Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

пособие 7 по матану (2 курс)

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
09.06.2015
Размер:
788.5 Кб
Скачать

5.1. •§.5¥®¡Š•ˆ‚Ž‹ˆ•â®çªã夨¬ë¥ â¥®à…‰•›…¥â¨ç¥áª¨ˆ•’¥ ᢅ¥¤ƒ¥•-€¨ï.‹› ‚’Ž•ŽƒŽ ’ˆǑ€

楫¨ªŽ¯à®¬¥«¤¥¥«¥-騥ïªà¨¢®«¨®¡« áâ¨-¥©-®¯à®£®¥¤¥-«â¥¥-£¨ïà ¤«¨¢¥ªâ®à®£®© ⨯äã-.ªæ¨¨Ǒãáâì S { ªà¨¢ ï,

• §®¡ì ¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = (P, Q, R).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−−−−→

¯à®¥ªæ¨¨ S

-

ç áâ¨

, ®¡®§- 稬

µTi

{

 

 

 

-ã --®© ç áâ¨,

µxTi

,

µy Ti

,

µz Ti {

á⨠-

®á¨Ti

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

®¬ "+", ¥á«¨ ¥¥

 

¯à OX¢«¥,-OYᮢ¯OZ ᮮ⢥-âáâ¢¯à ¥¢«¥-(¯à®¨¥¬ ¥®á¨ªæ¨ïᮡ¥à§¥-âá类¬á®"§- -

¢ë¡¥á«¨¥à¥¥¥¬- ¯à ¢«¥-¨¥ ¯à®â¨¢®¯®«® -

- ¯à ¢«¥-¨î ®á¨).

 

ª ¤®© ç áâ¨",

 

 

 

Mi. ‘®áâ ¢¨¬ á㬬ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…᫨Sã1 =á㬬ëP (Mi) µxTi,

S2 =

 

Q(Mi) µy Ti,

 

S3 =

 

i

R(Mi) µz Ti.

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

-â®à§ë¢© -¥âá§ï

¢¨á¨âªà¨¢®«1 +-¨-2®â¥+©-ᯮᮡë¬3 ¯à¨-⥣§¡¨à( «®¬¥-)¨ï,¢â®à®-0¨áãé®â£®¥¢ë¡®à⨯áâ¢ã¥®ââ ⪢ç-¥ªâ®àª,ç-â®ë©-®©íâ®â¯àäã¯à¥¤¥-«,ªæ¨¨®¥¤¥«-

 

S

S

 

S

max µTi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

¬ (P, Q, R)

ª ¨¢®© S

®¡®§- ç

âáï

 

 

 

 

 

 

 

f

ª®®à¤¨-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZS

 

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.

 

 

 

 

 

 

¨¬¥--Šà¨¢®«¨®:-¥©-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯

§ ¢¨á¨â ®â - ¯à ¢«¥-¨ï ªà¨¢®©,

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABZ

P dx + Qdy + Rdz = BAZ

P dx + Qdy + Rdz.

 

 

 

 

 

 

…᫨ ªà¨¢ ï S § ¤ -

¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨ x = x(t), y = y(t

z = z(t) (t1

t®â१ªãt2), ¯®â® ä®à¬ãªà¨¢®«¨¥:-¥©-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯

᢮¤¨âáï ª ¨-â¥£à «ã ¯®

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

(

(

 

 

 

 

 

(ç áâ® ¢áâà¥ç îé¨P dx¥+áïQdyªà¨¢ë+ Rdz¥æ¨àã¨å= ¯ (àP x¬¥tâਧ) + Qyæ¨ït)á¬+.Rzáâà.t))25)dt.

 

 

 

 

 

ZS

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¡«áâì”®à¬ã«

ƒà¨- . …᫨ S { § ¬ª ãâ ï ¯«®áª

ªà¨¢ ï, ®£à -¨ç¨¢ îé ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-¥® ¢§

í⮩¯¨á â쮡«ç¥áâ¨à¥§ä㤢®©-ªæ¨¨,-)®©

¨â®-âªà¨¢®«¨¥£à ¯®-

ä®à¬ã«-¥©-ë© ¥¨D-⨥£P,à «Q¢â®à®¤¨ä䣥®à⨯¥- ¬®¥¬ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

+ P dx + Qdy =

µ

∂Q

 

