Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

пособие 7 по матану (2 курс)

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
788.5 Кб
Скачать

‹Ǵ

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

+

 

os

 

+

 

os

 

 

ZSZ

P dydz

Qdzdx

Rdxdy

ZSZ

P

α

Q

β

R

γ

dS

¢)Ǒਬ¢ëç¨á«¨âì¥-¥-¨+¥âìä®à¬ã«ë¥£®. +

Žáâண=à ¤áª®( £®:os

 

 

 

 

)

 

∂P , ∂Q , ∂R

∂x ∂y ∂z

 

 

§ ¯¨á

 

-â¥£à « ç¥à¥§ âன-®© ¨-â¥£à « ¯® ä®à¬ã«¥

 

 

 

 

 

 

 

y

¥¢ëç¨á«¨âìP7àëdydz.1.¢ëç¨á«‚ëç¨á«¨âìQdzdx¥¢ëç¨á«£¥®-. ¨ïRdxdy¯®¢-¥â¥£¥ààå=«-®áâ-µ ∂x

∂y

 

∂z dxdydz

 

7.3Ǒਬ.

 

 

 

 

 

ZSZ

 

 

 

+

 

+

 

 

 

ZVZ Z

∂P

+ ∂Q + ∂R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ëåá«®¢¨-âî,¥£à «®¢ ¢â®à®£® ⨯ .

-£à¨•‚믮«2)¥.á¢è¥£¥¥®-¤-ª¥-.¤¢®©

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aRR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢- è-ïï ¯®¢

 

å

áâì áä àë à ¤ ãá

 

 

(xdydz + ydzdx + zdxdy)dS, £á¢¥S¤¥{

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

¨-1)¥¬¯. -¥‘¯®á®¡à£®¬ã¢ë¡à®¬ª¥âਧ¤¢®©---ë©£-æ¨î®¬ãà «ã.¥.¨â®¤-Ǒ®¢-¨ï⥣§¥ààè¤å«ã¥--®áâìî.¨ï毮.¥-â஬ãï¥-âáï¡ã¤ç «á䥥¬¥ª®®à¤¨¢ëç¨á«ïâìà , ¥¥ -ãà ,¢¬-¨¥--⨥

2

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

¥¬ ®á¨§¢®«ì- ï

 

çª áä¥ ë. Ǒãáâì

ϕ

{ 㣠«

ã

x

+«®y z¥«ì=-aë¬. Ǒãáâì- ¯à ¢«€¥{-¨¯à®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯« ᪮áâ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oxá䥯à®à¨ç¥¥áªæ¨¥© à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à â®çª¨ A -

 

 

 

Oxy, a ψ { 㣮« ¬¥ ¤ã ¯«®áª

 

 

Oxy ¨ à ¤¨ã -¢¥ªâ®à®¬ â®çª¨

®®а( ¤¨- вл¢¢®¤пвбпв®зª¨ в ª ¥, ª ª ¨ ¯а¨

 

 

 

 

®© § ¬¥-¥ ¯¥à¥¬¥--ëå). ’®£¤

Aª ϕ

ψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ 3

2

 

 

3 ¯

A ¬® -® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

2¯

 

3

2

3

 

 

 

 

¯32

 

 

2

 

3

2

 

 

 

 

â.¥x.‚ëç¨á«¨¬=¯®«ã稬a ϕ ®¯àψ,¥¬¤y

a

ϕ

ψ, z

a

 

ψ µ

0

≤ ϕ ≤ π, −

 

≤ ψ ≤

,

 

 

 

os

 

os

¥âà¨ç«¨â= ¥«ì:sin¥áªãîosä®à¬ã=§ ¯¨á¨sin ¯®¢¥àå-®áâ¨2.

 

π2

 

π2

 

¯

P

Q

 

R

=

¯

a sin ϕ

ψ

 

a os ϕ osψ

 

0

 

¯ =

 

 

 

 

 

∂ϕ

∂ϕ

 

∂ϕ ¯

 

 

 

 

 

 

 

 

=¯

∂x

∂y

 

∂z ¯

 

¯

a os ϕ osψ

 

a sin ϕ

ψ

 

a sin ψ

¯

 

 

 

 

 

 

a os ϕ in ψ

 

 

a sin ϕ sin ψ

a os ψ

 

 

 

 

 

¯

∂x

∂y

 

∂z

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

∂ψ

∂ψ

 

∂ψ ¯

 

sin

ϕ o

ψ sin

ψ +=a

 

 

ϕ os ψ sin

 

 

 

 

 

¯a os ϕ os ψ¯

+a¯

 

 

¯ψ +a sin ϕ os ψ =

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

a3

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ψ + a3 os ψ sin2 ψ = a3

ψ.

