- •1 Питання. Бінарні відношення.Відношення еквівалентності і розбиття на класи , фактор множина.
- •2. Групи , приклади груп , найпростіші в-ті груп.Підгрупи, озн, і критерії. Гомоморфізми та ізоморфізми груп
- •3. Циклічні групи.
- •4. Означення і приклади кілець. Найпростіші властивості кілець Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
- •Отже, підмножина |k1| кільця k являється підкільцем цього кільця, якщо |k1| є кільце відносно операцій додавання, віднімання і множення, визначених в кільці k. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
- •6 Поля комплексних чисел Алгебраїчна форма запису комплексних чисел Тригонометрична форма комплексного числа
- •7 Системи лінійних рівнянь. Рівносильні системи рівнянь і елементарні перетворення. Метод Гаусса
- •8 Матриці і визначники . Матричний спосіб розв.Систем лінійних р-нь та формули Крамера.
- •9 N-вимірні вектори і операції над ними. Арифметичний векторний простір
- •Нехай:— довільна система векторів із простору Fn.
- •Нехай , -довільна система векторів простору Fn.
- •10 Критерій сумісності системи лінійних рівнянь Необхідні і достатні умови рівності визначника нулю.
- •Система лінійних рівнянь
- •11.N-вимірний векторний простір
- •Розглянемо дві системи векторів:
- •12 Лінійні перетворення. Власні числа і власні вектори матриці
- •1. . 2..
- •13 Питання.. Квадратичні форми
- •13.Квадратичні форми та їх застосування.З-н інерції квадр.Форм.(к.Ф)
- •14 Теорема про ділення з остач. Нсд, нск
- •15.Прості числа
- •16 Канонічний розклад числа у вигляді добутку.
- •17. Озн. І основні вл-ті конгруентності цілих чисел. Повна і зведена система лишків, їх властивості. Теорема Ейлера і Ферма.
- •18.Застосування теорії конгруенцій .
- •19. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею.
- •20. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочлена над полем комплексних чисел і його єдність.
- •22. Будова простого розширення числового поля. Знищення ірраціональності в знаменнику дробу.
16 Канонічний розклад числа у вигляді добутку.
Див. п 15. Т.: « Будь-яке ціле число більше 1, розкладається в добуток простих чисел при чому єдиним чином, якщо не враховувати порядок множників ». Дов. Використаємо метод математичної індукції. Оскільки числа 2, 3 – прості, то теорема справедлива для цих значень. Нехай натуральне і кожне ціле число менше за, єдиним чином можна представити у вигляді добутку простих чисел. Доведемо, спочатку, щоможе бути розкладено в добуток простих чисел. Якщо- просте, то шуканий добуток складається із одного множника, якщо ж ні то за теоремою, що говорить: будь-яке складене число має своїм найменшим дільником – просте число, то- просте, таке, що, оскількито оскільки, кожне ціле число< n розкладається на прості множники, то і число n – також розкладається на множники. Існування розкладу доведено.
Припустимо, що можливі два варіанта розкладу числа: ,. Із рівності та означення простих чисел випливає,(не порушуючи загальності) що, то скоротивши ми ортимаємо : , а остання рівність можлива тальки тоді, коли всі, тобто числа , , тобто їх при розкладі не буде представлення через співпадає із представленням числа через . Т. довед.
17. Озн. І основні вл-ті конгруентності цілих чисел. Повна і зведена система лишків, їх властивості. Теорема Ейлера і Ферма.
Озн: два числа a i b наз конгруентними за модулем m, якщо вони при діленні на m мають однакову остачу
Теорема: конгруенція рівносильна
1) 2)
Доведення:Нехай
, тобто . Справедливо і навпаки. Теорема доведена.
Властивості:
1) відношення конгруентності є відношення еквівалентності (рефлексивне, симетричне, транзитивне)
2) конгруенції за одним модулем можна почленно додавати.
Справді (1)(2)
………………. ………………..
(1)+(2)
Отже,
Висновок І: з однієї частини конгруенції в іншу можна перенести доданок з протилежним знаком.
Висновок ІІ: до обох частин конгруенції можна додати один доданок.
Висновок ІІІ: до однієї частини конгруенції можна додати число кратне модулю.
3) конгруенції за одним модулем можна множити.
Доведення: із системи конгруенції (1) запишемо систему рівностей (2). Перемножуючи рівності системи (2), отримаємо: . Звідси слідує, що.
Висновок І: обидві частини можна помножити на одне й те ж саме число.
Висновок ІІ: обидві частини конгруенції можна піднести до одного степеня.
4) якщо ,
5) обидві частини конгруенції можна поділити на одне й те саме число взаємно просте з модулем
6) обидві частини конгруенції і її модуль можна помножити на одне й те саме число
7) обидві частини конгруенції і модуль можна розділити на їх СД
8) якщо одна частина конгруенції і її модуль мають СД, то і друга частина ділиться на нього
Повна система лишків (ПСЛ)
Візьмемо з кожного класу лишків за модулем m по одному представнику. Утворену систему наз ПСЛ. Найчастіше за ПСЛ беруть
1) найменші невід’ємні за модулем
2) найбільші неподатні за модулем
3) найменші за модулем
Властивості:
1) будь-які m попарно не конгруентних чисел утворюють ПСЛ.
Доведення: так як числа попарно не конгруентні, то вони належать різним класам. А так як їх m, то вони взяті з кожного класу. Отже, вони будуть ПСЛ.
2) , якщоx пробігає ПСЛ, то й ax+b пробігає ПСЛ.
Зведена система лишків (ЗСЛ)-це сукупність чисел, взятих із представників класів лишків,які є взаємно простими зm
Нехай маємо модуль m, – функція Ейлера.
Властивості:
1) будь-які попарно не конгруентні і взаємно прості з модулем чисел утворюють ЗЛС
2) якщо іх пробігає ЗЛС, то ах пробігає ЗЛС.
Теорема Ейлера:
Доведення: нехай х пробігає ЗЛСm, тоді згідно властивості 2 ЗЛС ах теж пробігає ЗЛСm, тобто
Конгруенції за одним модулем можна перемножити:
, так як
Теорема Ферма: m-p – просте
Так як , за теоремою Ейлера
.