Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kepchik

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

946.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

55. à) .

(x 2)dx

;

á) . arcsin2xdx;

â) .

x 1

56. à) .

1 ln xdx

;

á) . arctg3xdx;

â) . x4 xdx.

arctgxdx

57. à) . 1 x 2 ;

á) . (x 1)sin xdx;

â) . x31 xdx.

58. à) . arcsin x dx;

1 x 2

xdx

á) . cos2 x ;

â) . x4 xdx.

59. à) . ln2 xdx; x

á) . (1 x)cos 2xdx;

9
9			xdx
â) .			xdx				.
â) .							.
4	3x 2
60. à) .	(2x 3)dx								;

		x		2	3x			7
		x			3x			7
á) . arccos x dx;
8		xdx
â) .		xdx				.
â) .						.
3		1 x

7.Приложения определенного интеграла

Âзадачах 61–70 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

61. y x 2, y x(2 x).	66. yx 2, y x 3.
62. xy 5, x y 6.	67. y x 2	2, x y 4 0.
63. y x 2 4,2x y 4 0.	68. y 6x x 2 , y 0.
64. yx 4, y x 5 0.	69. y x 2	4x, x y 4 0.
65. y 2 x 1, y 2 9 x.	70. y 2 x 1, y x 3.

8.Производные функции нескольких переменных

Âзадачах 71–80 вычислить частные производные 1-го порядка данных функций.

71.z x 3 y 2 3xy.

72.z (x y ) / (x y ).

73.z x y .

76.z x 3y y 3x.

77.z arctg(y / x).

78.z sin xy.

74. z x 2 y 2 .	79. z tg(x 2 y 2 ).
75. z e xy .	80. z ln(x 2 y 2 ).

9.Дифференциальные уравнения

Âзадачах 81–90 решить дифференциальные уравнения.

81. à) (2x 5)dy ydx 0;

á) y ) y e x ; x

â) y )) 5y ) 6y x 2 x.

82.à) xy y ) 0; á) xy ) x 4 2y;

â) y )) y ) x 1.

83.à) y ) x y ;

á) x 2y ) 2xy 3;

â) y )) 7y )12y e 2x .

84.à) (x 2 y 2 )dx xydy 0;

á) ydx x ln xdy 0;

â) y )) y ) 6y 2e 3x .

85.à) y ) (4 x 2 ) 4y 0;

á)

(y 2 xy )dx (x 2 2xy )dy 0;

â) y )) 2y ) y 6e x .

86. à) y ) y 1; x

á) x 3y ) y(x 2 y 2 );

â) y )) 9y x 1.

87.à) y ) 2xy y 0;

á) x 2y ) x 2 xy y 2;

â) y )) 6y ) 5y 27e 2x .

88.à) xy ) y xtg y ;

á) xy ) y y 2;

â) y )) 3y ) 2y 2x.

89.à) y ) tgx y;

á) y ) y 1; x

â) 2y )) 5y ) 3e x .

90.à) y ) sin2 x y ln y;

á) y ) y x ; x

â) 4y )) 16y ) 15y 7e 5x .

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Дробные выражения

a b a b ; a c ad bc ; a & c ac ; a : c a & d ad . c c c b d bd b d bd b d b c dc

Замечание. Предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля.

2. Степени и корни

1) a1 a; a0 1; a n 1 . an

Замечание. Предполагается, что a 0.

m n

a n

2) a

;

; (a

)

; (ab)

;

Замечание. Предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля.

3) n

;

n am a

;

)n a;

n a

;

n k

n b

Замечание. Предполагается, что n ! N, k ! N, m ! Z и знаменатели дробей отличны от нуля.

	3. Формулы сокращенного умножения
a2 b 2	(a b)(a b);	a4 b 4	(a b)(a b)(a2 b 2 );
a3 b 3	(a b)(a2 ab b 2 );	a3 b 3	(a b)(a2 ab b 2 );
(a b)2	a2 2ab b 2;	(a b)2	a2 2ab b 2;
(a b)3	a3 3a2b 3ab 2 b 3; (a b)3		a3 3a2b 3ab 2 b 3.

4. Квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 bx c 0, a 0.

Дискриминантом квадратного уравнения называют число D, которое вычисляют по формуле D b 2 4ac.

