- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Случайные события
- •Действия над событиями
- •Свойства операций над событиями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 1. События. Основные операции над событиями Лекция 1
- •Семинар 1
- •Домашнее задание 1 – Тема 1.
- •Свойства относительной частоты
- •Свойства статистической вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства «классической» вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 2 Лекция 2
- •Семинар 2
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Домашнее задание 2 – Тема 2.
- •Классическое определение вероятности
- •Тема 2.1. Элементы комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. – 4 часа 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Элементы комбинаторики
- •Правило умножения
- •Правило сложения (суммы)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 2.1.
- •Домашнее задание 2.1 – Тема 2.1 Элементы комбинаторики: Правило Суммы, Правило Произведения
- •Тема 3. Элементы комбинаторики. Понятие о «схеме выбора». Схема выбора без возвращения: Перестановки, Размещения, Сочетания. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Соединения. Виды соединений
- •Перестановки
- •Размещения
- •Сочетания
- •Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Семинар 3
- •Домашнее задание 3 – Тема 3. Элементы комбинаторики: Перестановки, Размещения, Сочетания
- •Тема 4. Элементы комбинаторики. Схема выбора с возвращением: Размещения, Сочетания, Перестановки с повторением – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Размещения с повторениями
- •Сочетания с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 4.
- •Лекция 4
- •Семинар 4
- •Домашнее задание 4 - Тема 4.
- •Тема 5. Геометрическое определение вероятности. Субъективная вероятность. Примеры вычисления вероятностей. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Субъективная вероятность
- •Геометрическое определение вероятности
- •Свойства геометрической вероятности
- •Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 5. Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Домашнее задание 5 - Тема 5. Геометрическая вероятность
- •Тема 6. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Вероятность суммы событий. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Независимость событий
- •Тема 6. Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 6 Лекция 6
- •Семинар 6 Дополнительное задание
- •Домашнее задание 6 – Тема 6. Формулы вероятности суммы и произведения событий
- •Тема 7. Независимость событий. Условные вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Условные вероятности
- •Полезный алгоритм
- •Тема 7. Независимость событий. Условная вероятность Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре 7 Лекция 7
- •Семинар 7
- •Тема 8. Формула полной вероятности. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Тема 8. Задачи, рассмотренные на Лекции 8
- •Тема 8. - Домашнее задание 8. Формула полной вероятности
- •Тема 9. Формула Байеса (формула гипотез, формула апостериорной вероятности). – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 9
- •Домашнее задание 9. – Тема 9 – Теорема Байеса
- •Тема 10. Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Теорема и Формула Бернулли. - 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Бернулли
- •Случай нескольких исходов
- •Вероятность появления рассматриваемого события не менее m раз
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 10. Тема 10. Формула Бернулли Лекция 10
- •Семинар 10
- •Домашнее задание 10 – Тема 10. Схема Бернулли
- •Тема 11. Приближенные вычисления в схеме Бернулли. Формулы Пуассона, Муавра – Лапласа. Алгоритмы вычислений. Гауссиана. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
- •Формула Пуассона
- •Алгоритм использования функции Гаусса в приближенных вычислениях
- •Алгоритм использования функции ф(х) в приближенных вычислениях
- •Сокращенная таблица значений функции плотности и интегральной функции ф(х)
- •Задачи, рассмотренные на Лекции.
- •Тема 11. - Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа
- •Домашнее задание 11. -Тема 11. Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа. Кривая вероятностей (Гауссиана). Закон больших чисел
- •Тема 12. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)
- •Треугольник Паскаля
- •Домашнее задание 12 – Тема 12. Бином Ньютона
- •Дискретная случайная величина
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Математические операции над дискретными случайными величинами
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре. Тема 13
- •Домашнее задание 13 – Тема 13. Случайная величина (св).
- •Тема 14. Числовые характеристики случайной величины. «Меры положения»: среднее арифметическое, среднее геометрическое, мода, медиана. «Меры рассеяния»: дисперсия, эксцесс, асимметрия.
- •«Меры положения»
- •1. Средняя арифметическая величина. Понятие средней арифметической
- •Свойства средней величины
- •2. Мода
- •3. Медиана
- •Вариация массовых явлений. «Меры рассеяния»
- •4. Размах (интервал изменения)
- •5. Математическое ожидание
- •Свойства математического ожидания
- •6. Дисперсия и среднеквадратическое (стандартное) отклонение
- •Алгоритм вычисления дисперсии
- •Свойства дисперсии
- •7. Коэффициент вариации
- •Моменты распределения и показатели его формы. Центральные моменты распределения
- •9. Коэффициент асимметрии
- •10. Коэффициент эксцесса
- •Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 14
- •Домашнее задание 14. Тема 14 – Числовые характеристики случайной величины. Закон распределения св
- •Плотность распределения
- •Сходство и различия между законом распределения и плотностью распределения
- •Свойства плотности вероятности
- •Нормальный закон распределения
- •Свойства кривой вероятностей
- •Понятие о биномиальной случайной величине
- •Раздел II
- •Вопросы для контроля
- •Вопросы к зачету по теории вероятностей и математической статистике
- •Рекомендуемая литература
Семинар 7
Задача 1С–Т7. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимается два шара. Какова вероятность того, что второй шар окажется белым, при условии, что первый шар был черным?