¢ëç¨á«¨¬ ¥£®.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02π

 

 

π2

3

 

 

 

 

 

3

 

 

02π

3

3

 

 

 

π2

 

 

 

3

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ǒ®2).

 

 

P, Q, R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

¢®á¯®«ì§®

 

 

2+Z Z

 

xdydz + ydzdx + zdxdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dϕ =

 

 

 

 

 

 

 

a =os2ψdψ =

a sin ψ

 

 

 

 

 

 

 

2=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ

 

π2

 

x y

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

äãŽáâà®ï •Ǒਬ-ä®à¬ã«®©ªæ¨¨¥è£¥à-¨¥¤áª®¥à. Œ7£Žáâà®.2¥®â®¤.. ‚

 

 

 

 

∂P

= ∂Q

= ∂R

= 1

 

Z

 

 

a dϕ

 

 

a ϕ¯ϕ=0

 

 

πa .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂P

+ ∂Q

+ ∂R = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥£®, ¥¨§.â®-ªâ.¤¥£¯®-à ¯®«¥àåãá«®¢¨î¨§-®áâì¯à¨¬®.¥£à(Œëà -7¨ç¨¢.1,¬®=¯à¨¬2¥¥¬â ®¡ê¥-¨¢¥¬=ä®à¬ãè4¢ âì,«ã-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«®¨âì¨ï¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤áª

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ë稣à

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-: æ¨àã¤.¥¬ë ¢ í⮬ ®¡ê¥¬¥.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ë¡à¤¨ää-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤áç¨âǑà ¥¥-¬¨¬¯à®¨§¢®{

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‡ ¯¨è¥¬ ¯®¢¥àå-®áâ-ë© ¨-∂x⥣à ∂y« ç¥à¥∂z§ âன

 

 

∂x

 

 

∂y

 

 

 

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-®©.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Z2 Z Z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚믮«-¨¬2 2Z Z 2

 

xdydz

 

ydzdx

 

zdxdy

 

 

 

 

dxdydz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áä¥à¨ç¥2áªãî § +¬¥-ã ¯¥à+¥¬¥--ëå:=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

(=)

 

 

 

 

 

 

(¨-x⥣+ày «+¯®z =áäa¥à¥)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(¨-xâ¥+£ày «+¯®z ≤èa àã)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r sin(=)3ψ, (0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ a), I = r2 os ψ.

 

x = r os ϕ, y = y sin ϕ os ψ, z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2π

 

π2

r2 os=ψdψ3

 

 

 

a

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

Zπ2

 

 

 

 

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

dr Z0

= 3 Z0

dr Z0

 

r2 sin ψ¯ψ=

 

π2=3 Z0

dr Z=02r2=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

0

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0a

2

r ϕ¯ϕ=0dr

 

a

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

3

 

 

 

 

 

πa .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

Z

 

πr dr

 

 

 

 

¯r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

-â¥£à «

 

= 12

 

 

 

 

¯

 

= 4

 

 

 

 

Ǒਬ¥à 7.3. ‚ëç ᫨âì ªà¨¢®«¨-¥©-ë©=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 +

 

2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

ä®à¬ã«®©) , ‘⮪ᣤ¥

{. ªà¨¢ ï

 

 

¯

 

2, x + z = 1 (

 

y

0

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

R

 

 

 

 

 

 

0), ¯®«ì§ãïáì

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

(y −z)dx +(z

−x)dy +

x − y dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

a

 

a

 

h

 

 

 

 

 

 

a > , h >

 

 

 

 

 

 

 

â ï ªà¨¢ ï,

 

P, Q, R { ¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨.)

