МАТЕМАТИКА 2Ч

21.

y = e

− x2

22.

y =

x2

x − 2

23.

y = xarctgx

24.

y = x −

8

4

x

4

25.

y =

x

26.

y = x2e− x

x3 +1

1

2

x4 +1

27.

y = x

+ 4x

28.

y =

x2

29.

y =

3 − x2

30.

y =

x3

x + 2

x

2

− 4

3.2.13 Знайти асимптоти кривих

x −1

1.

y =

x4

16.

y =

x3 − 3

x

2 − 2x

2.

y =

x2 + 5

17.

y =

2 − 4x2

2x + 3

1 − 4x2

3.

y =

1− x2

18.

y =

4x − x2

2 − x2

5x − 2

4.

y =

x

+ x

19.

y =

5x − x2

2x − 1

x

2 + 6x + 9

5.

y =

5 − x2

20.

y =

3 − x

3− x2

x

2 + 2x

6.

y =

x2 + 9

21.

y =

2x2 − 3

5x −1

− x2 + 4x − 4

7.

y =

2 − x2

22.

y =

7 − 2x2

5 − x2

x

2 + 2x −15

8.

y =

2x2 −1

23

y =

2x + x2

3x2 − 4

x2 − 2x + 1

9.

y =

2x2 − 7

24.

y =

2x2

3x − 2

2 − 5x

10.

y =

x3

25.

y =

4x2

x2 −1

− x2 + 4x − 3

11.

y =

x2 + 2

26.

y =

x −1

x − 3

9 − x2

12.

y =

x3

27.

y =

8 + x2

2(x + 2)2

2x2 − 3x +1

13.

y =

2x2

28.

y =

(x +1)2

4x2 − 5

16 − x2

14.

y =

4x −16

29.

y =

6x2 −1

(x − 2)2

x2 − 3x + 2

15. y =

(x −1)3

30. y =

x2 − 6

(x +1)2

x2 + 5x + 6

1. Знайти область визначення функції

а)

б)

z =

+ arccos x

z = 4 - 2x + y2

x + y -1

в)

z = ln(x2

+ y) +

г)

1 - y

z = arcsin y + y2 + 2 - x

2. Знайти перші частинні похідні заданої функції.

а)

z = y ln 4

x2 + y2

- 3sin( xy) + 2x

б)

z = x × 2

3y

- tg(x / y)

в)

z = arcsin(x2 y) + 3 x2 + y3

а)

z = ln

1

б)

z = x2 + y2 - xy - 2x + y + 7

x2 + y2

в)

z = x sin 2 y

г)

z = tg(x3 y2 + 3)

д)

z = cos(x + 5y2 )

е)

z = x3

y / x

а)

z = 3x4 + 5x - 2x3 y7 -

1

y3

+

1

y2

б)

3

2

z = x2 - xy - 3y3

в)

z = ln(x2 + y)

66

а)

sin z 4 − e yz + x2 y = 0

z2 3

− x2 y cos z + 4 = 0

б)

y

в)

sin y2 =1 − x y

г)

xy3 + ln y + x2 = 0

6. Знайти похідні першого порядку для складених функцій.

а)

z = (x2 − y3 ) /(

− x3 ), x = e3uv − u2 , y = e2v / u

xy

б)

z = ln 2 (x2 + y2 ), x = 3

+ t 2 , y = 4t3 − 2

t

в)

z = x3 y − 4xy2 +

, y = 3 3x2 + 4

xy

7. Знайти рівняння дотичної та нормалі до поверхні.

а)

z = x2

+ 2y2 в точці (1;1;?)

б)

x3 + y3 + z3 + xyz = 6 в точці (1;2;-1)

в)

x2 + 20y2 + z 2 − 28 = 0 x0 = 2; y0 =1

8. Знайти екстремум функції.

а)

z = x3 + 3xy2 − 15x −12y

б)

z = x3 − 7x2 + xy − y2 + 9x + 3y + 12

9. Знайти умовний екстремум функції

а)

z = x + 2y

при x2

+ y2

= 5

б)

z = x3

+ y3 при

x + y = 2(x ³ 0, y ³ 0)

в)

z = x2

+ y2

− xy + x + y − 4 при x + y = 3

10.

Знайти

найбільше

та найменше значення

функції

z = x2 y(4 − y − x)

в

трикутнику,

обмеженому

прямими

x = 0; y = 0; x + y =16 .

1.

z = ln (y2 - 4x + 8)

2.

z = arcsin

y -1

3.

4.

x

z =

z = 1 + x - y2 + 1 - x - y2

(x +1)(y -1)

13.

z = ln (y2

- x2 )

14.

z = e

x2 + y2 −4

15.

z = arccos(x + 2y)

16.

z =

4x2 - y2

17.

z = ln (x2

+ y2

- 3)

18.

z =

1 - x - y

19.

z = 5/(4 - x2 - y2 )

20.

ln(y2 - x2 )

z =

x + y

21.

z = ln (2x2 - y)

22.

z = 4x + y /

2x - 5y

23.

24.

z = ln(

-1)

z =

1 - y2 +

1 - x2

xy

25.

z = 3x + y /(2 - x + y)

26.

z =

x

2

- y

2

27.

z =

+

28.

z = ln (9 - x2 - y2 )

x + y

x - y

29.

30.

z = arccos(x + 3y)

z =

x -

y

68

4.2.2 Знайти частинні похідні

¶z

i

¶z

¶y

¶x

69

4.2.3

Знайти частинні похідні

2-го порядку

∂2 z

;

∂2 z

;

∂2 z

функції z = z(x, y)

∂x2

∂x∂y

∂y2

1.

z = x2 − 3xy3 + 5y4

2.

z = −3x3 + 2x2 y4 − 2y2

3.

z =

1

x3

+ 5x2 y − 4y3

4.

z =

1

x4

− 5xy4

− 3y3

3

4