∂P

 

dxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

Z Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S+ ®§- ç ¥â, çâ® ªà¨¢ ï ¯à®å®¤¨âáï â ª, çâ® ®¡« áâì ®áâ ¥âáï á«¥¢ ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂P

 

∂Q

 

∂Q

 

 

 

∂R

 

∂R ∂P

 

 

¯®¤ë-â¥£à «ì-®¥ ¢ëà ©¤-¥¨¥ ï¥âáï ¯®«-ë¬∂y ¤¨ää∂x ,¥à∂z¥-æ¨ ∂y«®¬,

∂xäã-ªæ¨¨∂z

u,

ª â®à ï ¬® ¥â ¡ëâì -

 

 

 

-

¨§ ãá«®¢¨© ∂u = P,

 

∂u

= Q,

 

 

∂u

= R. ’®£¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABZ

P dx + Qdy + Rdz = u(B) − u(A).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

”¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« ªà¨¢®«¨-¥©-®£® ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯ . …᫨

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

dS =

{dx,dy,dzᨫ , ¯à) «®¯¥à¥--¬¥éï¥-ª¨¥â®çªâ®çª¨,¥, ⮣¤

 

 

P dx + Qdy + Rdz =

~ ~

 

 

 

 

 

~

 

 

f dS. … «¨ f

−−−−−−−→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

६¥é¥-¨¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ í⮩ ᨫë,

⮣¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS { ¯¥R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¨¨ -

 

~

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

¯¥à¥€¬«¥fé£dS®à¨â¬¥-{î â®çª¨¡®âᨫ뢤®«ì¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥

 

dS,

 

 

 

f dS { à ¡®â

ᨫë f ¯®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¨á«ï¯®ƒ. ਥªà¨¢®«¨-®âà¨ï- ¥(§ªã;¥-᫨â¥-£à¥ªà¨¢©«-ëå: ï ¨§-¬ªâ¥-£ãâà «®¢ï, ¢â®à®£® ⨯ .

1)5.2..¡Ž¯àᢥ¥¤¤¥¥«¨âì-¨¥ ª¢ëç¨á«¬¥-⮤⥣¢ëçà¥-äãS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

¤¨ää

 

¨¥ ä®à¬ã«ë¥¬ë¥

¤«ï-ªæ¨¨);¯®«-®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨ «

 

 

(¥á«¨

¨

Q

{

 

 

 

¢

 

¯à¨¬¥- -æ¨àã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Q = ∂R , ∂R = ∂P ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂P = ∂Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y

 

 

∂x

 

 

 

2). a)Ǒਬ∂z‘¢¥¥¤-¥∂y-¨ªà¨¢ãî¢ë¡à¥ ∂x -â¥∂z--£à멫㬯®¥â®¤®âà¢ëç¨á«¥§ªã: ¥-¨ï.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‡¢ëç¨á«¨âìä®à¬ã¯ ¬¥â ¨ç¥áª¨: x = x(t),

y = y(t),

 

z = z(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ਠ®¢ -¨ï ¯®

 

 

(

1

≤ t ≤t2 t

2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• ©â¨ ¯à¥¤¥«ë ¨-⥣ y

 

 

 

t

t

 

 

 

(

)+

 

(

 

)+

 

(

))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«ë¯®ƒà¨®âà- ¥:+§ªã. +

Rdz

=

Rt1

(

P x

 

t

 

dt

¡)¨Ǒਬ¥- -¨¥ -⥣à«ã RS

P dx

Qdy

 

 

 

 

 

t

 

 

Qy

 

 

Rz

t

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚ëç¨á«

∂P∂y ,

∂Q∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ǒਬ¥-

 

 

 

«ã

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Q

 

 

∂P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-¤â¥ï£àá«ãç+. ï ¯®«=-®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨ « :

 

 

 

 

 

 

 

 

¢)¨ ¢ëç¨á«¨âì-¥-¨¥ ¤¢ ©-®©«ë¨S+ P dx

Qdy

 

 

D

µ

∂x

∂y

dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• ©â¨

äã-ªæ¨î

u

 

¨§ ãá«®¢¨©

∂u

=

P,

∂u =

Q,

 

∂u

 

=

R

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

∂x

 

 

∂y

 

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

«ã

RAB P dx

+ Qdy + Rdz = u(B) − u(A).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

{ ¥ ¤¨ää¥-

 

 

 

 

 

 

 

ABCDA { § ¬ª ãâ ï ªà¨¢ ï, -® P = Q =

 

 

 

 

 

Ǒਬ¥à 5.1. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥. 1).