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CZ (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz = ZSZ

 

=2dxdy − 2dydz − 2dzdx =

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚믮«-¨¬ ¯ à ¬¥âà § æ¨î:

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ZSZ

dydz + dzdx + dxdy(=)

¯

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = u os v, y = u sin v, z = h(1− os v) (0 ≤ u ≤ a,

≤ v ≤ 2π). ‚ëç¨á«¨¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

os v

 

sin v

 

 

0

 

 

¯ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

u sin= v

 

u os v

 

h sin v

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚¥¯

 

h

 

 

v u

 

 

 

v

 

 

¯u

 

 

 

 

v

h

 

 

v

 

 

v u h

 

 

 

v

h

v

v.

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(=)à-¥¬áï ªsin¢ëç¨á«+ ¥-os¨î ¨-+⥣sinà « :

 

os

 

sin

 

=

 

+

sin

 

 

 

os

 

sin

 

 

 

a

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2 Z0

du Z0=µu + h sin

 

v −

h2

sin 2vdv =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

−2 Z0

du Z0

µu +

h2

(1 os 2v)

h2

sin 2vdv =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0a

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

+

 

4 os 2

 

2π

 

 

 

 

 

0a 2

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h =

 

v¶¯v=0du = 2 Z µ πu + h

πdu =

 

 

2 Z µuv + h µv

2 sin 2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ u2

− πhu¶¯u=0

 

− πa h

a .

¨7-.4â‚ëç¨á«¨âì.¥1£‡à ¤ ¬-.¨ï¯®¢¤«ï¥àåá-¬®áâ®-ë¥ï⨥-«ì⥣-ணµ π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«ë® à¢â®¥4è஥-£¨ï® 2⨯. ,

¯

¢®¤ï= ¨å2 ª (¤¢®©+ -)ë¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1, 0

 

y

 

 

 

2, 0

 

z

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.2. RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ à ««¥«¥¯¨¯x dydz¥¤ 0+ y dzdx + z dxdy

£¤¥ S {

 

-¥è-ïï

áâ®à®-

¯®¢¥àå-®áâ¨

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+ y2

= z2

0 ≤ z ≤ 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ª®-¨ç¥áª®©(y¯®¢ ¥zàå)dydz-®áâ¨+ (z

− x)dzdx + (x − y)dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®-

S

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.4.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y dydz

 

 

dzdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RRx

 

+ y

 

+ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, ®£¤®¥¢ëç¨á«¨âìS { -¥è-ïï áâ®à®-

áä¥àë

 

 

RR

 

 

(

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯®¢¥àå-®áâ-ë¥ ¨-â¥£à «ë.

 

‘5¯®¬®éìî) ä®à¬ã«ë+() +Žáâà®+( £à) ¤áª= .

 

 

 

 

 

 

 

x−a

 

 

 

 

 

y−b

 

 

 

 

 

z

−c

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

y

 

x a, 0

 

 

y a, 0

 

 

z a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x

dydz

 

 

y dzdx

 

z dxdy

 

S

 

 

 

 

 

 

 

£à -¨æë ªã¡

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.7.

RRx2

+ y2

+ z2

= a2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤¥ S {

 

 

 

 

 

 

áä¥àë

 

 

S

x2dydz + y2dzdx + z2dxdy,

 

-¥è-ïï áâ®à®-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

y

 

 

z x

 

z

 

x

y

 

 

 

 

 

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áâ®à®-

 

 

¯®¢(x¥àåy-+®áâ¨z)dydz + (y − z + x)dzdx + (z − x + y)dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1.

 

 

Ǒਬ8 ¥-ïï ä®à¬ã«ã ‘⮪á+ , ¢ëç¨á«¨âì+ + ¨-+â¥£à «ë+.

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

|

 

| −

 

|

|

 

 

 

 

 

 

 

y

 

,

 

 

=

 

 

os

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤¥ C { í««¨¯á x = a sin2 t, y =

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz,

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7sin.9. os

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t ≤ t ≤ π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

t

 

 

yt z

 

 

 

 

a

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

12

5

 

8π (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

t π).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yŽâ¢= ¥aâëos:R2t, z = a

 

 

 

(0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2z2dx + z2x2dy + x2y2dz, £¤¥ C { § ¬ª-ãâ ï ªà¨¢ ï x = a os t,

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.1 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.2

 

 

 

 

 

 

.3 3 π

 

[7.4 a + b + c)R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.5 3a

 

 

 

 

.6 5 πa

.7 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[7.8 0

 

 

 

[7.9 0

 

1

 

Š•‚€’•›•ˆ€…•’, Š•ˆ‚Ž‹ˆ•1.

