M02136
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
ІНДИВІДУАЛЬНІ ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ
до підмодуля
“Аналітична геометрія”
для студентів денної форми навчання
2006
2
Індивідуальні домашні завдання до підмодуля “Аналітична геометрія” для студентів денної форми навчання. /Укл. Хижняк В.К., Зарубіна Т.В. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2006.-
с.27
Укладачі Хижняк В.К., доцент Зарубіна Т.В., асистент
Рецензент: Левада В.С., доцент
Відповідальний за випуск: Хижняк В.К.
Затверджено На засіданні кафедри
Прикладної математики
Протокол № 3
від 9.11.2005
3
ЗМІСТ
1. |
Пряма на площині |
4 |
2. |
Пряма та площина у просторі |
10 |
3. |
Криві на площині |
15 |
4. |
Поверхності другого порядку |
19 |
|
Література |
27 |
4
1 ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
1.1. Якій геометричний зміст параметрів:
а) k та b у рівнянні прямої з кутовим коефіцієнтом, б) m та n у канонічному та параметричному рівнянні, в) А та В у загальному,
г) a та b у рівнянні у відрізках на осях, д) α та p у нормальному рівнянні.
1.2. Записати рівняння цих прямих.
2.Як виражаються умови паралельності, перпендикулярності двох прямих, якщо їх задано рівняннями
а) з кутовим коефіцієнтом, б) загальним, в) канонічним
3.Укажіть на особливість у розміщенні прямих, заданих рівняннями:
а) Ах+Ву=0; б) Ву+С=0; в) х=а; г) у=0;
д) у=кх+в; е) у=кх.
ж) х−тх0 = у−пу0
4.1 Записати рівняння прямих li, використовуючи придатний до вихідних даних вид рівняння, якщо:
а) точка М є l1, пряма l1 N ,
б) точка М є l2 || S , в) точки М та Д є l3,
г) пряма l4 перетинає вісь у в т. С з ординатою ус и (l4, ох+)=α,
д) точка Д є l5 , (l5, ox+)=β,
е) пряма l6 відтинає від осей координат відрізки а та b, ж) точка Д є l7, (l7, l2)=45°
з) точка Д є l8 l5
5
Вар |
т. М |
т. Д |
ус |
|
|
|
|
|
|
а |
b |
α |
β |
|
N |
S |
|||||||||||
|
|
(-2,- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
(3,1) |
3 |
(5,6) |
(-3,4) |
2 |
3 |
60° |
120° |
|||||
2 |
(2,-1) |
(1,4) |
-3 |
(2,4) |
(1,5) |
3 |
5 |
135° |
60° |
||||
3 |
(1,3) |
(3,5) |
-1 |
(2,3) |
(-1,4) |
4 |
2 |
30° |
150° |
||||
4 |
(2,4) |
(-1,6) |
0 |
(-5,6) |
(1,3) |
5 |
4 |
60° |
135° |
||||
5 |
(1,-3) |
(4,-2) |
-2 |
(4,-1) |
(2,6) |
3 |
-2 |
120° |
60° |
||||
6 |
(2,7) |
(3,0) |
2 |
(3,2) |
(3,5) |
2 |
4 |
150° |
45° |
||||
7 |
(1,-1) |
(1,-3) |
4 |
(-1,-3) |
(1,4) |
5 |
2 |
30° |
150° |
||||
8 |
(2,2) |
(3,-6) |
5 |
(2,2) |
(-3,4) |
-4 |
1 |
45° |
135° |
||||
9 |
(3,-2) |
(-1,4) |
-1 |
(1,1) |
(4,5) |
2 |
-3 |
150° |
45° |
||||
10 |
(1,1) |
(5,1) |
2 |
(2,-1) |
(2,2) |
4 |
5 |
120° |
60° |
||||
11 |
(1,-3) |
(1,4) |
-3 |
(2,-4) |
(3,2) |
3 |
4 |
45° |
120° |
||||
12 |
(2,-2) |
(1,-3) |
8 |
(6,-3) |
(4,4) |
3 |
-4 |
60° |
45° |
||||
13 |
(1,0) |
