3 Контрприклади у темі „інтеграл рімана”

Функція називається інтегрованою за Ріманом на сегменті, якщо для цієї функції на вказаному сегменті існує границяїї інтегральних сумпри спрямуванні діаметрурозбиттівдо нуля.

Число називається визначеним інтегралом Рімана від функціїв границях віддоі об означається символом [8]

Таким чином, за означенням

Приведемо простий приклад інтегрованої за Ріманом функції. Покажемо, що функція інтегрована на будь якому сегменті, причомуДійсно, при будь якому розбиттіта будь якому виборі точокна сегментахсправедлива рівністьОтже,

для будь якого розбиття та будь якого вибору точок.

Тому

Примітивна функція – інша назва первісної функції. [7]

Контрприклад 1 (Приклад 3).

Функція, інтегровна за Ріманом та не має примітивної на жодному інтервалі.

Якщо положити , то функція буде інтегровна на так як вона монотонна на цьому інтервалі. Однак ця функція не має примітивної на жодному підінтервалі з, оскільки безліч точок її скачків всюди щільно на інтервалі .

Як пише В.А. Зорич у своїй книзі «Інтеграл», композиція інтегрованих функцій не мусить бути інтегрованою функцією. [8]

Контрприклад 2 (Приклад 9).

Дві функції, інтегровні за Ріманом, композиція яких не інтегровна за Ріманом.

Нехай для та . Далі, нехай - звуження функції назамкнений інтервал [0,1]. Тоді є звуженням на [0,1] характеристичної функції множини всіх раціональных чисел. Ця функція дорівнює 1, якщо х раціональне, та дорівнює 0, якщо х ірраціональне.

4 Контрприклади у темі „нескінченні ряди”

Числовий ряд — це числова послідовність, яка розглядається разом з іншою послідовністю, яка називаеться послідовністю часткових сум (ряда). [6]

Нехай - послідовність часткових сум нескінченного ряда, тобтодля

Якщо існує і скінченний, то кажуть, що рядзбігається.

Цю границю називають сумою ряда і пишуть:

.

Якщо нескінченний або не існує, то кажуть, що ряд розбігається.

Контрприклад 1 (Приклад 3).

Збіжний ряд та розбіжний ряд , такі, що

В якості можна взяти умовно збіжний знакоочередний гармонійний ряд , а в якості - розбіжний гармонійний ряд .

Тоді _для

Теорема Лейбниця для знакоочередних рядів стверджує, що ряд , де та , збігається, якщо:

(1) .;

(2) ;

(3) .

Контрприклад 2 (Приклад 7).

Про умови теореми Лейбниця для знакоочередних рядів.

Жодні дві з трьох умов теореми Лейбниця самі по собі не забезпечують збіжність, тобто не одну з цих трьох умов не можна опустити. Цей факт підтверджується наступними трьома прикладами.

(1) Покладемо , .З іншого боку, существенно саме чергування знаків у членів ряду. У цьому можна переконатися на тому ж прикладі, якщо у якості взяти наступну послідовність з трійок чисел: 1, 1,-1, 1,1,-1,… .

(2) Покладемо , якщо парне, та , якщо n – непарне.

(3) Покладемо , (або що ще простіше, , .

Нехай є неперервною, додатньою і монотонно спадаючою функцією на проміжку [1;+∞).

Тоді ряд

збігається, якщо збігається невласний інтеграл , і розбігається, якщо.

Розглянемо приклад.

Визначити, збігається чи розбігається ряд .

Використовуємо інтегральну ознаку Коші. Обчислимо відповідний невласний інтеграл:

.

Таким чином, даний ряд розбігається.

Контрприклад 3 (Приклад 12).

Додатня неперервна функція при така, що інтеграл збігається, а ряд розбігається.

Положимо для будь якого цілого , а на замкненних інтервалах та функцію визначимо, як лінійну та рівну нулю в кінцевих нецілих точках.

Нарешті, в тих точках , де ще не визначена, покладемо . Тоді функція додатня та неперервна для ,рівність не має місця, а невласний інтеграл збігається. Якщо опустити вимоги додатності функції, то простим прикладом, який задовольняє залишившимся вимогам, є інтеграл:

.

Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум.

Ряди можна множити за правилом Коші:

, ;

.

Висновок: додаток двох степеневих рядів за правилом Коші – степеневий ряд із сумою, яка дорівнює додатку сум вихідних рядів.

Контрприклад 4 (Приклад 18).

Два розбіжних ряда, добуток яких збігається абсолютно.

Добутком (за Коші) наступних двох рядів:

2+2+

є ряд

В більш загальній формі, якщо і для , причому , то член ряду, є добутком рядів і, рівний ( при ):

Отже, якщо і . Якщо при цьому і пов’язані рівністю , то і обчислюються за формулами

ВИСНОВКИ

В математиці існують приклади двох типів – ілюстративні приклади і контрприклади. Перші показують, чому те чи інше твердження має сенс, а інші - чому те чи інше твердження позбавлено сенсу. Можна стверджувати, що будь який приклад є у той же час контрприкладом для деякого твердження, а саме для твердження, що такий приклад неможливий. [1]

Побудова контрприкладів відіграє важливу роль у розвитку математичної думки та математики як науки загалом, дає можливість відповісти на ряд важливих застережень щодо певних математичних тверджень, надає іншого значення тривіальним доведенням.

В курсовій роботі були розглянуті контрприклади в математичному аналізі, це може бути корисно студентам і викладачам для ілюстрації помилок, можливих при вивченні аналізу, та може розкрити деякі аспекти теорем та правил математичного аналізу.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

1. Гелбаум Б., Олмстед Д., Контрпримеры в анализе. – М.: МИР, 1967. – 250 с.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Бл. Х. Сендов. Под ред.. А.Н. Тихонова Математический анализ. Начальный курс – 2 изд., перераб. – М.: Изд-во МГУ, 1985.-662 с.

3. Зорич В.А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. - 544 с.

4. Дороговцев А. Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении (2-е издание). Киев: Факт, 2005. - 305 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. ( В 3-х томах ). - М.: Физматлит, 2008. - 338с.

6. Сакс С. Теория интеграла, М.: Факториал Пресс, 2006г. – 209 с.

7. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций, М.: МГУ, 1934. – 310 с.

8. Зорич В.А. Интеграл — М.: Физматлит, 1984. — 6 с.

9. uk.wikipedia.org

10. Кужель О.В. Контрприклади в математиці. – К.: Рад. Школа, 1988. – 96 с.