Posibnuk

Заняття 2 «Рівняння, нерівності та системи рівнянь і нерівностей»

Теоретико-практична частина

Для розв'язування рівнянь використовується функція solve(eq,x), де eq

– рівняння, x – ім'я змінної, відносно якої розв'язується рівняння. Після виконання цієї команди в рядку виведення з'явиться розв'язок даного рівняння. Для розв’язування різних видів рівнянь існують такі команди: fsolve (розв’язування в чисельному вигляді), rsolve (розв’язування рекурентних рівнянь), isolve (розв’язування в чисельному вигляді), msolve (розв’язування рівнянь з модулями).

Приклад 1. Розв’язати рівняння 3 1− x2 = 3 − x .

Хід розв’язування

>restart: eq:=3*sqrt(1-x^2)=3-x; x:=solve(eq,x);

Якщо рівняння має декілька розв'язків, які необхідні для подальших розрахунків, то команді з оператором solve необхідно присвоїти якесь ім'я, наприклад x. Звернення до k–го розв'язку даного рівняння можна здійснити вказуванням імені з номером розв'язку k в квадратних дужках: x [k].

>x[1];

>x[2];

23

Команду solve можна застосовувати до розв'язування тригонометричних рівнянь, але ця команда видає тільки головні розв'язки, тобто з інтервалу [0;2π].

Приклад 2. Розв’язати рівняння sin 2 x + 2sin x cos x −3cos2 x . Хід розв’язування

>eq:=(sin(x))^2+2*sin(x)*cos(x)-3*(cos(x))^2=0; solve(eq,x);

Для того, щоб отримати всі розв'язки тригонометричного рівняння, слід попередньо ввести додаткову команду _EnvAllSolutions:=true;.

>_EnvAllSolutions:=true; solve(eq,x);

При розв’язуванні трансцендентних рівнянь для отримання розв'язку в явному вигляді перед командою solve(eq,x); слід ввести додаткову команду

_EnvExplicit:=true;.

Приклад 3. Розв’язати рівняння 3x+3 +5 3x−1 = 86 . Хід розв’язування

>_EnvExplicit:=true; eq:=3^(x+3)+5*3^(x-1)=86; solve(eq,x);

Системи рівнянь розв’язуються за допомогою відомої функції solve командою solve({eq1,eq2,...},{x1,x2,...});, тільки тепер в параметрах функції слід вказувати в перших фігурних дужках через кому рівняння, а в других фігурних дужках перелічуються через кому змінні, відносно яких треба розв'язати систему. Якщо необхідно використати отримані розв'язки для

24

подальших обчислень, то необхідно результат присвоїти якійсь змінній, а потім виконати команду assign(ім'я змінної);.

Використання функції solve може дати набір виразів виду

RootOf(_Z^5+_Z^4+_Z^3+_Z^2+_Z-1,index = 1). Справа в тому, що деякі рівняння з раціональними коефіцієнтами можуть не мати коренів, що виражаються у вигляді радикалів над раціональними числами. Розв'язування таких рівнянь називаються алгебраїчними числами. Якщо рівняння нерозв'язне в радикалах, то Maple знайде єдиний корінь, що виражається в радикалах і повідомить, що корені, які залишились є алгебраїчними числами - коренями многочлена вказаного в аргументі функції RootOf. В математичному пакеті Maple можна працювати з алгебраїчними числами, також можна знайти наближені чисельні розв'язки за допомогою функції fsolve.

Хід розв’язування

>restart:_EnvExplicit:=true: eq1:=x-y+sqrt((x-y)/(x+y))=20/(x+y); eq2:=x^2+y^2=34;

>p:=solve({eq1,eq2},{x,y});

25

> assign(p);

Оператор solve застосовується також для розв'язування нерівностей. Розв'язок нерівності видається у вигляді інтервалу. Якщо розв'язування нерівності піввісь, то у полі виведення з'являється конструкція вигляду RealRange(–~, Open(a)), яка означає, що x належить (−∞, a), де а – деяке число. Показник Open означає, що інтервал з відкритою межею. Якщо цього слова немає, то відповідна межа інтервалу включена в множину розв’язків.

Хід розв’язування

> solve(sqrt((x^3+8)/x)>x-2,x);

Для того, щоб отримати розв'язки нерівності не як інтервал, а у вигляді обмежень для шуканої змінної типу a<x, x< b, треба змінну, відносно якої розв'язується нерівність вказувати у фігурних дужках.

> solve(sqrt((x^3+8)/x)>x-2,{x});

За допомогою команди solve можна розв'язати систему нерівностей, виконуючи дії аналогічні до розв’язування систем рівнянь.

Контрольні завдання

1. Розв’язати рівняння:

26

27