…‰•›…, ǑŽ‚…•••Ž‘’•›… ˆ•’…ƒ•€‹›

 

‚믮«-¨¢ ¯®¤å®¤ïéãî § ¬¥-ã ¯¥à¥¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x2

®â A

 

 

0) ¤® B

 

1).

 

 

 

2«¨-¨ï¬¨ x®¡ê=¥2¬y,¯¨àx =¬¨¤ë4y, xy = 1, xy = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

2

S

2

 

 

 

 

ABCD, £¤¥ A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 1).

 

‚ëç¨á«¨âì

RS

 

 

 

 

 

 

 

B4 (1, 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

¯®¢¥àå-®á⨠áä¥àë

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx + dy + dz

£¤¥ S { ¤ã£

 

¯ à ¡®«ë y = x2

®â A( 1, 1) ¤®

1

 

 

 

 

¯®é•’¤ì2., ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨+

y

 

+

z

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚€•ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

(−1,20, 0), D(0, 0, 1).

3

 

‚ëç ᫨âì

 

 

 

 

 

 

 

ABCD, £¤¥ A(1, 0(0, 0),

 

B(0, 1,(10),

2

 

 

 

 

®¡ê¥¬ è

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

= 4.

 

 

 

 

 

y = x2

1 ¨ y

= 1 − x2.

3

 

 

©â¨ ¤

 

-㠤㣨

 

à+¡®«ë+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚ëç¨á«¨âì

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

‚믮«‚€z•ˆ-=¢€x

 

RRy

 

 

z ≤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ª®-ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dydz

+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®-

¯®¢¥àå-®áâ¨

 

 

 

 

 

 

 

•’§ +¬3¥.-ã, ¯¥à¥1.¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

x +

y2 =• 1,©â¨x +®¡êy =¥¬3,¯¨ày =¬¨¤ëx, y = 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(0, 1).

 

 

 

 

RS dx¯®¢¥àå-®á⨠¯ à ¡®«®¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y

 

= 1 ®â A(1, 0)

¤®

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

+ dy + dz, £¤¥ S { ¤ã£

 

®ªàã -®á⨠x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ëå,(0

= 2

 

 

 

+ 2

 

 

 

 

,

 

2.

 

 

 

 

¯®é•’¤ì4., ®£à - ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z ≤

 

 

 

‚€•ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2,

 

z

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

®¡ê¥¬ ¯ à ¡®«®¨¤

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

 

y = x ¨ y =

x

.

 

 

 

 

 

ç¨á«¨âì¤ ¤ã£¨ ¯ à ¡®«ë= 2

 

 

z ≤

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

• ©â¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

x

2

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

‚ëç¨á«

 

 

 

 

RRz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = y

 

®â A

 

 

0) ¤® B(4 2).

 

 

 

«¨1 -¨ï¬¨‚¯®«€x•ˆ-+¨¢€y

 

 

 

 

 

 

 

+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®-

¯®¢¥àå-®áâ¨

áä¥àë

 

 

 

 

 

 

S dydz

 

 

 

 

 

 

 

•’¯®¤å®¤ïéãî+ 5. = 4.

§ ¬¥-ã ¯¥à¥¬¥--

 

 

 

 

 

- ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî

2

• ©â¨®¡êy =¥¬x¯¨à,y

=¬¨¤ë2x, y = x, y = 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C(−1, 0, 0), D(−1, 0, 1)

3

 

‚ëç¨á«¨âì

 

 

 

 

 

 

 

 

ABCD, £¤¥ A(0, 0, 0), B(0, 1, 0),

 

1

 

 

 

 

¯

 

 

RS¤ì,6. ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨z2

= 4x

+ 4y2, z ≤ 4.

 

 

 

 

4. ‚€•ˆ©â €¯«®é•’ dx¤ì+dy¯®¢+¥dzàå,-£®á⨤¥ S ª®{¤ã£á ¯ à ¡®«ë x = y

 

 

 

®â A(1, 1) ¤® B(4, 2).

2

 

 

 

 

®¡ê¥¬ ª®¤ã-£¨á

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

,

 

 

 

1.

 

y = x2

 

¨ y = x.

 

 

 

 

 

 

©â¨

 

 

 

 

 

 

®ªàã=-®áâ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

¡®«®¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

x

 

y

 

2 z

≤2

= 4 ®â A(2, 0) ¤® B(−2, 0).