 

A(1, 0), B(0, 1), C(

 

 

 

 

 

dx

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1, 0), D(0, 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

àè¨- ¬¨ ¢ â®çª å

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABCDA |x|+|y|, £¤¥ ABCDA { ª¢ ¤à â á

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ç¨á«ïâìæ¨àã. • ¥§®¡ê¬ íâ®âï ¥ä㬠íâ®â¨--ªæ¨ï,⥣à-â«¥.£á¢.६뫤¥--¨¥4:¬¬®¥£®¥¬ ¯à¨¬-⥣¥à-¨âì«ã ¯®ä®à¬ã«ã®â१ªã+ .ƒà¨- . •ã¤¥¬

¢ëà¥-2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|x| |y|

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ǒ®¤áç¨âǑàï¬ ï¥¬ â®çª¨¤ë© ¨§ -¨å =⤥«ì-+®.

 

 

 

 

+

CDZ

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ABCDAZ ...

 

 

ABZ

...

 

BCZ ...

 

 

 

...

 

DAZ ....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“à -âá-¨¥ AB «¥ ¨â ¢ ¯¥à¢®© ç¥ ¢¥àâ¨, £ ¥ x ≥ 0, y ≥ 0, â.¥. P = Q =

 

x+y

´-

ï ®âAB : y = 1 − x. ‚믮«-¨¬ ¯ à ¬¥âਧ æ¨î: x = t,

y = 1 − t, t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ¤® â®çª¨ B, â. . ®â 1 ¤® 0. Ǒ®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

dx + dy

= 0

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dt

0

1

(1

 

 

dt

 

 

.

 

 

 

ABZ

x + y

¢x + y

 

 

Z

t − t + 1 t − t + 1

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

€- «®£¨ç-ë¥

ëç¨á«¥-¨ï

¤«ï

1

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

1)

 

 

 

=

 

 

 

 

1)

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BC: P = Q

 

 

 

x+y

; ãà ¢-¥-¨¥ ¯àאַ© BC:

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

y = t + 1, t = 0, −1.

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

y = x + 1; ¯ à ¬¥âਧ æ¨ï: x = t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

dx + dy

 

= 01

 

 

 

1

 

 

+

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt =Z1

 

 

 

 

dt

 

2t¯t=

 

 

1=−2.

x + y

x + y

t + t + 1

t + t + 1

 

 

 

 

 

BC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+1) =

 

 

 

¯

 

 

 

„«ï ¯àאַ©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ à ¬¥âਧ æ¨ï:CD: P = Q =

 

 

; ãà ¢-¥-¨¥ ¯àאַ© CD :

 

y = −x − 1;

xy

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = t, y = −t + 1, t = 1, 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

−x − y −x − y

=

Z1

 

−t + t + 1 + −t + t + 1(1)dt

 

 

Z1 (1 1)dt .

 

dx

+

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„«ï ¯àאַ©

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

= 0

 

CD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ à ¬¥âਧ æ¨ï:DA :

P

 

 

 

 

Q =

 

 

; ãà ¢-¥-¨¥ ¯àאַ© DA :

y = x − 1;

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

x = t, y =1t − 1, t =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

0, 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

xdxy

 

xdy y

 

 

 

Z

 

 

t t + 1 + t t + 1dt = Z

dt = 2t¯t=0= 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

2

2

 

 

 

y

 

 

 

 

|x| + |y|

0

2 +

 

 

 

2 = .

 

 

 

 

 

 

Ǒਬ¥à 5.2.

 

ABCDAZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

dy

 

 

 

 

0 +

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚ëç¨á«¨âì

¨-⥣à

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 •+¥yè¥=-¨a¥. . 1). ’ ª ª ª

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S xy2dy − x2ydxï, £¤¥ S - ®ªàã -®áâì

¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨,S { §â®¬ª¬ë-ãâ¬®ï ¯«®áª¥¬ ¯à¨¬ï ªà¥-¨âì¢ ä®à¬ã¨ äã«ã-ªæ¨¨ƒà¨-P Q {

 

 

2). ‡¤¥áì

 

y

 

2

 

 

2

 

2

 

 

µ ∂x ∂y dxdy.

