отталкивается кольцо от магнита и с какой силой F?

6.26. По прямоугольной пластинке полупроводника шириной и высотойh течёт ток i, как показано на рис. 6.7. Пластинка помещена в однородное поле В, линии которого перпендикулярны другой паре её граней. При этом на третьей паре граней возникает разность потенциалов Δφ = и (эффект Холла). Определить Δφ, если h = 2,5 мм, i = 100 мА, В = 1 мТл, концентрация свободных носителей в пластинке п = 10¹⁶ м^-3, заряд носителя е = 1,6·10⁻¹⁹ Кл.

6.27*. К двум длинным параллельным проводам, замкнутым на конце резистором, как показано на рис. 6.8, приложено постоянное напряжение, и по ним идёт ток. Расстояние между осями проводов в k = 20 раз больше их радиусов. При каком сопротивлении R сила взаимодействия между проводами обратится в ноль?

6.28. Два длинных прямых взаимно перпендикулярных провода отстоят друг от друга на расстояние h. В каждом течёт ток i. Найти максимальную силу Ампера F₀, приходящуюся на единицу длины проводов в этой системе. Как эти силы стремятся повернуть провода?

6.29. Два одинаковых точечных магнитных диполя (два маленьких круглых витка с токами) с дипольными моментами р_m лежат на оси z и оба направлены вдоль неё. Найти их силу взаимодействия F(z).

6.30. При разряде молнии через трубку радиусом r=1 см прошёл импульс тока с амплитудой I = 1 МА и смял её. Вычислить давление р (атм) на стенки трубки, соответствующее этому току.

6.31. На соленоид длиной l = 10 см уложено N = 1000 витков провода. Вычислить магнитное давление на стенки соленоида при токе i = 10 А. Сжимает оно соленоид или разрывает его ?

6.32. По коаксиальной линии пропущен ток i = 25 кА. Радиусы цилиндров: R₁ = 5 мм, R₂ = 10 мм. Определить магнитное давление на внешний цилиндр. Сжимает оно внешний цилиндр или разрывает?

6.33. В электромагнитном насосе для перекачки расплавленного металла участок трубы с металлом находится в однородном магнитном поле В, как показано на рис.6.9. В перпендикулярном направлении через этот участок пропускают ток i. Вычислить давление р, создаваемое таким насосом при В = 0,2 Тл, i = 100 А, а = 1 см.