Posibnuk

Завдання 1 підібрано з джерела [5], завдання 2 – з джерела [6].

Питання для самоперевірки

1.За допомогою якої команди можна обчислити інтеграл?

2.Які можливості обчислення інтегралів з’являються після підключення пакету student?

3.Яку команду треба прописати для подальшого користування підказками?

4.Яка команда виводить символьний запис інтегралу?

5.Як обчислити визначений інтеграл?

6.Яка команда дає можливість виконати інтегруванням методом заміни змінної?

104

ДЕНЬ 4 МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Заняття 1 «Інтегрування частинами»

Теоретико-практична частина

Нагадаємо, що в Maple є пакет student, призначений для навчання математики. В ньому міститься набір підпрограм, за допомогою яких прослідковується послідовність дій, які приводять до результату. До таких команд відноситься вже відма команда інтегрування заміною змінної changevar, також розглянемо команду інтегрування частинами - inparts.

Нагадаємо формулу інтегрування частинами.

Теорема. Нехай функції U =U (x) та V =V (x) мають неперервні похідні на [a;b], тоді має місце така формула:

b b

∫U (x)V ′(x)dx =U (x)V (x) ba − ∫U ′(x)V (x)dx .

a a

Якщо позначити підінтегральну функцію f=u(x), то параметри команди інтегрування частинами такі: intparts(Int(f, x), u), де u – саме та функція u(x), похідну від якої треба знайти за формулою інтегрування частинами.

Команда intparts, так як і changevar не дає кінцеву відповідь інтеграла, а лише здійснює проміжні дії.

Не забудьте, що пред використанням описаної вище команди обов'язково треба завантажити пакет student.

Приклад 1. Знайти інтеграл ∫xe2x dx.

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий розв'язок

> int(x*exp(2*x),x);

105

Проміжні дії мають вигляд:

>with(student):

Int(x*exp(2*x),x);

intparts(%,x);

value(%);

Команда intparts(%,x) виконує інтегрування частинами. Нескладно бачити, що за u прийнято функцію x (згідно виразу у дужках після коми).

Приклад 2. Знайти інтеграл ∫x2 sin 3xdx.

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Отримаємо кінцевий результат

> int(x^2*sin(3*x),x);

Проміжні дії подвійного інтегрування частинами представлені нижче

>with(student):

Int(x^2*sin(3*x),x);

intparts(%,x^2);

simplify(%);

intparts(%,x);

simplify(%);

106

value(%);

Приклад 3. Знайти інтеграл ∫3x3e−x2 dx.

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Отримаємо кінцевий результат

> int(3*x^3*exp(-x^2),x);

Проміжні дії виконаємо таким способом

> with(student):

Int(3*x^3*exp(-x^2),x);

changevar(t=x^2,%,t);

simplify(%);

intparts(%,t);

changevar(z=-t,%,z);

value(%);

changevar(z=-t,%,t);

107

changevar(t=x^2,%,x);

У цьому прикладі застосовано заміну t = x2 , інтегрування частинами, заміну змінної z = −t . Виконано також відповідні обернені заміни оператором changevar.

π

Приклад 4. Обчислити інтеграл ∫3 ex+2 sin 3xdx .

0

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцева відповідь:

> int(exp(x+2)*sin(3*x),x=0..Pi/3);

108

Проміжні дії:

>with(student): J:=Int(exp(x+2)*sin(3*x),x=0..Pi/3); intparts(%,sin(3*x)); intparts(%,cos(3*x));

simplify(%);

isolate(J=%,J);

Останню команду isolate(J=%,J); можна замінити такими командами:

>J=%; J=solve(%,J);

109

Подвійне інтегрування за частинами призвело до рівняння відносно невідомого (шуканого) інтегралу, яке легко розв’язати за допомогою операторів isolate або solve.

Приклад 5. Обчислити інтеграл ∫6 x2 +5dx .

0

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

При розв’язанні даного прикладу методом комп’ютерних обчислень можна користуватися підказкою (Hint). Але в даному випадку це не є раціональним, оскільки при зверненні до підказки з’являється рекомендація до використання методу заміни змінної (пропонується три заміни), а не методу інтегрування за частинами.

В цьому прикладі кінцевий результат не розглядається, тому пропонуємо Вам отримати його самостійно за допомогою оператора int.

Проміжні дії, наведені нижче, не повністю відповідають крокам, які проходимо, розв'язуючи класичним методом (оскільки операції додавання, віднімання сталої у чисельнику та наступне почленне ділення викликало технічні складності).

> with(student):

JJ:=Int(sqrt(x^2+5),x=0..6);

110

>J:=intparts(%,sqrt(x^2+5));

>j1:=op(1,J);

>j2:=op(2,J);

>integrand(j2);

>%-integrand(JJ);

>radnormal(%);

>Int(%,x=0..6);

>JJ=j1-JJ-value(%);

111

>isolate(%,JJ);

>simplify(%);

>simplify(%);

Змінній J присвоюємо вираз, який отримали після інтегрування за частинами інтегралу JJ (шуканого). Змінним j1 та j2 присвоєно значення першого та другого доданків J, використовуючи оператори op(1,j) та op(2,j). Оператори integrand(j2); %-integrand(JJ); відокремлюють підінтегральний ірраціональний вираз допоміжного інтегралу. За допомогою оператора radnormal відбувається спрощення вказаного виразу.

Приклад 6. Обчислити інтеграл ∫8 (ln2 (3x) +5ln(3x))dx .

1

Хід розв’язування

методом комп’ютерних символьних обчислень

Кінцевий результат:

> int(ln(3*x)^2+5*ln(3*x),x=1..8);

Знаходження інтегралу зводиться до знаходження суми двох інтегралів. Перший позначимо через j1, а другий – через j2.

112