Åñëè D 0, то уравнение имеет два различных корня: x1, 2	b 3	D	.
	2a

Åñëè D 0, то уравнение имеет единственный корень: x b . 2a

Åñëè D 0,то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

5. Логарифмы

loga b (a 0, a 1, b 0) – логарифм числа b по основанию à. log10 b lgb – десятичный логарифм.

loge b lnb – натуральный логарифм. Верны следующие тождества:

1) aloga b b;

5) loga 1 0;

logc

6) loga uv loga u loga v;

2) loga

;

logc a

3) log

lnb

;

7) log

log

u log

log

a lna

a v

4) loga a 1;

8) loga uc c loga u.

6. Прогрессии

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность {an }, îï-
ределяемая условиями: 1) a1 a; 2) an 1 an							d, ãäå n 1, 2, 3, . Число d
называют разностью арифметической прогрессии.
Выполнимы равенства:
a		an an 2	; S			(a1 an )n		2a1 d(n 1)	n,
				n
n 1	2				2		2

ãäå Sn – сумма n первых членов арифметической прогрессии. Геометрическая прогрессия – числовая последовательность {bn }, îï-

ределяемая условиями: 1) b1 b 0; 2) bn 1 bnq, q 0, ãäå n 1, 2, 3, . Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Выполнимы равенства:

b 2 b b	; b b qn 1; S			b	q b	1	b (qn	1)
				n			1		,
				q 1			q 1
n 1 n n 2	n	1	n

ãäå Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии при q 1.

Сумму бесконечной геометрической прогрессии вычисляют по фор-

ìóëå b bq bq 2				b	, ãäå \| q \| 1.
ìóëå b bq bq 2					, ãäå \| q \| 1.
			1	q
		7. Некоторые часто встречающиеся величины
1)	3,14159;				5) e 2,71828;
2)	2 9,86960;				1		0,36788;
		177245,			6)
					6)
3)			;			e
4) ln 114473,;					7) ln2 0,693315.

8.Тригонометрические формулы

1)Знаки тригонометрических функций:

Четверть	Величина угла				sin(	cos (	tg(	ctg(
I		0 (
	2
II		(				–	–	–
	2
III		(		3	–	–
III		(			–	–
	2
IV		3	( 2		–		–	–
IV	2		( 2		–		–	–
	2

2) tg(	sin(				, ( n, n ! Z.

	cos (						2
3) ctg(		cos (				, ( n, n ! Z.

			sin(				, ( n, n ! Z; cosec (
4) sec (			1
				cos (
							2

5)sin2 ( cos2 ( 1.

6)tg( ctg( 1, ( n, n ! Z.

				2
7) 1 tg 2(		1		, ( n, n ! Z.
7) 1 tg 2(	cos2 (			, ( n, n ! Z.
	cos2 (			2
8) 1 ctg 2(		1		, ( n, n ! Z.

		sin2	(
		sin2	(

9) sin(( ) sin( cos cos ( sin . 10) sin(( ) sin( cos cos ( sin .

1 , ( n, n ! Z. sin(

11)cos(( ) cos ( cos sin( sin .

12)cos(( ) cos ( cos sin( sin .

13) tg(( )	tg( tg	, ãäå	(, , ( n, n ! Z.

1 tg(tg			2


14) tg(( )	tg( tg		, ãäå (, , ( n, n ! Z.

1 tg(tg					2
15) ctg(( )		ctg(ctg 1		, ãäå	(, , ( n, n ! Z.
		ctg( ctg

16) ctg(( )		ctg(ctg 1		, ãäå	(, , ( n, n ! Z.
		ctg( ctg

17) sin( sin 2 sin ( cos ( .

18)sin( sin 2 cos ( sin ( .

19)cos ( cos 2 cos ( cos ( .

20)cos ( cos 2 sin ( sin ( .

				2			2
21) tg( tg	sin(( )			, ãäå			(, n, n ! Z.
	cos ( cos
							2
22) tg( tg	sin(( )			, ãäå			(, n, n ! Z.
	cos ( cos
							2
23) ctg( ctg		sin(( )			,	ãäå	(, n, n ! Z.

		sin( sin
24) ctg( ctg			sin(( )			, ãäå (, n, n ! Z.
			sin( sin

25) sin( sin 1 (cos(( ) cos(( )). 2

26) sin( cos 1 (sin(( ) sin(( )). 2

27) cos ( cos 1 (cos(( ) cos(( )). 2

28)sin2( 2 sin( cos (.

