Kepchik

лить суммарную реакцию на данную дозу.

10.9.В момент времени t скорость изменения концентрации препарата с изотопным индикатором v e t ln2. Найти концентрацию препарата в момент времени t.

10.10.Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратимом изотермическом расширении от 2,24 10 3 äî 22,4 10 3 ì

ïðè t = 0 *C.

10.11. Скорость размножения плесневых грибков определяется формулой v aekt , ãäå t – время. Найти численность грибков в момент времени t 10, если известно, что начальная численность популяции грибков

N(0) 10 000.

11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия и теоремы: функция нескольких переменных; предел функции; частные и полное приращения; частные производные; полный дифференциал; максимум и минимум функции двух переменных; необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

62

Ðе ш е н и е. Подкоренное выражение не может быть отрицательным,

èв силу того, что выражение 16 x 2 y 2 стоит в знаменателе, оно не

может быть равно нулю. Следовательно, функция определена, когда

16 x 2 y 2 0 èëè 16 x 2 y 2.

А этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие внутри круга радиусом R 4 с центром в начале координат (граничные точки исклю- чаются).

Таким образом, область определения функции – совокупность точек, лежащих внутри круга радиусом R 4 с центром в начале координат.

Пример 2. Найти частные производные 2-го порядка и полный дифференциал функции z x 2y xy 2.

Р е ш е н и е. Найдем zx) , считая, что y const: zx) 2yx y 2.

Вычислим zy) , предполагая, что x const: zy) x 2 2xy.

Таким образом, полный дифференциал имеет вид

df zx)dx zy)dy (2yx y 2 )dx (x 2 2xy )dy.

Дифференцируя каждую из полученных производных 1-го порядка по x è y, получим частные производные 2-го порядка:

z )) (2yx y 2 )) 2y; z )) (x 2 2xy )) 2x;

xx x yy y

z )) (2yx y 2 )) 2x 2y z )) (x 2 2xy )) .

xy y yx x

Пример 3. Исследовать функцию z x 2 xy y 2 13x 11y 7 на экстремум.

Р е ш е н и е. Вычислим частные производные

Для нахождения стационарных точек рассмотрим систему уравнений:

Следовательно, точка (5; 3) – стационарная.

63

Вычислим значения вторых производных в этой точке: A 02z 2,

0x 2

Òàê êàê A 02z(5; 3) 2 0 è 0 , то в точке (5; 3) экстремум суще-

0x 2

ствует и он является минимумом, zmin (5; 3) 42.

Пример 4. В химической реакции участвуют три вещества с концентрациями x, y, z. Скорость реакции v в любой момент времени выражается закономv kx 2yz. Найти концентрации x, y, z, при которых скорость тече-

ния реакции максимальна.

Р е ш е н и е. Пусть x y z 100 %. Тогда

z 100 x y è v kx 2y(100 x y ).

Найдем частные производные данной функции v и приравняем полу- ченные выражения к нулю:

z 25. Легко проверить, что функция v kx 2y (100 x y ) достигает своего максимального значения в точке (50; 25).

Следовательно, при концентрациях x 50 %, y 25 %, z 25 % скорость течения реакции максимальна.

11.1. Найти и изобразить на плоскости область определения данной функции:

64

11.2. Найти частные производные 2-го порядка и полный дифференциал данной функции:

z 3x 2 y 2 3xy 6x 2y 1;

65

11.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z в заданной области D:

1) z x 2 2xy 4x 8y, D – область, ограниченная прямыми x 0, y 0, x 1, y 2;

2) z x 2 3y 2 x y, D – область, ограниченная прямыми x y 1, x 1, y 1;

3)z xy x y, D – область, ограниченная прямыми

x2, x 1, y 2, y 3;

4)z x 2 2y 2 4yx 6x 1, D – область, ограниченная прямыми

xy 3, x 0, y 0;

5)z x 2y (4 x y ), D – область, ограниченная прямыми

xy 8, x 0, y 0.

11.5. Для увеличения сокоотдачи свежего лекарственного растительно-

го сырья используют ультразвук. Общее уравнение сокоотдачи при использовании ультразвука имеет вид y A(1 kt 0,7e 0,0125h ), ãäå A, k – постоян-

íûå; t – продолжительность процесса; h – толщина озвучиваемого слоя сырья. Записать уравнение скорости сокоотдачи:

1) äëÿ h const; 2) äëÿ t const.

11.6. В химической реакции участвуют три вещества с концентрациями x, y, z. Скорость реакции v в любой момент времени выражается законом v kxy 2z. Найти концентрации x, y, z, при которых скорость течения реакции максимальная.