2

 

 

 

 

 

+ P dx + Qdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Z

 

 

 

∂Q

 

 

∂P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Q

 

 

2

 

∂P

 

 

ªà¨¢®«¨-¥©-Pë©=¨-x⥣yà, Q« =ç¥xy१.¤¢®©’ª¨¬-®©:®¡à §®¬ ∂x

= y

 

,

∂y = −x

. ‡ ¯¨è¥¬

 

 

 

 

 

 

y

xy2dy − x2ydx = ZDZ (y2 + x2)dxdy,

 

 

 

£¤¥

 

 

ZS

 

 

 

 

 

‚믮«D - ªàã-¨¬á¯®«ï࣠£à -¨æ-ã §x ¬+¥-yã: = a .

= R∂Q

= 1.

 

 

‡-

 

 

 

, ¯®¤ë-â¥£à «ì- ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂P

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = r os ϕ, y = r sin ϕ, £¤¥ 0 ≤ r

≤ a, 0 ϕ

 

π ¨ I = r. ’®£¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

2

0a

 

02π

 

 

2

 

 

0a

 

3

 

 

2π

 

 

 

 

0a

2

 

3

 

r44 a = πa2

Z ZǑਬ(y + ¥xà)dxdy5.3

Z

dr Z

 

 

r

 

· rdϕ

Z«r

ϕ¯ϕ=0dr =Z

 

πr

 

dr = 2π

 

r=0

.

D

 

 

=‚ëç¨á«¨âì

-⥣=à

 

 

(2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

,¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¥è¥-¨¥. 1).

Žç¥¢¨¤-®, çâ®

 

 

 

 

 

 

 

xdy + ydx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1,2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à¥-æ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®à¬ã-ªæ¨ï ï¥âáï ¯®«-ë¬ ¤¨ää¥∂y

 

 

 

 

Ǩ¶x

äã-ªæ¨¨ ç¨â

 

 

 

ä «ã:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

¬® ¥¬ ¯à¨¬¥-¨âì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B) − u(A).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

äã-

 

ZS

 

 

P dx

 

Qdy

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2). ‚ëç¨á«¨¬

 

 

ªæ¨î

 

 

 

+

 

 

=

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ¨§ ãá«®¢¨© ∂u∂x = P , ∂u∂y

= Q, â.¥. ∂u∂x = y u =

R ydxǑ®«ãçu¥=¬:xy (¨«¨ ∂u∂y =(2x u = R ydx u = xy).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1 2)

xdy + ydx = xy¯(2,1,2)

= 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚ëç¨á«¨âì ªà¨¢®«¨-¥©-ë¥ ¨-â¥£à «ë ¢â®à®£® ⨯

ç¥à¥§ ¨-â¥£à «ë ¯® ®â-

१ªã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y

= 1.

 

 

 

1

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

S

 

x + y)dx

(x − y)dy, £¤¥ S { í««¨¯á a2

 

b2

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0

 

R

(2a −y)dx+xdy,

S { àª

横«®¨¤ë x = a(t −sin t), y = a(1− os t)

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, £¤¥ S - ®ªàã -®áâì x2 + y2 = a2.

 

 

 

3t

 

R

2π).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

(x+y)dx(xy)dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

x2+y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¨

 

Ry

dx sin y + dy sin x, £¤¥ AB { ®â१®ª ¯àאַ© ¬¥ ¤ã â®çª ¬¨ A(0, π)

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5(.5. 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B π,

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®â१®ª ¯àאַ©ar tg xy dy − dx, £¤¥ OM A { ç áâì ¯ à ¡®«ë y = x2

ON A {

 

 

OM AN O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïï ä®à¬ã«ã= . ƒà¨- , ¢ëç¨á«¨âì

ªà¨¢®«¨-¥©-ë¥ ¨-â¥£à «ë.

 

Ǒਬ6 ¥-R

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1.

