Kepchik

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неопределенности вида

%. Затем неопределенность вида

легко рас-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

946.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Основные понятия и теоремы: числовая последовательность; монотонная, сходящаяся, расходящаяся, ограниченная последовательности; бесконечно малая и бесконечно большая последовательности и их свойства; основные свойства пределов последовательностей; число Эйлера и его применение для описания некоторых биологических процессов. Понятие функции; сложная, обратная, монотонная, периодическая, четная и нечетная функции; элементарные функции; бесконечно малые и бесконечно большие функции. Предел функции; односторонние пределы; основные свойства пределов; 1-й и 2-й замечательные пределы.

Пример 1. Вычислить пределы:

	2	1	x
1) lim x				;
1) lim x				;
x 2		x 2 5

	1			3
3) lim							;
				x		3
	1 x 1
x 1
4) lim		2x 1	1		;

x 0		x 2 7x

2) lim		x 3 15x 2 x
							;
							;
x " 5x 4					6x 3 6
5) lim			1 cos x			;
5) lim						;
x 0				9 x 3
	x 4				x
6) lim					.
6) lim			x 1		.
x "			x 1

Ð å ø å í è å. 1) Ïðè x 2 не возникает никакой неопределенности, поэтому решение данного примера осуществляют при помощи только основных свойств пределов функций:

	2	1	x	lim x	2	lim	1	x
lim x
lim x
x 2		x 2 5		x 2		x 2 x 2 5

lim x 2	lim1 lim x	22	1 2	4	1
	x 2 x 2		1 2		1	.
	lim(x 2 5)		22 5			.
x 2	lim(x 2 5)		22 5	3
	x 2
						" #
2) В этом примере имеет место неопределенность вида							%. Äëÿ åå ðàñ-
							" $

крытия делят числитель и знаменатель дроби на старшую степень x (в частности, на x 4) и при этом используют свойства пределов бесконечно больших и бесконечно малых функций:

x 3 15x 2 x

" #

lim

x 2

x 3

" $

x "

lim

0 0 0

x " x x " x 2

x " x 3

lim

5 lim

lim

5 0 0

x " x

" x

3) В данном примере имеет место неопределенность вида [(") (")], которую в результате приведения дробей к общему знаменателю сводят к

крывают путем разложения на множители числителя и знаменателя и сокращения на общий множитель (1 x):

				1	3			[" "] lim			x 2		x 3
			lim
			lim	1 x	1 x	3						1 x			3
				1 x	1 x					x 1		1 x
			x 1							x 1
	0	# lim		(x 1)(x 2)					lim	(x 2)				(1 2)			1.
		# lim					2		lim			2					1.
		%	x 1	(1 x)(1 x x			2		x 1			2				2
		%	x 1					)	x 1	1 x x			1 1			1
0		$						)		1 x x			1 1			1

0 #

4) В этом примере имеет место неопределенность вида %, причем

0 $

числитель исходной дроби содержит выражение с квадратным корнем. Для раскрытия такой неопределенности числитель и знаменатель дроби умножают на выражение, сопряженное числителю, т. е. на (2x 1 1) , а затем сокращают общий множитель:

lim		2x 1			1			0	#	lim		(		2x 1				1)(		2x 1	1)
lim			2							lim
x 0		x	2	7x					%		x 0	(x			2		7x)( 2x 1 1)
x 0									%		x 0				2
							0		$
lim				2x 1 1								lim							2x
lim												lim
x 0 (x 2				7x)( 2x						1 1)			x 0 x(x 7)( 2x 1 1)
lim						2										2							1	.
lim																								.
	x 0 (x 7)( 2x 1 1) (0															7)( 0 1 1)						7
																						0			#
5) В этом примере имеет место неопределенность вида																									%. Äëÿ åå îò-
5) В этом примере имеет место неопределенность вида																									%. Äëÿ åå îò-
																						0			$

крытия используют два приема: сначала домножают числитель и знаменатель исходной дроби на выражение, сопряженное со знаменателем этой дроби (т. е. прием, использованный в примере 3), а затем применяют 1-й замечательный предел:

1 cos x

2 sin2

(

9 x

lim

x 0

x 3

x 0

( 9

3)( 9 x 3)

sin

(

sin

2 sin

9 x

lim

2 lim

lim

x 0

(( 9

x )2

32 )

(

9 x

& lim

2 2

2 1 1 lim

x 0

x 9

x 0

2 lim((

lim(

3) lim x 2

6 0 0.