11.7. Реакция организма на дозу x лекарственного препарата спустя t ча- сов после приема описывается зависимостью z x 2 (a x)t 2e t . При какой дозе x реакция организма окажется максимальной и когда она наступит?

11.8. При лечении некоторого заболевания одновременно назначают два препарата. Реакция организма на дозу x первого препарата и дозу y второго препарата описывается зависимостью z x 2y 2 (a x)(b y ) , ãäå a è b –

66

постоянные. Определить дозу y второго препарата, которая вызовет максимальную реакцию при фиксированной дозе x первого препарата.

12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия и теоремы: дифференциальное уравнение; частное и общее решение дифференциального уравнения; дифференциальные уравнения 1-го порядка: с разделяющимися переменными, линейные и однородные; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го

и при помощи тождественных преобразований привести к уравнению

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения y ) ctg x y 2 , удовлетворяющее условию y (0) 1.

Р е ш е н и е. Уравнение y ) ctg x y 2 можно записать в виде

dy ctg x y 2. dx

Разделяя переменные и интегрируя уравнение dy ctg x y 2, íàé- dx

дем общее решение данного уравнения:

67

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид y c cos x 2. Используем начальное условие y(0) 1и получим 1 c 2. Отсюда

c 3.

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее заданному началь-

ется функцией отношения своих аргументов (поскольку, разделив числитель и знаменатель правой части на x, получим

y / x

1 (y / x)

Сделаем в уравнении (x y )dy ydx 0 замену y ux: dy xdu udx, (x ux)(xdu udx) uxdx.

Преобразуем полученное уравнение:

68

Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением, поэтому сделаем замену:

y u(x)v (x), y ) u) (x)v (x) u(x)v ) (x).

3)y )) 4y ) 13y 0.

Ðе ш е н и е. Данные уравнения являются однородными линейными дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Поэтому для их решения надо составить характеристические уравнения.

1) Характеристическое уравнение, соответствующее данному уравнению y )) y 0, имеет вид k 2 1 0.

Решая уравнение k 2 1 0, получаем два корня k1 1è k2 1. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

y c1e x c2e x .

2) Для уравнения y )) 4y ) 4y 0 составим характеристическое уравнение k 2 4k 4 0.

Решая уравнение k 2 4k 4 0, получаем, что D 0, и, следовательно, уравнение имеет два равных корня k 2. Отсюда общее решение уравнения имеет вид

y(c1 c2x)e 2x .

3)Характеристическое уравнение k 2 4k 13 0 соответствует исходному уравнению y )) 4y ) 13y 0.

Решая уравнение k 2 4k 13 0, получаем, что дискриминант

D 16 4 13 36 0.

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

y c1e (x sin x c2e (x cos x,

Пример 6. Решить уравнение y )) y cos x.

Р е ш е н и е. Уравнение y )) y cos x является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет вид e 1x (A cos 2x B sin 2x),

ãäå 1 0, 2 1, A 1, B 0. Тогда частное решение исходного уравнения будем искать в виде: y * xl e (x (M cos x N sin x). Причем l 1, òàê

как из характеристического уравнения k 2 1 0 (D 0) и вида правой части следует, что

( p / 2 0, q (p 2 / 4) 1 0 / 4 1,

ò. å. y * x(M cos x N sin x).

Отсюда

(y * )) (M cos x N sin x) x(N cos x M sin x)

è

(y * ))) 2(N cos x M sin x) x(N sin x M cos x).

Подставляя в исходное уравнение выражения y *, (y * ))) и применяя тождественные преобразования, получаем

2(N cos x M sin x) cos x.

70

Тогда частное решение имеет вид y * x sin x, следовательно, общее

2

решение исходного уравнения – y c1 cos x c2 sin x x sin x. 2

Пример 7. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Найти зависимость температуры тела Ò от времени t, если за 10 мин температура тела снизилась от 100 *Ñ äî 60 *С, а температура воздуха была постоянной и равнялась 20 *Ñ.

Р е ш е н и е. Скорость охлаждения тела, температура которого Ò, равна

dT . По условию задачи имеем dt

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем, что

ln|T 20 | kt ln| c | èëèT 20 cekt .

Найдем значение ñ, удовлетворяющее данным начальным условиям t 0,T 100 *Ñ:

100 20 c e 0 ,

отсюда c 80.

Следовательно, искомая зависимость определяется частным решением T 20 80ekt .

Найдем k из условия, что при t 10 ìèíT 60 *Ñ, ò. å.

60 20 80e 10k èëè e 10k 1 . 2

0,07.

Таким образом, зависимость температуры тела от времени имеет вид

T 20 80e 0,1t ln2 20 80e 0,07t .

12.1.Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

ñразделяющимися переменными:

71