Практическое занятие №4 преобразование непрерывного сигнала в дискретный сигнал

Цель занятия: формирование навыков преобразования непрерывного сигнала в дискретный сигнал.

Теоретический материал

В 1933 году в работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи» В.А. Котельников доказал теорему, ставшую основополагающей теории и технике цифровой связи. Она гласит: если непрерывный сигнал  имеет спектр, ограниченный частотой , то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой .

Частота дискретизации непрерывного сигнала не должна быть меньше удвоенной ширины спектра:  иначе произойдет наложение спектров (рис. 4.1б) и будет невозможно с помощью фильтра нижних частот выделить спектр исходного непрерывного сигнала.

Смысл теоремы проиллюстрируем с помощью временных диаграмм, приведенных на рис.4.1. Будем считать, что можно измерить мгновенные значения сигнала u(t) в моменты времени Δt, 2Δt, 3Δt; Δt называют интервалом дискретизации по времени. Измеряемые значения u(Δt), u(2Δt), u(3Δt) отмечены на рис.4.1,а точками. По этим значениям можно сформировать последовательность коротких прямоугольных импульсов, длительность которых одинакова и меньше интервала дискретизации Δt, а амплитуды равны измеренным значениям сигнала u(t). Последовательность таких прямоугольных импульсов изображена на рис.4.1,б и часто называется импульсным сигналом или сигналом с дискретным временем. Такой сигнал будет обозначен символом u_дΔ(t). Отметим, что шаг дискретизации по времени здесь постоянен и равен Δt, а амплитуда каждого импульса равна мгновенному значению сигнала u(t) в соответствующий момент времени. Поскольку непрерывный сигнал u(t) в выделенные моменты времени может принимать любые значения, то и амплитуды импульсов импульсного сигнала, полученного из непрерывного путем дискретизации по времени, также могут принимать любые значения: На рис.4.1,б значения амплитуд импульсов указаны с точностью лишь до одного десятичного знака после запятой.

а) б)

в)г)

Рисунок 4.1- Преобразование сигнала: а) непрерывный сигнал; б)дискретный по времени (импульсный) сигнал; в) дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г) ошибка квантования.

При передаче импульсных сигналов в электросвязи часто применяют специальное преобразование, состоящее в следующем. Предположим, что при передаче каждый импульс может иметь амплитуду лишь с разрешенным значениям. Число разрешенных значений амплитуд импульсов конечно и задано. Например, на рис. 4.1 в разрешенные значения амплитуд пронумерованы цифрами 1,2,3,... величина Δu равна разности между любыми двумя соседними разрешенными значениями амплитуд. Если истинное значение амплитуды импульса сигнала u_д(t), подлежащее передаче, попадает между разрешенными значениями, то амплитуду передаваемого импульса принимают равной разрешенному значению, являющемуся ближайшим к истинному. Такое преобразование называют квантованием, совокупность разрешенных значений амплитуд передаваемых импульсов называют шкалой квантования, а интервал Δu между соседними разрешенными значениями - шагом квантования. Последовательность импульсов, полученная в результате квантования импульсов сигналов u_д(t), также является импульсным сигналом, для которого введем обозначение u_ц(t). Особенность этого сигнала состоит в том, что амплитуды импульсов теперь имеют только разрешенные значения и могут быть представлены десятичными цифрами с конечным числом разрядов. Такие сигналы называют дискретными или цифровыми. Квантование приводит к ошибке квантования є(t)= u_ц(t) - u_д(t), которую часто называют помехой квантования или шумом квантования.

Алгоритм выполнения

Пример 1. Определить дискретные отсчеты сигнала длительностью  = 3 мс, приведенного на рис. 4.2,а, если в качестве граничной частоты спектра  принять значение , выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.

Рисунок 4.2- График импульсного сигнала: а) импульсный сигнал; б) дискретные отсчеты сигнала

Решение. Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, однако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким образом, чтобы отсекание частот превышающих , привело к пренебрежимо малым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере.

Граничная частота спектра _4.1

Интервал дискретизации _4.2

Берем отсчеты сигнала, приведенного на рис. 4.2,а, через интервал времени T = 0,5 мс и получаем последовательность = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0}, изображенную графически на рис. 4.2, б.

Задание 1. Рассчитать интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше ...кГц.

Задание 2. Рассчитать частоту дискретизации группового сигнала, если известна ширина спектра ...(кГц). (Для полосовых сигналов F_д может быть определена 2F_в<F_д<2F_н )

Задание 3. Выбрать частоту дискретизации для ФНЧ при дискретизации сигналов вещания первого класса с диапазоном частот .... кГц. Для телефонного сигнала стандартная частота дискретизации F_д = 8 кГц. При организации канала вещания (вместо трех телефонных каналов) частота дискретизации сигналов вещания должна быть кратна частоте дискретизации телефонного канала и равна 8·3=24 кГц.

Таблица 4.1

Данные для выполнения заданий

№ варианта	Задание №1 частота f, кГц	Задание №2, ширина спектра, кГц	Задание №3 . диапазон частот, кГц
1	10	24-36 кГц	0.05-12 кГц
2	25	12-48 кГц	0,03-18кГц
3	250	36-72 кГц	0.03-14 кГц
4	1000	124-256 кГц	0,05-10кГц
5	2,5	112-156 кГц	0,1-8 кГц
6	50	96-124 кГц	0.05-12 кГц
7	500	72-124 кГц	0,03-18кГц
8	5	224-284 кГц	0.03-14 кГц
9	10	312-372 кГц	0,05-10кГц
10	1	512-632 кГц	0,1-8 кГц
11	25	612-724	0,03-6 кГц
12	10	124-236 кГц	0.05-12 кГц
13	25	128-148 кГц	0,03-18кГц
14	250	136-172 кГц	0.03-12 кГц
15	1000	124-256 кГц	0,05-10кГц
17	50	196-226 кГц	0.05-12 кГц
18	500	172-184 кГц	0,03-18кГц
19	5	242-284 кГц	0.03-14 кГц
20	10	312-352 кГц	0,05-10кГц
21	1	112-232 кГц	0,1-8 кГц
22	2,5	112-154 кГц	0,1-8 кГц
23	50	96-126 кГц	0.05-12 кГц
24	500	74-124 кГц	0,03-18кГц
25	5	224-284 кГц	0.03-14 кГц
25	5	224-284 кГц	0.03-14 кГц
26	10	312-372 кГц	0,05-10кГц
27	1	512-632 кГц	0,1-8 кГц
28	10	312-372 кГц	0,05-10кГц
29	5	224-284 кГц	0.03-14 кГц
30	10	312-372 кГц	0,05-10кГц

Контрольные вопросы

1. Как нужно выбирать интервал дискретизации сигнала, чтобы можно было однозначно восстановить непрерывный сигнал по его дискретным отсчетам?

2. Как выбирается минимальная частота дискретизации?

3. Найдите частоту дискретизации и интервал дискретизации сигнала, имеющего спектр, ограниченный частотой = 10 кГц.

4. Уменьшите в 2 раза интервал дискретизации по сравнению с тем значением, которое получили в п. 3. Можно ли при этом однозначно восстановить непрерывный сигнал? Как изменится спектр сигнала?