 

 

 

 

 

S (x + y)dx − (x − y)dy, £¤¥ S { í««¨¯á

x

 

+ y

 

 

 

7

 

a2

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

S ex[(1os y)dx−(y−sin y)dy , £¤¥ S { ª®-âãà, ®£à -¨ç¨¢ î騩 ®¡« áâì

5.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< x <Rπ, 0 < y <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ëç¨á«¨âìè¨áì,)(®osªà¨¢®«¨¯®¤ë2-â¥-£+३sin-«ìë2-¥®¨¥-¢ëàâ),¥£à£¤¥«ë¥-.¨{¥

®ªàãï¥âáï-®áâ쯮«x-ë¬+ y¤¨ää= R¥à.¥--

æ¨5“¡«®¬,¥¤¨ e

 

 

 

xydx

 

xydy

 

S

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

(0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.9.

 

 

Z1)

xdx + ydy.

 

 

 

5.10. Z1)

(x + y)dx + (x − y)dy.

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢.¥11âë:.

1)

(x − y)(dx − dy).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

[5.1 0

 

 

 

π

 

 

 

.2 2πa

 

[5.3

− 2π

.4 0

.5 4 − 1

 

[5.6

− 2πab

.7 5 (e

1) [5.8 0

 

[5.9 12

 

[5.10 4 [5.11 2

 

 

 

6.1. •§6.¥®¡å®¤¨¬ëǑŽ‚…•••Ž‘’•›¥ ⥮à¥â¨ç¥…᪨ˆ•’¥ ᢅ¥ƒ¤¥•-€‹›. Ǒ…•‚ŽƒŽ ’ˆǑ€

-®áâì, Ž¯à楥«¨ª®¬¤¥«¥-¨«¥¥¯®¢é¥àåï-®á⮡«-®£á⨮ -®¯à⥣¥à¤¥«¥ ¯¨ï¥а¢®бª£®«пав¨¯-®©. Ǒгбвмдг-ªж¨¨S { ¯®¢¥àå

¡ì¥¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f . • §®-

¢ë¡¥àS

-

 

áâ¨

Ti

,

 

 

 

¡®§- 稬 ¯«®é ¤ì

-®© ç áâ¨

µTi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

¨ - ª ¤®© ç áâ¨

 

¥¬ â®çªã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mi. ‘ áâ ¢¨¬ á㬬ã

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…᫨ ã í⮩ áã¬¬ë ¯à¨

 

 

 

 

 

S =

 

 

f (Mi) µTi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®£®¢ë¡®à⨯¥áâ¢ã¥¨â-â®çâ¥-£¥à¥ª,ç«®¬-â®ë©íâ®â¯à¥äã¯à¤¥-«,¥ªæ¨¨®â®à멤¥« - §ë-

¯®¢- ¥§âáï¥à¢¨á¨â¯®¢¥-àå¨-®â®áâá¯-ë¬á®¡¨-max⥣§¡¨à(µT«®¬¥-i)¨ï,¯¥-0¨áãéà¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

å-®áâ¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ¯®

 

 

 

S ¨ ®¡®§- ç

 

âáï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZSZ

f (x, y, z)dS.

 

 

 

 

 

 

 

 

…᫨ ¯®¢¥àå-®áâì § ¤ -

¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨: x = x(u, v), y = y(u, v), z =

z-(®¬ãu, v),¨-(âu,¥£và) «ãD¯®,â®ä®à¬ã«¯®¢¥àå¥:-®áâ-ë©

-â¥£à « ¯¥à¢®£® ⨯ ᢮¤¨âáï ª ¤¢®©-

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Z

f (x, y, z)dS = Z Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥

 

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

 

EG − F 2dudv,

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

µ ∂u

2

 

µ ∂u

µ ∂u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

∂y

 

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G = µ ∂v

 

 

µ ∂v

µ ∂v

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

2 +

 

∂y

2 +

 

∂z

 

2

 

 

 

‘ä—¥àáâ® ¢áâà¥ç î騥áï=

 

∂x

∂x

 

∂y

∂y + ∂z

 

∂z

 

 

 

¯®¢

¥àå-®á⨠¨ ¨å ¯ à ¬¥â¨à¨§ æ¨ï.

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

F

 

 

∂u

· ∂v

 

∂u ·

∂v

∂u

·

∂v .

