пособие 6 по матану (2 курс)
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3 |
|
|
|
d2z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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3 |
||||||
|
|
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|
|
∂2z |
dx + 2 |
|
∂2z |
|
dxdy + |
∂2z |
dy, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
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∂x2 |
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∂x∂y |
|
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|
∂y2 |
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|||||||||||||||||||
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|
∂3z 3 |
|
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|
∂3z |
|
2 |
|
|
|
|
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|
|
∂3z |
|
2 |
|
∂3z |
|||||||||||||||||
⮬¤¨ä䢨¤¥¥àdâ¥-zª®¢:æ¨= |
« 3- |
£dx® ¯®à浪+ 3 |
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|
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âà¥ådxdy¯¥à¥¬+¥--ëådy¢ ,à §¢¥à-ã- |
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d3u = |
|
|
|
|
∂x3 |
|
|
|
|
|
|
∂x2∂y |
|
|
|
|
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|
∂x∂y2 |
dx2dy |
|
∂y3 |
|
||||||||||||||
|
∂3u |
dx3+ |
∂3u |
dy3 + + |
∂3u |
dz3 + 3 |
|
∂3u |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x3 |
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∂y |
|
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∂z3 |
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∂x2∂y |
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||||||||||
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|
|
∂ u |
dxdy2 |
|
|
|
∂3u |
|
dx2dz + 3 |
|
∂3u |
dxdz2 |
|||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
+ 3 |
∂x∂y2 |
|
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∂x∂z2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
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|
2 |
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|
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∂x2∂z |
|
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|
∂ u |
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|
|
|
|
∂3u |
|
|
|
2 |
|
|
|
∂3u |
|
||||||||||
Ǒਬ¥à 3. • ©â¨ ¤¨ä䥥à॥-dxæ¨dy« 2+-£3® ¯®à浪dydzäã+-ªæ¨¨3 |
dxdydz. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2∂z |
|
|
|
|
|
|
∂y∂z2 |
|
|
|
∂x∂y∂z |
||||||||||||||||||
•¥è¥-¨¥: ‚â®à®© |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
f (x; y) = exy . |
|||||||||||||||||||||||
ä®à¬ã«¥ |
|
|
2 |
|
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|
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|
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|
f ¬® ¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥- ¯® |
|||||||
|
|
|
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|
|
∂2f |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∂2f 2 |
|
|
|
∂2f |
|
|
|
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‚ëç¨á«¨¬ d¯¥fà¢ë(x;¥y,) =§ |
⥬(x¢â®àë; y)dx¥ +ç áâ-ëdy¥ ¯à®¨+ 2 §¢®¤-(ëx;¥y: )dxdy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
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|
|
∂y2 |
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
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|
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|
∂f |
= yexy , |
|
∂f |
= xexy ; |
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||||||||||||||||||
|
|
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|
∂x |
∂y |
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|
|||||||||||||||||||||
|
|
∂2f |
|
|
|
|
|
|
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|
∂2f |
|
|
2 |
xy |
|
|
|
|
∂2f |
|
|
xy |
|
xy ; |
||||||||||||
’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç2 xy¥¬: |
|
|
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|||||||||||||||||||||
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= y e , |
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|
= x |
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e , |
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|
= e |
+ xye |
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|||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
d2f (x; y) = y2exy dx2 |
+ x2exy dy2 + (exy + xyexy )dxdy. |
• ©â¨ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® ¯®à浪®¢ ®â á«¥¤ãîé¨å |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äã-ªæ¨©: |
|
|
|
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|
||||
(1) uŽâ¢=¥â:x4 + y4 − 4x2y2; |
|
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∂2u |
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|
|
∂2u |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
∂u |
= 4x3 − 8xy2, |
|
|
∂u |
= 4y3 − 8x2y, |
|
= 12x2 − 8y3, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
= −16xy, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u = |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
∂x2 |
∂x∂y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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; |
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||||
(2) |
|
∂2u |
= 12y2 − 8x3. |
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
∂y2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
u = xy + x ; |
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|
1 , ∂u |
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|
1 , ∂2u = 2x |
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|
Žâ¢¥â: |
|
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|
y |
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∂u |
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|
x , ∂2u = 0, ∂2u |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
; |
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= y + y |
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= x − |
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= 1 − |
|
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|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3) |
u = |
∂x |
∂y |
y2 |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
y2 |
∂y2 |
|
|
y3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
1 , ∂u |
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|
2 , ∂2u = 6x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Žâ¢¥â:y2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∂u |
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|
2x , ∂2u = 0, ∂2u |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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= |
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= − |
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|
= − |
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. |
|
, |
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(4) |
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|
∂xx y |
|
∂y |
y3 |
|
|
|
|
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|
∂x2 |
|
|
|
|
|
∂x∂y |
y3 |
|
∂y2 |
|
|
y4 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||
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p |
∂u = y |
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y2 |
|
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|
, ∂u |
|
|
|
|
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|
xy |
, ∂2u |
|
|
|
|
3xy |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Žâ¢¥â: x2 + |
|
2 |
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|
= − |
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|
= − |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
∂x |
|
|
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x + y23/ |
∂y |
x2 + y 3/2 |
|
∂x2 |
x2 + y25/2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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∂2u |
= |
|
y 2x2 − y2) |
, |
∂2u |
|
= |
|
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|
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|
x(x2 − 2y2) |
. |
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(5) |
|
∂x∂y |
|
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|
x2 + y25/2 |
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∂y2 |
|
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− x2 + y25/2 |
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uŽâ¢=¥â:x sin(x + y); |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
∂u |
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|
∂u |
|
|
|
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|
∂2u |
|
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|||||||||||||||||
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= sin(x + y) + x os(x + y), |
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= x os(x + y), |
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= 2 os(x + y) − |
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2 sin x2 + 4x2 os x2 |
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2x sin x2 |
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2 os x2 |
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d2u = − |
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dxdy + |
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x se 2 x2 |
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d2u = µ |
2 se 2 x2 + 8x3 sin x2 se 3 x2 |
¶ dx2 −+ 2 |
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x2 |
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(9) |
|
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du = yxy−1dx +xy ln xdy, d2u = y(y |
|
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xy ln2 xdy2(x > 0). |
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dxdy + 2(x − y2) dy2. |
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ux3 + y3 + 3xy(y − x);
3d u 6(dx3 + dy3 + 3dxdy(dy − dx)).
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