Posibnuk

Завдання підібрано з джерела [4].

Питання для самоперевірки

1.В чому різниця між командами прямого та відкладеного виконання?

2.За допомогою якої команди можна обчислити границю?

3.Яка команда виводить на екран стандартний аналітичний запис границі?

4.Як можна обчислити односторонні границі?

5.Який параметр треба вказати для знаходження односторонньої границі зліва?

Заняття 2 «Похідна і диференціал»

Теоретико-практична частина Для обчислення похідних в Maple є дві команди:

1)прямого виконання – diff(f,x), де f – функція, яку слід продиференціювати, x – ім'я змінної по якій відбувається диференціювання.

2)відкладеного виконання – Diff(f,x), де параметри команди такі ж, як і

впопередній. Дія цієї команди зводиться до аналітичного запису похідної. Після виконання диференціювання, отриманий вираз бажано спростити. Для цього слід використовувати вже відомі команди simplify, factor або expand, в залежності від того, в якому вигляді треба отримати результат.

Приклад 1. Знайти похідну функції f (x) = x2 .

Хід розв’язування

> Diff(x^2,x)=diff(x^2,x);

83

Приклад 2. Знайти похідну функції f (x) = sin(x2 ) .

Хід розв’язування

> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);

Приклад 3. Знайти похідну 4-го порядку функції f (x) = cos2 (2x) .

Хід розв’язування Для знаходження похідних старших порядків, користуємось відомою

командою diff, вказавши біля аргументу знак долара ($) і порядок.

>Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);

>simplify(%);

В даному випадку команду simplify(%) можна замінити на combine(%). Можна було знаходити послідовно похідні від функції:

> diff(cos(2*x)^2,x);

−4 cos( 2 x ) sin( 2 x )

> diff(%,x);

8 sin ( 2 x )2 − 8 cos ( 2 x )2

> diff(%,x);

64 cos( 2 x ) sin( 2 x )

> diff(%,x);

−128 sin ( 2 x )2 + 128 cos ( 2 x )2

> simplify(%,trig);

256 cos( 2 x )2 − 128

Диференціальний оператор

Для визначення диференціального оператора використовується команда D(f), де f - функція.

84

Наприклад,

> D(sin);

Також можна обчислити похідну в точці:

> D(sin)(Pi);eval(%);

Контрольні завдання

1. Знайти диференціал dy .

85

Завдання підібрано з джерела [4].

Питання для самоперевірки

1.Як обчислити похідну?

2.Як можна застосувати диференціальний оператор?

3.Як обчислюється похідна в точці?

4.За допомогою якої команди можна спростити вираз?

5.Як знайти похідні вищих порядків?

89

Заняття 3 «Обчислення невизначених та визначених інтегралів.

Метод заміни змінної»

Теоретико-практична частина

Обчислення інтегралів виконується за допомогою команди int, яка працює без підключення додаткових пакетів.

Якщо ж нас цікавить не лише кінцевий результат, а й виконання проміжних дій інтегрування, то в такому випадку треба підключити пакет student командою with(student). В пакеті student містяться підпрограми, які призначені для виконання розрахунків крок за кроком, таким чином прослідковуються послідовність проміжних дій, яка приводить до результату. Комп’ютерний метод розв’язування математичних задач, яким прослідковуються проміжні дії називатимемо методом комп’ютерних символьних обчислень.

Якщо ж при виконанні проміжних дій виникає потреба в допомозі, то можна скористатися підказкою (команда Hint). В такому випадку слід підключити пакет Student[Calculus1] командою with(Student[Calculus1]).

Синтаксис, опції та приклади обчислення інтегралів, використовуючи команди int та Int можна знайти в допомозі .

Невизначений інтеграл

Після підключення пакету student інтеграл можна знайти за допомогою двох команд:

1)прямого виконання – int(f, x), де f – підінтегральна функція, x – змінна інтегрування;

2)відкладеного виконання – Int(f, x) – де параметри команди такі ж, як

ів команді int. Команда Int видає на екран математичну форму запису інтеграла (символ), а int(f, x) - обчислює значення.

90

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Можна одразу отримати кінцевий результат:

> int(4/cos(x)^2+3/(x^2-16)+cos(x),x);

Форма запису отриманого результату може не співпадати з результатом, отриманим класичним способом математичного аналізу.

Крім того, зверніть увагу, що результатом роботи команди int є одна із первісних, а не вся їх сукупність, оскільки у запису відсутня довільна стала С.

Проміжні дії нескладно отримати послідовним виконанням певних команд, підключивши попередньо пакет student.

>with(student): Int(4/cos(x)^2+3/(x^2-16)+cos(x),x); expand(%);

value(%);

Як видно команда Int виводить на екран символьний запис шуканого інтегралу. Нагадаємо, знак % означає звернення до попереднього виразу. Команда expand розбиває попередній інтеграл на суму інтегралів, а команда value визначає значення попереднього виразу.

91

Визначений інтеграл

Для обчислення визначеного інтеграла в командах int та Int додаються межі інтегрування:

int(f(x), x=верхня межа..нижня межа).

π

Наприклад, щоб обчислити інтеграл ∫sin xdx треба ввести команду:

0

> int(sin(x),x=0..Pi);

Метод заміни змінної

Інтегрування методом заміни змінної відбувається за допомогою команди changevar з пакету student.

Ця команда не обчислює кінцеву відповідь інтеграла, а лише виконує проміжні дії.

Приклад 2. Знайти інтеграл ∫(cos(3x +1)+5e2x )dx .

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат:

> int(cos(3*x+1)+5*exp(2*x),x);

Проміжні дії можна отримати розбиттям інтегралу на два інтеграли, виконанням відповідної заміни змінної у кожному з інтегралів із наступним виконанням оберненої заміни у кожному з доданків.

>Int(cos(3*x+1)+5*exp(2*x),x);

Int(op(1,integrand(%)),x)+Int(op(2,integrand(%)),x);

changevar(t1=3*x+1,op(1,%),t1)+

changevar(t2=2*x,op(2,%),t2);

value(%);

92