 

 

u

 

+ z2 = a2: x = a os u os v, y

= a sin u os v, z = a v

, π

v −π , π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•««¨¯á®¨¤

£

 

 

 

 

 

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

+

z

 

 

= 1: x = a os u os v, y = b sin u os v, z = c sin v,

 

 

 

 

 

a

2

 

 

b

2

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u [0, 2π , v £

2

π

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(¢¥àå ïï aç xáâì ª®b y-ãá )z¨«¨x

u

v y

u

v z u u , ∞ v , π

a

b

¥á«¨Ǒ -à¥â¡®«®¨¤¤®¯®«-¨â¥«ì-ëå ®£àu -¨ç(¥-¨©,.0 , v [0, 2π (-¨ -ïï ç áâì ª®-ãá

 

 

 

 

 

 

a2x2

+ b2y2

 

= z: x = ua os v, y = ub sin v, z = u2, u

, ∞),

v –[0¨«¨,€2π«-£,®à¨â¬¥á«¨2 -¥2â ¤®¯®«2

-¨â¥«ì-ëå ®£à -¨ç¥-¨©.

 

 

 

 

 

¯6.2.1). ‚ëç¨á«¨â쇤¤ ¯®«x +¯®¢y ¢ëç¨á«¥àå= -a®áâì: x¥=-¯ä®à¬ã¨ïa os¯®¢¥vâà¨ç, y¥àå=¥-᪨:a®áâsin v-,ëåz u-, âu¥£à(«®¢∞, ∞¯),¥à¢®v £[0®, 2â¨π -

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x(u, v), y = y(u,v), z = z(u,v)

u12. u ≤ u2, v1 ≤ v ≤ v2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E, G, F ¯®

 

 

 

 

 

« ¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

µ ∂u

2

µ ∂u

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ ∂u 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

∂y

 

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G = µ ∂v

¶ µ ∂v

¶ µ ∂v ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

∂y

 

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯®¢¥àåF-®áâ=

 

∂x

·

 

∂x + ∂y

∂y + ∂z

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

∂v

∂u ·

∂v

∂u ·

∂v .

 

3). ‡ ¯¨á âì

 

 

 

 

-ë©

¨-â¥£à « ç¥à¥§ ¤¢®©-®© ¯® ä®à¬ã«¥

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Z

 

Z Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6¨.

 

f x, y, z dS

f

 

 

x u, v , y u, v , z u, v

 

EG − F dudv

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

¢ëç¨á«¨âì3Ǒਬ. ¥àë6¥(.1£®.¢ëç¨á«. ‚ëç¨á«¨âì) =¯à®¥- ¥ªæ¨ï¯®¢-(â¥(¥£ààå«)-®áâ( -ëå) (¨-â))¥£à « ¢ ¯¥2ࢠ£® ⨯ .

æ¥-â஬ ¢

 

 

 

 

 

 

O(0,

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 0), ®áRR

z2dS, £¤¥ S { ¡®ª®¢ ï ®¢¥àå-®áâì

ª® ãá

á ¥àè¨-®©

â®çª¯®¢¥à

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

â®çª¥

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

-®¢ -¨¥¬ { ®ªàã -®áâìî à ¤¨ã¯«®áª1 ¨

 

 

 

 

O(0, 0, 1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2 = z2 u2 os2 v+u2 sin2 v =u2

áâ¨

 

 

 

 

 

ᯮ«® ¥-- ï ¢ ¯«®áª¯«®áªâ , ¯ à ««¥«ì-®©

-

Oxy¥è¥-.¨¥. 1). ‡ ¤ ¤ ¬

 

 

 

 

 

å-®áâì ¯ à ¬¥âà¨ç¥ ª¨. Ǒã

 

â®çª ¯®¢¥àå-®áâ¨,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A { -¥ª®â®à ï

à ááâ®ï

 

 

®â â®çª¨B {

 

 

 

 

 

 

 

 

íâ © â®çª¨ -

 

®áâì Oxy. Ž¡®§- 稬 u

- ¯à ¢«¥-¨¥¬ ®á¨

B ¤®«ã箬-

«

 

ª®®à¤¨-

, v { 㣮« ¬¥ ¤ã ¯®«® ¨â¥«ì-ë¬

á âì ¢ ¢¨¤¥:

 

Ox ¨

 

 

 

 

 

OB. ’®£

 

®®à“¡¥-¤¨¬áâë â® ª¨ A ¬® -

§ ¯¨

§¯ æ¨ï¬¥âà¨ç¤®¢«¥¥xáªãî⢮àï= u ä®à¬ãosãà¥â v, y¢-§=¥-¯u¨sinîᨪv,¯®¢-zãá=¥àå:u-®áâ¨(0.u1, 0 ï,v ≤ π ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