4.

 

 

 

 

 

 

 

z

RR x

 

 

y , z ≤

 

 

 

x

+ y

 

 

¯ à

 

 

 

 

 

 

 

S dydz

+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®-

¯®¢¥àå-®áâ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2

+

 

2

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯®«-¨¢ ¯®¤å®¤ïéãî § ¬¥-

 

 

 

 

2

 

 

 

--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî

2Ǭ1

 

 

2

 

 

2

2

S

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30, 0), C(0,−1, 0), D(0, 0,−1).

-¨ï¬¨ ®¡êx =¥2¬y¯¨à, x =¬¨¤ë4y , x y =ãî1,¯¥xà¥y¬=¥ 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

‚ëç¨á«¨âì

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABCD £

 

 

 

A(0, 0, 0), B(1,

 

 

 

‚€•ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

®â A(1, −1) ¤® B(1, 1).

4

 

 

 

 

 

 

 

S dx¯®¢+dy¥+àdzå-,®á⨣¤¥ Sáä{¥¤àëã£

ªà¨¢®©2 2

y =2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

¯®é•’¤ì8., ®£à -¨ç¥--

 

 

2

«¨-¨ï¬¨+

 

 

+

 

 

= 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

®¡ê¥¬ è

 

 

 

 

2

 

 

 

2

+ z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x2

4 ¨ y = 4 − x2.

3

 

• ©â¨ ¤

-㠤㣨 ªà¨¢®©x + y

 

= 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

‚믮«‚€x•ˆ-=¢€z

 

RRy

 

 

x ≤

 

 

 

 

y = x3

 

®â A(0, 0) ¤® B(1, 1).

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ª®-ã

 

 

 

 

 

 

 

 

dydz

+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®-

¯®¢¥àå-®áâ¨

 

 

 

 

 

 

•’§ +¬9¥.-ã, ¯¥à¥1.¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨

y2 =• 1,©â¨x −®¡êy =¥¬3,¯¨ày =¬¨¤ë−x, y = 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

‚ëç

 

2

 

 

2

S

 

 

 

2

 

 

 

ABCD £¤¥ A(1, 0, 0), B(0,−1, 0),2

C(12, 0, 0), D(0, 0,−1).

 

᫨âì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

B(2, 0).

 

 

RS dx¯®¢¥àå-®á⨠¯ à ¡®«®¨¤

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

+ y

 

= 4 ®â A(2, 0)

¤®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ dy + dz, £¤¥ S { ¤ã£

 

®ªàã -®á⨠x

 

 

1

 

 

 

 

¯®é•’¤ì10,.®£à - ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨

 

 

= 2

 

 

 

+ 2

 

 

 

y ≤

2.

 

 

 

‚€•ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 2

 

2

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2

 

 

 

 

®¡ê¥¬ ¯ à ¡®«®¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

,

y = x ¨ y =

x

.

 

 

 

 

 

 

ç¨á«¨âì¤ -㠤㣨 ¯ à ¡®«ë= 2

 

 

 

x ≤

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

• ©â¨

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

z

 

2

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

‚믮«

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

x = y

 

 

1 ®â A(0, 1) ¤® B(3, 2).

 

 

«¨1 -¨ï¬¨‚€•ˆx-3+€¢ yRR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áä¥àë 4

 

 

 

 

 

 

 

dydz + dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®-

¯®¢¥àå-®áâ¨

 

 

 

 

 

 

•’4¯®¤å®¤ïéãî11+ .4 = 1.§ ¬¥-ã ¯¥à¥¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî

2

• ©â¨®¡êy =¥¬x¯¨à,y

=¬¨¤ë2x, y = x, y = 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 0, 0), D(1, 0, −1).

3

 

‚ëç

᫨âì

RS

 

 

 

 

 

 

 

 

ABCD, £¤¥ A(0, 0, 0) B(0, −1, 0), C(12

B4 (1, 0).

 

 

 

 

 

 

¯®¢¥àå-®á⨠ª®-ãá

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx + dy + dz, £¤¥ S { ¤ã£

 

¯ à ¡®«ë x = y + 1 ®â A(2, 1) ¤®

1

 

 

 

 

¯®é•’¤ì12,.®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨= 4

 

 

+ 4

 

 

 

 

,

 

4.