9 x

x 0

2 2

4 x

x 0

6) Для решения этого примера используют 2-й замечательный предел:

x 4 x lim x" x 1

	5	x	ÏËºËÊèÎ	5	1	,	ÐËª Ãà#

				x 1			%
lim 1					y

x"	x 1						%
			Ïðè x " y "				$

5y 1

1 y 5

lim 1

lim

y "

1 y 5

lim

lim 1

y "

Пример 2. При введении некоторого лекарства его содержимое в крови больного спустя t часов составляет c(t) 15 5e t . Найти равновесное содержание лекарства в крови.

Р е ш е н и е. Равновесное содержание лекарства в крови равно

lim (15 5e t ) lim 15 lim 5e t

15 5 lim e t 15 5 0 15 åä.

t "

5.1. Найти пределы:

1) lim

3x 5

;

8) lim

4x 2

5x 2

;

x 7 x

x 2 3x 2

2) lim

x 3

;

9) lim

x 2

;

3x 1

x 1 x 2

x 2 x 2

3) lim

x 2 1

;

10) lim(3x 2 2x 7);

x 0 2x 2 x 1

x 2

4) lim	x 3	4x 2 1	;
		x 2 5
x 1

5)lim 3x 2 4x 7 ;

x1 2x 2 5x 6

6) lim(x 6	2x 4 x 3 7);
x 0
7) lim(x 4	4x 2 5x 7);
x 2

5.2. Найти пределы:

1)lim 5 6x 5x 2 ;

x" x 3 x 2 1

2)lim 6x 2 5x 4 ;

x" 3x 2 7x 2

3) lim

2x 3 x 1

;

2x 2 1

x " 5x 3

7) lim

;

x "

8) lim

2x 4

5x 3 7x

2 8x 9

;

x " 3x 5 6x 3 4x 2 2x 11

x 2

9) lim

;

x "

5 3x

10) lim

;

x " 10 x x

11) lim

(1 x)(7 x)

;

x "

x 2 5

12)lim (x 1)(x 2) ; x " 5x 2 7x 2

5.3. Найти пределы:

1)lim 2x 2 x 1;

x1 x 2 x 2

11) lim		x 2	3x 2		;
11) lim	x 2		4x 12		;
x 2	x 2		4x 12
12) lim		x 2	2x 3	;
12) lim			7x 6	;
x 1 x 2			7x 6

13)lim (7x 2 5x 9);

	2		1
14) lim x				.
14) lim x			x	.
			x
x 5
4) lim	(x 1)				3	;
4) lim						;
x " 2x		3 3x 1

5)lim 10x 3 6x 2 7x 5 ; x " 8 2x 3 3x 2 4x

6) lim

3x 2 x 1

;

x " 5x 2 2x 1

x 2 1

x 3

13) lim

;

x "

14) lim

7x 2

;

x " 14 7x 2

x 3 1

2x 3 7

15) lim

;

x "

5 x

16)lim(x 2 1 x 2 1);

x "

17) lim

x 2

6x 1

;

x " 4x 2 3x

15x

4 1

7x 3 1

18) lim

x "

7 4x

9) lim	x 2	11x 28	;
		2 5x 4
x 4 x

2)lim x 2 6x 27 ;

x 3 x 2 2x 3

3) lim	4x 3	x 2 x	;
		2x
x 0

4)lim x 2 6x 8 ;

x 4 x 2 5x 4

5) lim	x 2 5x 6				;
		12x 20
x 2 x 2
6) lim	x 2	6x 8	;
		x 4
x 4
7) lim		x 3 4x		;
		4x 12
x 2 x 2

8)lim x 2 1;

x1 x 1

5.4. Найти пределы:

1)lim x 2 5x 6 ; x 6 x 2 2

3) lim	x 3	2			;

x 1	x 2 1

4) lim	x 3	2			;

x 1 x 2 x 2
5) lim	64 x 2						;

x 8	x 8			4

6) lim	x 4		2			;

x 0	x 2 5x

7) lim	1 x 2 1						;
	x 2
x 0

8)lim 10 x 3 ;

x1 5 x 2

9) lim	x 2	25			;
9) lim					;
x 5 2			x	1

10) lim	2x 2	3x 2	;
		3x 2
x 2 x 2

11)lim 4x 2 16 ; x 2 8x 3 64

12) lim		49x 2	25	;
		7x	5
x	5

7

13)lim 3x 2 5x 2 ;

x1 1 2x 3x 2

14) lim

x 2 11x 30

;

x 6 3x 2 17x

15) lim

x 2 4x 3

;

x 3 x 2 2x 15

16) lim

x 2 3x 4

x 3 64

x 4

;