(2,2) |
1 |
(5,4) |
(1,3) |
2 |
-2 |
30° |
150° |
||||
14 |
(2,3) |
(3,-1) |
-1 |
(3,-2) |
(1,1) |
-5 |
3 |
45° |
120° |
||||
15 |
(2,-5) |
(1,-5) |
-2 |
(6,2) |
(1,4) |
3 |
-4 |
60° |
135° |
||||
16 |
(5,-2) |
(-1,4) |
3 |
(-2,3) |
(5,-2) |
4 |
-3 |
30° |
150° |
||||
17 |
(2,-6) |
(5,6) |
6 |
(-1,5) |
(4,4) |
3 |
-2 |
135° |
60° |
||||
18 |
(3,-6) |
(-4,3) |
7 |
(3,-3) |
(2,-5) |
4 |
4 |
60° |
135° |
||||
19 |
(-1,3) |
(4,4) |
4 |
(1,5) |
(1,-4) |
-3 |
3 |
120° |
60° |
||||
20 |
(2,-4) |
(-2,- |
2 |
(2,-5) |
(3,-4) |
2 |
-5 |
45° |
120° |
||||
21 |
(5,-1) |
(-3,4) |
6 |
(4,2) |
(-3,-5) |
-5 |
2 |
150° |
45° |
||||
22 |
(1,-6) |
(-6,- |
-4 |
(7,4) |
(3,6) |
3 |
-2 |
30° |
150° |
||||
23 |
(5,-4) |
(2,-7) |
-5 |
(6,-1) |
(3,2) |
-4 |
2 |
135° |
30° |
||||
24 |
(2,5) |
(3,3) |
-3 |
(7,2) |
(2,-3) |
1 |
5 |
150° |
45° |
||||
25 |
(1,7) |
(5,2) |
-8 |
(5,-6) |
(-1,-1) |
2 |
-6 |
30° |
150° |
||||
26 |
(6,2) |
(-4,4) |
-9 |
(6,-3) |
(2,-5) |
3 |
-6 |
45° |
135° |
||||
27 |
(2,-8) |
(2,-6) |
-5 |
(8,-3) |
(2,7) |
5 |
4 |
150° |
45° |
||||
28 |
(6,6) |
(-1,6) |
4 |
(0,-7) |
(3,3) |
4 |
4 |
45° |
120° |
||||
29 |
(2,8) |
(1,8) |
-6 |
(2,-2) |
(0,8) |
3 |
-4 |
120° |
60° |
||||
30 |
(-6,4) |
(3,2) |
8 |
(5,-3) |
(1,6) |
-2 |
-3 |
135° |
30° |
6
4.2Привести рівняння прямих li (i=1 8) до загального вигляду.
4.3Записати нормальні рівняння цих прямих.
4.4Знайти відстань від початку координат до прямих.
4.5Скласти їх параметричні рівняння.
4.6Побудувати прямі.
5Розв’язати наступні задачі
5.1Через точку перетину прямих 3x + 2y +1 = 0 та
x+3y −7 = 0 проведена пряма перпендикулярно перший із заданих прямих. Яка відстань одержаної прямої від початку координат?
5.2Заданий трикутник А(-6;2), В(10;10), С(0;-10).
Скласти рівняння і знайти довжину медіани, проведеної із точки А.
5.3 Знайти точку, симетричну точці А(-5;2) відносно прямої
3x −4y −7 = 0
5.4 Задані рівняння двох сторін паралелограма x −2y = 0 , x − y −1 = 0 і точка перетину його діагоналей M (3;−1) . Знайти рівняння двох інших сторін.
5.5Показати, що точки А(1;2) і В(-2;3) лежать по різні боки від прямої 2х-у+4=0.
5.6Визначити відстань між двома паралельними прямими
5x −12y +26 = 0 і 5x −12y −13 = 0 .
5.7 Дан трикутник А(-1;6), В(-5;2), С(1;0). Показати, що трикутник прямокутний.
7
5.8Чому дорівнює площина трикутника, який відтинає на координатних осях пряма 2х-13у+52=0 ?
5.9Дано координати вершин трикутника А(-1;1), В(1;9), С(9;1). Знайти точку перетину його висот.
5.10В трикутнику АВС відомі координати середини його сторін М1(-1;5), М2(3;1), М3(-5;-1). Скласти рівняння АВ.
5.11Визначити кутовий коефіцієнт і відрізок, відтинаємий на вісі ординат прямою
x=2t-3 y=-4t+5
5.12Обчислити відстань від точки М(2;1) до прямої, яка відтинає на осях координат відрізки а=8, в=6.
