1.5.3.1.Задача умовної оптимізації.

Це задача, яка пов'язана із оптимізацією за наявності обмежень на змінні. Дані обмеження зменшують розмір області, у якій шукається оптимум. Процес оптимізації стає складнішим, тому що за наявності обмежень не можна використовувати застосовувані умови оптимальності. Також можливе порушення навіть основної умови, відповідно до якої оптимум має досягатися у стаціонарній точці.[9]

Для переходу від задачі параметричної оптимізації із обмеженнями до задачі без обмежень, використовують наступні методи:

• Метод невизначених множників Лагранжа;

Метод множників Лагранжа – це метод, що знаходить умовний екстремуму функції , де, відповідно дообмежень, азмінюється від 1 до.

Опис методу:

1. Складається функція Лагранжа, що має вигляд лінійної комбінації функції і функції , взятих із коефіцієнтами, які є множниками Лагранжа– :

, де .

2. Складається система із рівнянь, потім здійснюється прирівнення до нуля частинних похідних функції Лагранжапо й .

3. Якщо одержана система має рішення відповідно до параметрів й , то точка можливо є умовним екстремумом, тобто рішенням вихідної задачі. Ця умова є необхідною, але не достатньою.

Метод множників Лагранжа має наступні переваги:

• він універсальний і тому може бути використаний до широкого класу задач з різноманітних сфер науки і практичної діяльності;

• він технічно простий, бо не потребує нічого, крім уміння знаходити похідну і дозволяє прийти до мети виконуючи абсолютно елементарні кроки;

• розв’язання не потребує жодних нестандартних підходів, винахідливості, процес легко алгоритмізується, а отже може бути автоматизований.[10]

• Метод штрафних функцій;

Основна задача методу штрафних функцій полягає в перетворенні задачі мінімуму функції , із обмеженнями, накладеними на, в задачу мінімізації функціїбез обмежень.

Функція – це штрафна функція. Потрібно, щоб вона «штрафувала» функцію при порушенні обмежень (збільшувала її значення). Тоді мінімум функціїбуде знаходитися усередині області обмежень. Функція , яка задовольняє цій умові, може бути не одною. Задачу мінімізації можна сформулювати наступним чином: мінімізувати функцію , при обмеженнях .

Функцію зручно записати наступним чином: , де – досить мала величина.

Тоді функція приймає вид .

 Якщо приймає допустимі значення, тобто значення, для яких, топриймає значення, які більші відповідних, а різницю можна зменшити за допомогою, що є досить малою величиною. Якщоприймає допустимі значення, але які близькі до межі області обмежень, й хоча б одна із функційє близькою до нуля, то значення функції , а також значення функції будуть досить великі. Отже, вплив функціїє в утворенні «гребеня із крутими краями» вздовж межі області обмежень.

Тож, якщо пошук почнеться із допустимої точки та відбувається мінімізація функції без обмежень, тоді мінімум, звичайно, буде досягатися усередині допустимої області для задач із обмеженнями. Якщодостатньо мала величина тож, щоб вплив став малим у точці мінімуму, необхідно зробити точку мінімуму функції без обмежень, що співпадатиме із точкою мінімуму задач з обмеженнями.[12]

• Метод бар'єрних функцій.

Метод бар'єрних функцій зводить рішення задачі умовної мінімізації цільової функції до вирішення послідовності задач безумовної мінімізації допоміжної функції:, де– є бар'єрною функцією, що визначена лише всередині множини допустимих рішень , тобто на множині.така, щоб на межі допустимої множини побудувати бар'єр, який перешкоджає порушенню обмежень в процесі безумовної мінімізаціїпо, і щоб точкизі зміноюпо деякому правилу наближалися дозсередини.

Загальний вигляд бар'єрної функції: , де, а функції– безперервні при функції, причомупри.

Найбільш часто застосовуються:

• зворотна функція бар'єру Керролла (рис.1.3 а));

• логарифмічна функція бар'єру Фріша (рис.1.3 б)).

Рис.1.3 - Функції бар'єру

Алгоритм методу бар'єрних функцій вимагає задання початкової точки , початкового значення параметра штрафуі коефіцієнтадля його зменшення, а також параметра точності пошуку.[25]