çâ®2 íâ) â.¯. ௮«ã稬¥âà -

u

 

≡ u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E, G, F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= os2 v

 

 

 

 

sin2 v + 1 = 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E = (

∂x )2 + ( ∂y )2 + ( ∂z )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

 

 

∂u

 

 

2

∂u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x )2 + (∂y )2 + (∂z

=

(−u sin v)

+ (u os v)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G = ( ∂v

 

 

 

 

 

∂v

 

 

 

∂v )

 

 

 

 

 

 

+ 0 = u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

∂x

∂x

+ ∂y ∂y

+ ∂z

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¨è¥¬ ¯®¢¥àå-®áâ-ë© ¨-⥣àos« ç(¥à¥sin§ ¤¢®©) +-®©sin ¨(-⥣osà «) +¨ 0¢ëç¨á«¨¬= 0

¥£®:3)F. ‡

 

∂u ·

∂v

 

 

 

∂u · ∂v

 

∂u ·

 

∂v

 

 

 

 

 

 

 

 

v

−u

 

 

 

v

 

 

 

 

 

v u

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

1

 

 

 

 

.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02π

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02π

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

u22u2du!dv = 2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Z

z2dS =

Ã

Z

Z

Ã

 

= u3du!dv = 2

 

0 u4

¯

u 0dv =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0 π 41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π¯

 

 

 

 

2

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-®¨ï⨯.

. =

 

 

 

 

 

 

 

 

v¯v=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

6.4‚ëç¨á«¨âì. 1‡ ¤ -¨ï¯®¢¤«ï¥àåá-¬®áâ®-ë¥ï⨠¥â«ì¥£-஫룮 ௥ࢮ襣

 

 

 

Z

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = v (0 ≤ u ≤

1

 

 

 

 

S

 

 

zdS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x = u os v, y = u sin v,

 

,

0 2

vRR π).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zdS, £

 

 

 

S {

 

 

 

å-

 

 

 

 

 

x = os u os v,

 

y = os u sin v,

 

z = sin u

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3u

 

 

 

2

, 0

 

v

 

 

 

2π).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

+ y2)dS, £¤¥ S { áä¥à à ¤¨ãá

 

 

2 ¨ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ (0, 0, 0).

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x2

+ y2 = z2 (0 ≤ z ≤ 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Sy p

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

RR

 

|xyz|dS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x

2

+ y

2

= z (0 ≤ z ≤ 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

RR

 

zdS, £¤¥ S { ¯®¢ å-®áâì x

+ y

= 2z (0 ≤ z ≤ 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.8.

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

≥ 0).

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

(x + y + z)dS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x

 

+ y

 

+ z

 

= a

 

 

 

 

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RR

 

 

(1+dS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Žâ¢¥âë:

 

 

 

 

 

 

 

, £¤¥ S { £à -¨æ

 

 

â¥âà í¤à

 

 

x+y+z ≤ 1 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+y)2

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ ln(1 +

 

2))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 π4 (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1283π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(6

153+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3 + (

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125420

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ln 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

πa

 

 

 

 

[6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.1. •§7.¥®¡å®¤¨¬ëǑŽ‚…•••Ž‘’•›¥ ⥮à¥â¨ç¥…᪨ˆ•’¥ ᢅ¥ƒ¤¥•-€¨ï.‹› ‚’Ž•ŽƒŽ ’ˆǑ€

-¤¢ãáâ®à®äã Ž¯àªæ¨¨¥--¤¥ïï«¥-¯®¢¨¥ ¥¯®¢àå-¥®áâì,àå-®áâæ-¥«¨ª®¬®£® -â«¥¥£à «é ¢â®à®ï ®¡«£® ⨯ ®¯à. Ǒãáâ쥤¥«¥S-¨ï{¯«®é£¢¥ªâ®à¤ª ï-

 

 

 

 

f

−−−−→

 

 

 

S

- ç áâ¨

Ti

, ®¡®§- 稬

µTi

{

¤ì

 

 

 

áâ¨,

~ = (P, Q, R). • §®¡®áìî,¬

 

 

 

 

 

®©

 

 

,

",

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â®çªã-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¨¥

 

 

 

