M02136

11

12

9. Задані пряма L, як перетин двох площин, площина Р і точка

М(x0,y0,z0).

Знайти:

а) кут між площиною Р і прямою L;

б) проекцію точки М на пряму L; в) відстані точки М до площини Р;

г) рівняння прямої L1, яка проходить через точку M паралельно

осі OZ;

д) рівняння площини P2, яка проходить через точку M паралельно площини P;

е) рівняння площини P3, яка проходить через начало координат та точку M та паралельна напрямному вектору прямої L.

14

15

3 КРИВІ НА ПЛОЩИНІ

Нехай m – число десятків, n – число одиниць в номері по списку в a = n +1, b = m + 2 , p = m + 1

1.Записати рівняння окружності з центром в т. А(-m,5-n) та радіусом R=m+3

2.Записати рівняння гіперболи з центром в початку координат, напівосями a, b та мнимою віссю y. Побудувати її.

3.Записати рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії Oy та гілками направленими униз, якщо відстань між директрисою та фокусом дорівнює m+a

4.Який геометричний зміст параметра p у канонічному рівнянні

параболи y2 = −2 px ? Побудувати її.

5.Записати визначення ексцентриситету гіперболи, еліпса. Порівнювати їх з одиницею.

6.Записати рівняння директрис парабол з п.п. 3,4.

7.Записати рівняння асимптот гіперболи з п.2.

8.Знайти координати фокусів гіперболи (п.2), та парабол (п.п. 3,4), їх ексцентриситети.

9.Перейшовши до полярних координат, побудувати криву, задану рівнянням у декартових координатах. Визначити тип кривої.

9.1(x2 + y2 )3 −4x2 y2 = 0

9.2(x2 + y2 −2x)2 −(x2 + y2 ) = 0

9.3(x2 + y2 )2 −2(x2 −1) = 0

9.4(x2 + y2 )2 −(3x2 y − y3 ) = 0

9.5(x2 + y2 −2x)2 = 4(x2 + y2 )

9.6(x2 + y2 −4x)2 −(x2 + y2 ) = 0

9.7(x2 + y2 )3 −16x2 y2 = 0

9.8(x2 + y2 −2x)2 −4(x2 + y2 ) = 0

9.9(x2 + y2 )2 −8(x2 −4) = 0

9.10(x2 + y2 )2 −2(3x2 y − y3 ) = 0

16

9.11(x2 + y2 −4x)2 −4(x2 + y2 ) = 0

9.12(x2 + y2 −4x)2 =16(x2 + y2 )

9.13(x2 + y2 )3 −36x2 y2 = 0

9.14(x2 + y2 −2x)2 −16(x2 + y2 ) = 0

9.15(x2 + y2 )2 −18(x2 −9) = 0

9.16(x2 + y2 )2 −3(3x2 y − y3 ) = 0

9.17(x2 + y2 −2x)2 −25(x2 + y2 ) = 0

9.18(x2 + y2 −6x)2 = 36(x2 + y2 )

9.19(x2 + y2 )3 −64x2 y2 = 0

9.20(x2 + y2 −4x)2 −25(x2 + y2 ) = 0

9.21(x2 + y2 )2 −32(x2 −16) = 0

9.22(x2 + y2 )2 −4(3x2 y − y3 ) = 0

9.23(x2 + y2 −4x)2 −36(x2 + y2 ) = 0

9.24(x2 + y2 −8x)2 = 64(x2 + y2 )

9.25(x2 + y2 )3 −100x2 y2 = 0

9.26(x2 + y2 −2x)2 −49(x2 + y2 ) = 0

9.27(x2 + y2 )2 −50(x2 −25) = 0

9.28(x2 + y2 )2 −5(3x2 y − y3 ) = 0

9.29(x2 + y2 −4x)2 −49(x2 + y2 ) = 0

9.30(x2 + y2 −10x)2 =100(x2 + y2 )

18

11. Визначити тип кривої вказаної у варіанті, знайти центр, півосі, ексцентриситет, рівняння директрис, а для гіперболи – рівняння асимптот. Побудувати лінію.

19

4 ПОВЕРХНОСТІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

1.Запишіть канонічні рівняння еліптичного та гіперболічного параболоїду, параболічного циліндру, геометричний зміст параметрів, особливість у розміщенні.

2.Дати означення:

а) поверхності обертання; б) циліндричної поверхності.

3. Привести рівняння до канонічного виду, визначити тип і побудувати поверхню.

1.а) 2x2 −4x + 2y −6 = 0

б) x2 + y2 + z2 −2x +6y −4z −11 = 0

в) x2 − y2 + z2 −2x +6y −4z −4 = 0 г) − x2 + y2 + z 2 −2x +6y −4z −11 = 0

2.а) 16x2 + 25y2 −32x +50y −359 = 0

б) 36z 2 +36x2 −36z −24x −18y −14 = 0

в) −9z 2 +8x2 −4y = 0

20

б) x2 + 2 y2 + 4z 2 −6x −4 y −16z −21 = 0 в) z2 + 4x2 −8z −8x −32y −44 = 0

г) x2 −2 y2 + 4z 2 −6x −4 y −16z −21 = 0

6.а) 9x2 −16y2 +90x +32y −367 = 0

б) 16x2 +9y2 + z2 −32x −36y −144z +52 = 0 в) x2 + 2y2 −4z2 −6x −4 y −16z −5 = 0

г) x2 +3z 2 −4x +6z −30y + 22 = 0

7.а) − y2 + 2 y − x −1 = 0

б) 4x2 + y2 + 4z2 +16x + 2 y −8z +5 = 0

в) −16x2 +9y2 + z 2 −32x −36y −144z +5204 = 0 г) −16x2 +9y2 + z 2 −32x −36y −144z +1604 = 0

8.а) 6 y2 +9z2 −12y +18z −39 = 0 б) x2 + 2z2 −4x +8z −12y = 0 в) 16z2 −9 y2 −6x = 0

г) −16x2 −9y2 + z 2 −32x −36y −144z +1532 = 0

9.а) 16x2 −9 y2 +64x +108y −116 = 0

б) 16x2 +9 y2 +36z2 −64x −18y −36z −62 = 0 в) 4x2 −y2 + 4z 2 +16x + 2 y −8z +19 = 0

г) 4x2 − y2 −4z2 +16x + 2 y −8z +7 = 0

10.а) −2x2 −4x + 2y −6 = 0

б) 16z2 + 25y2 −32z +50y +800x −759 = 0

в) 16x2 −9 y2 +36z 2 −64x −18y −36z +64 = 0 г) 4x2 − y2 + 4z 2 +16x + 2 y −8z +3 = 0

11.а) 16z2 + 25x2 −32z +50x −359 = 0

б) 16x2 +9y2 + z2 −32x −36y +16z −28 = 0 в) x2 + 4 y2 −8x +8y +16z −4 = 0