29)cos 2( cos2 ( sin2 ( 1 2 sin2 ( 2 cos2 ( 1.

30) sin2 ( 1 cos 2( . 2

31) cos2 ( 1 cos 2( . 2

32) sin3 ( 3 sin( sin3( . 4

33) cos3 ( 3 cos ( cos 3( . 4

34) Формулы приведения:

		sin	cos	tg	ctg
(		cos (	– sin(	– ctg(	– tg(
2
(		– sin(	– cos (	tg(	ctg(
3	(	– cos (	sin(	– ctg(	– tg(
2	(	– cos (	sin(	– ctg(	– tg(
2

2 (		sin(	cos (	tg(	ctg(
(		– sin(	cos (	– tg(	– ctg(
(		cos (	sin(	ctg(	tg(
2
(		sin(	– cos (	– tg(	– ctg(
3	(	– cos (	– sin(	ctg(	tg(
2	(	– cos (	– sin(	ctg(	tg(
2

2 (		– sin(	cos (	– tg(	– ctg(

35) Некоторые значения тригонометрических функций:

(	sin(		cos (		tg(		ctg(		(	sin(				cos (			tg(		ctg(
									7				1				1
0	0		1		0			–		–				–	3
																			3


									6								3
									6	2				2			3
	1				1				5
			3							–		2		–	2		1		1
							3


6	2				3				4
6	2		2		3				4	2				2
									4							1			1
		2		2	1		1			–		3		–
																	3


4	2		2						3										3
4	2		2						3	2				2					3
			1				1		3
	3									–1				0				–	0
	3				3

3	2		2				3		2
3	2		2				3		2

									5					1					–	1
	1		0			–	0			–	3
																	– 3

2									3					2
2									3	2				2					3

2				1			–	1			7
	3	–										–	2		2	–1		–1
					– 3

3									4
							3
	2	2					3					2			2
3									11					1		–	1
	2	–	2		–1		–1					–			3
																		– 3

4										6
4	2	2								6		2			2	3
5	1				–	1
		–	3								2	0			1	0		–
							– 3

6	2
6	2	2			3
	0	–1			0			–

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

1.2. 1) точка (5; ); 2) окружность радиуса 2 с центром в точке Î(0; 0); 3) êðóã ðà-

диуса 2 с центром в точке Î(0; 0); 4) внешние точки круга радиуса 2 с центром в точке

Î(0; 0); 5) кольцо; 6) полупрямая; 7) угол; 8) открытая полуплоскость; 9) точка (7; );

10) окружность радиуса 7 с центром в точке Î(0; 0); 11) круг радиуса 7 с центром в точ- ке Î(0; 0); 12) внешние точки круга радиуса 6 с центром в точке Î(0; 0); 13) кольцо; 14) полупрямая; 15) угол; 16) открытый внешний угол.

	1.4. 1) x1, 2			2 3 3i;						2) x1, 2 33i; 3) x1, 2											1	3				3					i;	4) x1, 2		13 3i;		5) x1, 2 13 i;
	1.4. 1) x1, 2			2 3 3i;						2) x1, 2 33i; 3) x1, 2											4	3									i;	4) x1, 2		13 3i;		5) x1, 2 13 i;
																					4				4
																											i
																					7						i
6) x1, 2 3 3 5i; 7) x1, 2, 3, 4 313 i; 8) x1, 2, 3, 4 3																							3							.
6) x1, 2 3 3 5i; 7) x1, 2, 3, 4 313 i; 8) x1, 2, 3, 4 3																							3							.
																					2
																					2						2
	1.5.		1) x 2, y 1;							2)		x 2, y 3;									3)		x 2, y 3;												4)	x 0, y 1;
5) x 20, y 12;							6) x 1, y 1;						7) x 1,					y 2;						8) x 2,									y 3.
									i sin											i sin																7	i sin	7
																																				7		7
	1.6.		1)		2 cos							,		2 cos														;					2)	2 cos					,
	1.6.		1)		2 cos			4				,		2 cos				2							2			;					2)	2 cos		6			,
								4			4							2							2											6		6
		7	i sin	7														4(cos i sin );																	5(cos i sin ),
4 cos						;	3)		2 cos					i sin		,																		4)
4 cos		3				;	3)		2 cos			2		i sin	2	,																		4)
		3		3								2			2
25(cos2 i sin2 );
5)	(cos0 i sin0),						(cos0 i sin0);							6)			4(cos i sin ),																16(cos2 i sin2 );					7)
																	3							3
3 cos i sin , 9(cos i sin );													8)	2 cos			3		i sin					3					,			4 cos3 i sin3 ;						9)
3 cos i sin , 9(cos i sin );													8)	2 cos					i sin										,			4 cos3 i sin3 ;						9)
		2	2													2								2