2) lim

x 6

x 2

x 2 2x

10) lim

1 8x

;

x 1

4x 2

;

11) lim

2 x

x 2

7 x 3

;

12) lim

5 x

x 1

8 x 3

;

13) lim

5 x

x 1

2x 1 1

;

14) lim

9 x

x 0

15) lim

;

x 1 x 2 3x

16) lim

x 16

x 0

x 2 5x

5.5. Найти пределы:

1)lim sinax ;

x0 x

2)lim tg ax ;

x0 sinbx

3)lim sinax ;

x0 sinbx

4)lim sin(x 1) ;

x1 2 1x

5)lim tg x ;

x 0 x

sin x

6) lim ; x 0 5 x 25

7) lim sin(x 1) ;

x 1 x 3 1

sin x

8) lim ; x 0 x 4 2

5.6. Найти пределы:

9) lim sin(x 2) ;

x 2 x 3 8

10) lim 1 cos x ; x 0 x sin x

11)lim sin2 3x ;

x0 xtg3x

12)lim tg5x 2ctg3x;

13)lim xtg 2 5x ;

x0 sin 4x

14)lim x sin7x ;

x0 tg4x 2

15) lim	tg 4	3x		;
			5x
x 0 x sin3

16)lim x 2ctg 2 2x.

x 0

e 3t ).

	k x
1) lim 1		;

	x
x "

x n x

2) lim ; x " x m

x 1 x

3) lim ; x " x 1

x 4 x

4) lim ; x " x 4

5) lim		x 3			x			;
5) lim			x					;
x "
			2x					3x
6) lim								;
6) lim		2x			3			;
x "		2x			3
7) lim		2 3x					x 2		;
7) lim									;
x "			3x
			3x
		2x 3					x 1
8) lim								;
8) lim		2x						;
x "		2x			1
	x 2 3					x 2 6
9) lim									;
9) lim			2						;
x " x				1

x 2 2 x 2
10) lim			;
	2
x " x		1
		1 x
11) lim 1			;

		x 1
x "
		1		x
12) lim 1				;

		2x 5
x "
		1

13)lim(1 3x)x ;

14)lim x1 5x;

	m nx
15) lim 1		;

	x
x 0

16)lim(1 sin x)sinx ;

17)lim(1 3x) 2x ;

x11

18)lim(1 2x) 7x ;

x 2 1 5x 2

19) lim . x " x 2 6

5.7. Популяция микроорганизмов растет от начального объема в 500 особей до размера p (t) в момент времен t (где время t выражается в днях) по зако-

500et

íó p (t) 1 0,05 (et 1). Найти равновесную популяцию.

5.8. Больному делается инъекция некоторого лекарства. Концентрация

этого лекарства в крови в момент времени t описывается законом: 1) x (t) 0,00000001(e 2t e 4t 1); 2) x (t) 0,01(e 2t

Найти равновесное содержание лекарства в крови.

5.9. Объем популяции насекомых в момент t (где время t выражается в днях) задается величиной p (t) 10 000 9000(1 t) 1. Найти равновесную популяцию насекомых и вычислить ее размер через 8 дней наблюдений.

5.10. При вливании глюкозы ее содержимое в крови больного спустя t ча- сов составляет c (t) 10 8e t . Найти равновесное содержание глюкозы в крови.

6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА

Основные понятия и теоремы: непрерывность функции в точке; функция, непрерывная на интервале и на отрезке; критерий непрерывности функции; свойства непрерывных функций; классификация точек разрыва функции.

Пример 1. Доказать, что функция y 4x 2 3x 5 непрерывна на всей числовой прямой.

Р е ш е н и е. Областью определения функции y 4x 2 3x 5 является вся числовая прямая.

Придадим аргументу õ приращение x и найдем y:

y f (x x) f (x) [4(x x)2 3(x x) 5] [4x 2 3x 5]

4( x)2 8x x 3 x.

Тогда при любом значении õ

lim y lim [4( x)2 8x x 3 x]

x 0 x 0

lim 4( x)2 lim 8x x lim 3 x 0.
x 0	x 0	x 0

Другими словами (согласно критерию непрерывности функции), полу- чаем, что функция y 4x 2 3x 5 является непрерывной на всей числовой прямой.