Задача 2С–Т7. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что он наберет нужный номер не более, чем за три попытки?
Задача 3С-Т7. В библиотеке на стеллаже в случайном порядке расставлены книги: десять учебников по экономике и пять – по математике. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых библиотекарем учебник будет учебником по математике.
Задача 4С–Т7. В коробке находятся 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, второй – синим, а третий – черным?
Задача 5С–Т7 (дополнительно). В первой урне находятся три белых, пять красных и семь синих шаров. Во второй урне находятся два белых, четыре красных и девять синих шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара будут одного цвета.
Домашнее задание 7 - Тема 7. Независимость событий. Условные вероятности
Задача 1Д–Т7. Опыт состоит в последовательном подбрасывании монеты два раза. Рассматриваются события:
А = {первый раз выпадает Герб},
В = {второй раз выпадает Герб},
С = {Герб выпадает хотя бы один раз},
D = {Решка выпадает хотя бы один раз}. Определить зависимы или независимы пары событий А и В, А и D, В и С, С и D.
Задача 2Д-Т7. На одинаковых карточках написаны натуральные числа от 1 до 25 включительно. Наудачу дважды извлекается по одной карточке без возвращения. Какова вероятность того, что на обеих карточках будут написаны простые числа?
Задача 3Д-Т7. В урне находится 100 лотерейных билетов, из которых 25 выигрышных. Из урны трижды без возвращения извлекают по одному билету. Какова вероятность того, что все три билета окажутся выигрышными?
Задача 4Д-Т7. В коробке находятся 2 красных, 3 синих и 2 зеленых карандаша. Из нее наудачу берут без возвращения три раза по одному карандашу. Найти вероятность того, что красный карандаш появится раньше синего.
Задача 5Д–Т7. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех предложенных вопросов.
Какова вероятность того, что:
а) студент сдаст зачет?
б) зачет будет сдан, если на первые два вопроса студент уже ответил верно?
Задача 6Д-Т7. На столе лежат 4 синий и 3 красных карандаша. Редактор дважды наугад берет по одному карандашу и обратно их не кладет. Найти вероятность того, что:
а) вторым был взят красный карандаш при условии, что первым был взят синий;
б) вторым взят синий карандаш при условии, что первым оказался синий;
в) вторым взят синий карандаш при условии, что первым был красный;
г) вторым взят красный карандаш, при условии, что первым также оказался красный карандаш.
Задача 7Д-Т7. В барабане находится 10 лотерейных билетов, из них два выигрышных. Из барабана вынимают два раза по одному билету, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что:
а) второй раз был извлечен билет без выигрыша при условии, что первым оказался выигрышный билет?
б) первый раз вынут выигрышный билет, а второй – билет без выигрыша?
Задача 8Д-Т7. Из ящика, содержащего 4 белых и 5 красных шаров, два раза наугад извлекают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:
а) вторым извлечен красный шар при условии, что первым оказался также красный шар?
б) оба раза извлекались красные шары?
Задача 9Д-Т7. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимаются и не возвращаются 2 карты. Какова вероятность того, что:
а) оба раза извлекались карты красной масти?
б) первой была вынута карта красной масти, а второй – черной масти?
в) второй вынута карта черной масти при условии, что первой была карта красной масти?
Задача 10Д-Т7. В цехе работают 10 мужчин и три женщины. По табельным номерам последовательно наугад выбирают 2 человека для делегирования на профсоюзную конференцию. Какова вероятность того, что:
а) выбранными окажутся две женщины?
б) выбранными окажутся двое мужчин?
в) первым выбран мужчина, а второй – женщина?
г) вторым выбран мужчина при условии, что первым также был мужчина?
Задача 11Д-Т7. Студент, идя на экзамен, знал ответы на 25 билетов из 30, предлагаемых экзаменатором. На первый билет студент не знал ответа и, не возвращая его экзаменатору, вытянул второй билет. Какова вероятность того, что:
а) вторым ему достался билет, на который он знал ответ?
б) вторым ему достался билет, на который он не знал ответа?
Задача 12Д-Т7. Студент, которому предстояло сдавать зачет, знал ответы на 70 вопросов из 90. Какова вероятность того, что он:
а) верно ответит на два вопроса?
б) ответит на второй вопрос при условии, что он не знал ответа на первый вопрос?
Задача 13Д-Т7. В розыгрыше первенства страны по волейболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируют две группы по 9 команд в каждой. Среди участников первенства имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу.
Задача 14Д-Т7. Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на 5.
Задача 15Д-Т7. Решить уравнение относительно n: .
Задача 16Д-Т7. Решить уравнение относительно m.
Задача 17Д-Т7. Решить уравнение относительно n.
Дополнительные задачи
Задача Д1.Из колоды карт (36 карт) вынимают наудачу карту. Чему равна вероятность того, что эта карта окажется Тузом?
Задача Д2.Предположим теперь, что вынутая карта оказалась черной. Чему равна условная вероятность вынуть Туза при этом условии?
Задача Д3.Нарисуйте два подмножества квадрата, такие, что два события: попадание в каждое из этих множеств при стрельбе по квадрату — будут независимыми.
Задача Д4.СобытияАиВнезависимы. Являются ли независимыми события:
а)АиВ,
б)и?