2 2																																	,
2 2		cos								i sin , 8 cos										i sin				; 10) cos i sin									,	cos	i sin			; 11)
						4					4								2		2				2						2
																											,
cos i sin								,		cos2 i sin2 ; 12) 2 cos														i sin			,	4 cos i sin .
																								6		6							3			3
																	6					2						2
																	6					2						2
		1.7.								1)								2	cos				k i sin							k , k				0,1, 2;				2)
		1.7.								1)								2	cos			3	k i sin					3		k , k				0,1, 2;				2)
																				12		3			12			3
			i	, cos			5		i sin			5			, i; 3)1 i,																					3 i	,		3 i;
	3		i				5					5								136, 0,365i, 0,365 136,i;												4) 3i,			3	3 i		3
2																				136, 0,365i, 0,365 136,i;												4) 3i,			2			3
2		2						6			6																								2			2
5)											13 i;														6)											2 i, 2 i;
7) 3cos						3 i sin							1					19		24k				19	24k
										; 8)						cos						i sin					,				k 0, 1, 2.
										; 8)						cos						i sin					,				k 0, 1, 2.
					8					8	6			2					36						36
		2.2. 1) x1 1, x2											2;				2) x 4; 3) x1 1, x2								0, x3				2;			4) x1 2, x2 1.
		3.1. 1) (1; –3);									2) (4; –2); 3) (1; 2; 1);										4) (0; 0; 0); 5) (1; 1; 1);											6) (2; 1; 0); 7) (2; 1; 1);
8) (1; 1; 2); 9) (0; 0; 0; 0);																	10) (2; 1; –3; 4).
		3.2. 1) (2; 2; 0); 2) (1; 2; 3);																	3) (2; –1; 3);					4) (–1; –1; 2);					5) (0; 0; –2);						6) (1; 2; –1; 3);

7) (–8; 3 ñ; 6 2ñ; ñ), ãäå ñ может принимать любое действительное значение; 8) (0; 0; 0; 0);

19		;	1	;	1	;	23	;	9
9)										; 10) (0; –3; 0; 3; 0; –2).
	20		8		20		10
									40

3.3.Животное должно потреблять в сутки 0,25 кг 1-го вида корма, 1 кг – 2-го и 0,75 кг – 3-го вида корма.

3.4.Начальные численности популяций 1, 2 и 3-го видов соответственно равны

5000, 2000 и 3000 особей.
72 2z							96 5z
3.5.	часов животное должно есть,								часов – двигаться и (z) ÷à-

7							7
сов – находиться в покое, причем 0 z 19,2.
4.2. 1) x y 5 0; 2) 6x y 17 0;							3) 2x 5y 8 0; 4) y 1; 5) x 8;
6) 5x 3y 6 0.
4.3. 1) k 7;	2) k	3	;	3) k	7	.

	2			10
4.4. 1) ; 2) ;				3) ; 4) ; 5) 0;				6) arctg 16.
4	2			2			4	11

4.5.1) пересекаются; 2) перпендикулярны; 3) параллельны; 4) параллельны; 5) пересекаются; 6) перпендикулярны; 7) параллельны; 8) перпендикулярны.

4.6.1) S 24; 2) S 6; 3) S 1.

4.7. 1) 3x 7y 27 0; 2) x 9y 25 0; 3) x 2 0; 4) y 3 0.

4.9.1) d 3; 2) d 1; 3) d 4; 4) d 0.

4.10.1) d 2,5; 2) d 91; 3) d 3; 4) d 3,5.

4.11. 1) 64x 8y 11 0, 14x 112y 41 0; 2) 6x 1 0, 2y 9 0.