Пример 2. Найти точки разры-

	x 2		3	, x 1,
			4


ва функции y		5x		, 1 x 4,
	6
	x 2,			x ' 4,

èуказать их вид.

Ðе ш е н и е. Рассмотрим точки x0 1è x1 4.

1)			x0	1:
lim f (x) lim			x 2 3		1,

x 1 0		x 1 0	4
lim f (x) lim (6 5x) 1.
x 1 0		x 1 0		в точке x0 1
Следовательно,
функция непрерывна.
2)			x1	4:
lim f (x)		lim (6 5x) 14 ,
x 4 0	f (x)	x 4 0
lim		lim (x 2) 2.
x 4 0		x 4 0		точка x1 4 –
Следовательно,

точка разрыва 1-го рода.

6.1. Доказать непрерывность функции при любом значении õ:

1)	y 5x 7;	7)	y 3 sin5x;
4) y cos x;	9) y \| x \|;		y sin x 3;
2)	y x 3;	8)	y sin x 3;
5) y sin x;	10) y cos x 4.
3)	y x 2 1;
6) y 2 cos 3x;
6.2. Степенная функция f (x) Ae (x		описывает зависимость интенсив-

ности основного обмена от массы животного. Здесь õ – масса животного; f (x) – количество кислорода, поглощаемого животным в единицу времени; À è ( – параметры, постоянные для данного класса живых существ. Доказать, что функция f (x) непрерывна, если:

1)	A 70, ( 1;

2)A 0,3, ( 2.

6.3.Найти точки разрыва функции и указать их вид:

1)y sin(5 x) ; 5 x

2)y tg x;

3)y 1 x 3 ;

4)y | x 3 | ;

5) y 3		x	;
6) y	x 2 ,			x 3,
				1, x 3;
	2x
7) y	1				;

	\| x			2 \|

8) y	x 2 1, x 0,
		2,			x 0;
	x
9) y			4			;

	(x 3)2
	x, x 0,
10) y		2	, 0		x 2,
	x
	x 1,				x 2;

11) y	2			\| x \|	;
				x

12)y 6 1 x ;

13)y 9x 2 .

7.ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные понятия и теоремы: производная функции; геометрический, механический, химический и биологический смыслы производной; теорема Ферма; теорема Ролля; теорема Лагранжа; теорема Коши; производная сложной функции; производная обратной функции; таблица производных; дифференциал и его свойства; применение дифференциала в приближенных вычислениях; производные и дифференциалы высших порядков.

Пример 1. Найти производные данных функций:

1) y 5 5 sin5x log5 x x 5 5x e 5x ; 2) y (x 2 2x 1) tg x;

3) y 6x 5 ; 4) y cos2 x cos 2x cos x 2; 5) y cos 7x sin3 x. sin5x

Ð å ø å í è å. 1) y ) (5 5 sin5x log5 x x 5 5x e 5x ))(5)) 5(sin5x)) (log5 x)) (x 5 )) (5x )) (e 5x ))

0 5 cos 5x (5x))	1	5x 5 1 5x ln5 e 5x (5x))
0 5 cos 5x (5x))	x ln5	5x 5 1 5x ln5 e 5x (5x))
	x ln5
25 cos 5x 5x 4		1		5x ln5	5e 5x .

			x ln5
			x ln5

y ) ((x 2 2x 1) tg x)) (x 2 2x 1)) tg x (x 2 2x 1) (tg x))

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2018513.54 Кб15Kasko_Osnovy_journ.doc
#
29.02.2016781.82 Кб26KAUN_2k_Ist_IIB_DO_istoria_Lektsii.doc
#
29.02.20167.37 Mб46kaz_hist.pdf
#
19.09.201954.05 Кб4kaz_yaz_bilety2.docx
#
09.08.201952.63 Кб4KD_E.docx
#
29.02.2016946.98 Кб78Kepchik.pdf
#
29.02.2016226.87 Кб2Khantington_-Stolknovenie_tsivilizatsy.pdf
#
18.09.2019141.82 Кб25Khimicheskie_reaktory.doc
#
08.09.201952.49 Кб2Khorovaya_i_solnaya_melika.docx
#
22.09.2019217.22 Кб4Khoz_protsess_Konspekt.docx
#
21.08.2019153.09 Кб6KhP-2.doc