 

 

 

 

 

 

‚€•ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

®¡ê¥¬ ª®¤ã-£¨á

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

y = x2

¨ y = 2x.

 

 

 

3

 

 

©â¨

 

 

 

 

 

®ªàã=-2®áâ¨+ 2

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚ëç¨á«¨âì¡®«®¨¤

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2z

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

x RR

 

 

z

 

 

2y , x ≤

 

 

 

+ y

 

 

= 9 ®â A(3, 0) ¤® B(0, 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ à

 

 

 

 

 

 

S dydz

+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®-

¯®¢¥àå-®áâ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

 

2

+

 

 

2

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С О Д Е Р Ж А Н И Е

 

§1. ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ…………………………………………………...

3

1.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………...

3

1.2. Пример вычисления повторного интеграла………………………………

5

1.3. Задания для самостоятельного решения………………………………….

5

§2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ……………………………………………………...

5

2.1. Вычисление двойных интегралов сведением их к повторным…………….

5

2.1.1. Необходимые теоретические сведения………………………………...

5

2.1.2. Алгоритм вычисления двойных интегралов с помощью повторных..

6

2.1.3. Примеры вычисления двойных интегралов с помощью повторных..

7

2.1.4. Задания для самостоятельного решения………………………………

11

2.2. Замена переменных в двойных интегралах…………………………………

13

2.2.1. Необходимые теоретические сведения………………………………...

13

2.2.2. Алгоритм вычисления двойных интегралов с помощью замены…….

13

2.2.3. Примеры вычисления двойных интегралов с помощью замены……..

14

2.2.4. Задания для самостоятельного решения………………………………

15

2.3. Приложение двойных интегралов к механике………………………………

16

2.3.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………

16

2.3.2. Задания для самостоятельного решения……………………………….

16

§3. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ………………………………………………………

17

3.1. Вычисление тройных интегралов сведением их к повторным……………..

17

3.1.1. Необходимые теоретические сведения………………………………...

17

3.1.2. Алгоритм вычисления тройных интегралов с помощью повторных...

18

3.1.3. Примеры вычисления тройных интегралов с помощью повторных…

18

3.1.4. Задания для самостоятельного решения………………………………

21

3.2. Замена переменных в тройных интегралах…………………………………

22

3.2.1. Необходимые теоретические сведения………………………………..

22

3.2.2. Алгоритм вычисления тройных интегралов с помощью замены……

23

3.2.3. Примеры вычисления тройных интегралов с помощью замены…….

23

3.2.4. Задания для самостоятельного решения………………………………

24

3.3. Приложение тройных интегралов к механике………………………………

24

3.3.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………

24

3.3.2. Задания для самостоятельного решения……………………………….

26

§4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА……………………...

27

4.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………..

27

4.2. Алгоритм вычисления криволинейных интегралов первого типа…….

28

4.3. Примеры вычисления криволинейных интегралов первого типа……...

28

4.4. Задания для самостоятельного решения…………………………………

29

4.5. Механические приложения криволинейных интегралов первого типа

30

4.6. Задания для самостоятельного решения…………………………………

30

§5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА……………………...

31

5.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………..

31

5.2. Алгоритм вычисления криволинейных интегралов второго типа……..

32

5.3. Примеры вычисления криволинейных интегралов второго типа………

33

5.4. Задания для самостоятельного решения…………………………………

35

§6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА………………………

36

6.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………..

36

6.2. Алгоритм вычисления поверхностных интегралов первого типа……...

37

6.3. Примеры вычисления поверхностных интегралов первого типа………

37

6.4. Задания для самостоятельного решения…………………………………

38

§7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА………………………

39

7.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………..

39

7.2. Алгоритм вычисления поверхностных интегралов второго типа……...

40

7.3. Примеры вычисления поверхностных интегралов второго типа………

41

7.4. Задания для самостоятельного решения…………………………………

43

Контрольная работа…………………………………………………………………..

45

Научное издание

ГУДОШНИКОВА ЕЛЕНА ВАЛЕРИЕВНА БРАТАШОВА МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Учебное пособие для студентов, изучающих математический анализ.

Часть 7

Интегрирование функций многих переменных

Подписано в печать 1.09.2011 Формат 60×48 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3. Тираж 100 экз. Заказ № 176-.T

Типография Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

410012 г. Саратов, ул. Большая Казачья, д. 112 а

Тел.: (8452) 27-33-85