5.13Заданий трикутник А(0;0), В(-1;-3), С(-5;-1). Знайти точку перетину прямих AN і BM, які паралельні відповідно СВ та СА.
5.14Точка А(2;-5) є вершиною квадрата, одна зі сторін якого лежить на прямій х-2у-7=0. Обчислити площу квадрата.
5.15Знайти точку Q, симетричну до точки Р(-5;13) відносно прямої 2х-3у-3=0.
5.16Обчислити відстань між паралельними прямими
3х+ у −3 10 = 0 і 6х+2у +5 10 = 0
5.17Обчислити відстань від точки М(1;1) до прямої
x= −1+ 2t , y = 2 + t
5.18Дві вершини рівностороннього трикутника знаходяться у точках А(1;0) і В(2; 3 ). Знайти вершину С.
8
5.19 Дані рівняння двох сторін ромба х+2у-7=0, х+2у+13=0 і рівняння його діагоналі х-у+2=0. Знайти координати його вершин.
5.20 В паралелограмі відомі рівняння двох сторін 7х−24у +13 = 0 , 3х−4у + 20 = 0 і точка перетину діагоналей
O(−7;1) . Визначити довжину висот паралелограма.
5.21 В трикутнику АВС відомі рівняння АВ 4х+у=12,
висот BN 5х-4у=12 і АМ х+у=6. Знайти рівняння двох його інших сторін.
5.22Через точку М(1;2) провести пряму так, щоб вона пройшла на однаковій відстані від точок А(3;3) і В(5;2).
5.23Через точку перетину прямих 2х-5у-1=0 і х+4у-7=0 провести пряму, яка ділить відрізок між точками А(4;-3) і В(-1;2) у відношенні
λ=2/3.
5.24Дані вершини чотирикутника А(-9;0), В(-3;6), С(3;4), Д(6;-3). Знайти кут між діагоналями.
5.25На відстань 5 одиниць від точки С(4;3) провести пряму, яка відтинає рівні відрізки на координатних осях.
5.26Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку Р(2;3) і відтинає на координатних осях рівні відрізки.
5.27Визначити при якому значені m дві прямі
(m −1)x +my −5 = 0 і mx +(2m −1) y +7 = 0 перетинаються в точці, яка лежить на осі абсцис.
5.28 Визначити значення m і n та записати рівняння прямої
(2m −n +5)x +(m +3n −2) y +2m +7n +19 = 0 паралельної осі ОУ,
якщо вона відтинає на осі абсцис відрізок, який дорівнює 5 (рахуючи від початку координат).
9
5.29Задані дві вершини трикутника АВС : А(-6;2), В(2;-2), і точка перетину його висот N(1;2). Знайти координати точки М перетину сторін АС і висоти BN.
5.30Переконатись у тому, що точки А(-4;-3), В(-5;0), С(1;1), D(1;0) є вершинами трапеції, та знайти її висоту.
10
2 ПРЯМА ТА ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ
1.Векторне рівняння площини та прямої в просторі.
2.Загальне рівняння площини:
а) геометричне тлумачення коефіцієнтів при змінних в рівнянні площини;
б) геометричне пояснення коефіцієнтів в рівнянні площини у відрізках;
в) рівняння площини, яка проходить через три точки; г) нормальне рівняння площини і зміст його коефіцієнтів і
вільного члену; д) відхилення точки від площини, та відстань її до площини.
3. Канонічне рівняння прямої:
а) який зміст мають сталі що входять у це рівняння; б) умова паралельності двох прямих; в) умова перпендикулярності двох прямих.
4.Параметричне рівняння прямої.
5.Пряма яка проходить через дві точки.
6.Записати рівняння прямої, що задана як перетин двох площин.
7.Сумісне розташування прямих і площин у просторі:
а) кут між площинами; б) кут між прямими;
в) кут між прямою і площиною; г) точка перетину прямої і площини;
д) умова належності прямої до площини.
8. Задані координати 4-х точок А, В, С, D. Знайти:
а) площину, яка проходить через точки A, B, C;
b)пряму, яка проходить через точку D паралельно прямій АВ;
c)пряму, яка проходить через точку D перпендикулярно площині АВС;
d)точку симетричну точці D відносно площини АВС.