100

4.12. 1) 3x 4y 12 0, 2x y 2 0,

4x 3y 16 0, 10, 5

5, 5; 2)

2x y 8 0, x 2y 1 0, x y 1 0, 2

5, 2 5, 2 2.

4.13. 1) x 7y 4 0; 2) 5x y 3 0.

4.14. 1) à) x 3 0,

x y 3 0,

y 0; á) (3;0); 2) à) 3x 5y 12 0,3x y 4 0,

y 2; á) ( 2 / 3;2).

4.16. 1) x y 2,

)x (1

)y 2,

)x (1

)y 2; 2)

x y 1; 3) 3x 2y 6 0, 3x 8y 12 0.

4.17.x 2y 8 0.

4.18.x y 7 0.

4.19.a 3, b 4.

5.1. 1)

13;

2) 7/3;

3) 1;

4) 1;

5) 2;

6) 7;

7) 3;

8) 2;

9) 0;

10) 15.

5.2. 1)

2) 2;

3) 2/5;

4) 1/2;

–5;

6) 3/5;

7) 1;

8) 0;

6/9; 10) ".

5.3. 1)

2) 3;

3) 1/2;

4) 2/3;

1/8;

6) 2;

7) 1;

8) –2;

–1; 10) 5.

5.4. 1) 28; 2) –1/8; 3) 1/8; 4) 1/12; 5) –128; 6) –1/20; 7) 1/2; 8) 2/3; 9) –40; 10) 4/3.

5.5.	1) à;	2) à/b; 3) à/b; 4) –0,5;	5) 1;	6) –10;		7) 1/3;		8) 4;	9) 1/12; 10) 1/4.
				9		2
	1) ek ;	2) en m; 3) e2; 4) e8;	5) e3;						9) e4 ; 10) e.
5.6.	1) ek ;	2) en m; 3) e2; 4) e8;	5) e3;	6) e2	;	7) e3	;	8) e;	9) e4 ; 10) e.

5.7.10 000 особей.

5.8.1) 0,00000001 единиц; 2) 0 единиц.

5.9.10 000 особей, p(8) 9000 особей.

5.10.10 единиц.

6.3. 1) x0 5 – устранимая точка разрыва; 2) x0 n – точка разрыва 2-го рода;

3) x0 1– устранимая точка разрыва; 4) x0 3 – точка разрыва 1-го рода; 5) x0 0 – точка разрыва 2-го рода; 6) x0 3 – точка разрыва 1-го рода; 7) x0 2 – точка разрыва 2-го рода; 8) x0 0 – точка разрыва 1-го рода; 9) x0 3 – точка разрыва 2-го рода;

10)x0 2 – точка разрыва 1-го рода; 11) x0 0 – точка разрыва 1-го рода.

7.4.v c)(t) kc0e kt.

7.5.1000; v 9000 .

t)2


7.6. 1) 8000;			2) 400.
	t 2			t 2
7.7. v e		(1 t2 t); a e			(t3 t2 3t 1).
7.7. v e	2	(1 t2 t); a e		2	(t3 t2 3t 1).

7.8.v Ake kt .

7.9.1) 4; 4; 2) 10,873; 10,873.

7.12.1) 0,857; 2) 0,9657; 3) 0,5005; 4) 2,0123; 5) 2,25; 6) 1,421; 7) 4,021; 8) 383/192;

9)127,25; 10) 0,782.

7.13.1,01.

7.14.150.

7.15.2008333.

101

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2018513.54 Кб15Kasko_Osnovy_journ.doc
#
29.02.2016781.82 Кб26KAUN_2k_Ist_IIB_DO_istoria_Lektsii.doc
#
29.02.20167.37 Mб46kaz_hist.pdf
#
19.09.201954.05 Кб4kaz_yaz_bilety2.docx
#
09.08.201952.63 Кб4KD_E.docx
#
29.02.2016946.98 Кб77Kepchik.pdf
#
29.02.2016226.87 Кб2Khantington_-Stolknovenie_tsivilizatsy.pdf
#
18.09.2019141.82 Кб24Khimicheskie_reaktory.doc
#
08.09.201952.49 Кб2Khorovaya_i_solnaya_melika.docx
#
22.09.2019217.22 Кб3Khoz_protsess_Konspekt.docx
#
21.08.2019153.09 Кб6KhP-2.doc