--㮩£®«,-ë-®à¬¥¨¯«®áª®áâ¨á®«¨§- ®¡à®¬ "§ã(¯à®¥ªæ¨ï ¡¥¯à{¥¥à¯âáï¯à®¥-¥á®¤¨ªã«ï৪樨- ª®¬ç-á⨮©"+",¯«®áª®áâ¨- ¥á«¨â¢-¥âáâ¢ãîé¯à®¢«¥ªæ¨¨,¥-

®áâàë©¢ë¡à®®à¤¨

µOXY Ti µOY Z Ti

µOXZ Ti

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mi. ‘®áâ ¢¨¬ áã

¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥). •

ª ¤®© ç á⨠¢ë¡¥à¥¬

 

 

 

‘

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S…1᫨= ã á㬬ëP (Mi) µOY Z Ti,

S2 =

Q(Mi) µOXZ Ti,

S3 =

 

R(Mi) µOXY Ti.

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

-â®à§ë¢© -¥âá§ï

 

 

 

 

 

 

 

¢â®à®ï, -0¨áã飮 ⨯¢ë¡®à¥áâ¢ã®â¥â¢¥ªâ®àç- ª,ç--â®ë©íâ®â¯àäã¥-¤ªæ¨¨¯à¥«,¥¤ª®¥«-

 

 

 

 

¢¨á¨â¯®¢S¥1àå+--S¨®áâ2®â+-Sᯮᮡë¬3 ¯à¨-âmax¥£à§¡¨(«µT¥¬-i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á ª®®à¤¨- â ¬¨ (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

P, Q, R) ¯®¢¥ å-®á⨠S ¨ ®¡®§- ç

âáï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZSZ

P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z),dxdy.

 

 

 

 

…᫨ S § ¤ -

 

 

 

 

 

 

 

¯®¢¥à

 

 

 

z = z(u, v), (u, v)

 

¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨: x = x(u, v), y = y(u, v

D¯®, ä®à¬ã«â® ¯®¢¥¥àå-®áâ-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯

᢮¤¨âáï ª ¤¢®©-®¬ã ¨-â¥£à «ã

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

Q

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Z

 

 

 

 

 

 

 

Z Z

¯ ∂x

∂y

∂z ¯

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

Qdzdx

 

Rdxdy

 

D

¯

∂x

∂y

∂z

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂v

∂v

∂v

 

 

 

 

 

 

 

 

P dydz

 

 

 

¬¥∂u

∂u

∂u

¯ dudv.

34)

 

(ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï+¯®¢¥àå

 

®+⨤¨âá¨å=¯

 

¯

âਧ æ¨ï á¬. áâà.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

⨯-®áâ• -…¯®ë©á«¨ä®à¬ã«¨-¯®¢

S

«ìîïª n = (å-os®áâα,-®¬ãosβ,¨-osâ¥γ£à), «ãâ®

 

 

⥣¥àà奫-®áâì¢â®à®£®§â¨¯¤- ᢮- à¬

 

¯¥®¢à¢®¥à壮-

y

 

 

y

 

ZSZ

P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ZSZ (P os α + Q os β + R os γ)dS.

®£à-¨ç¨¢ îé ï ®¡ê¥¬

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ä¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ -

- V¥áâ¢, P¥= P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) { ¤¨ä-

⨯ ᢮¤¨âáï ª âன-®¬ã ¨-âV¥£àäã«ã-ªæ¨¨,¯® ä®à¬ã«â® ¯®¢¥¥àå-®áâ-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£®

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂P + ∂Q + ∂R

 

 

ZSZ

P dydz

+ Qdzdx + Rdxdy = ZVZ Z µ

 

 

 

 

 

 

dxdydz.

 

∂x

∂y

∂z

ç ¢”®а¬гойªа¨¢®«¨п¯¢‘в®ªб¥аебвм.…б«¨ C { § ¬ª-ãâ ï ¯à®áâà -á⢥--

ï ªà¨¢

ï, ®£à ¨

-æ멨¨,

 

 

£ë©â¨¯® -, ⥯®£àä®à¬ã«« ¢â®à®{ -¥£¥®¯à⨯¥à뢢ëà- ¤¨ää¥âáï¥à¥ç-¥æ¨àã१ ¥¯®¢¬ë¥¥àåäã-®áâ-ª-

 

¨â®-⥣à

¢â®à®-¥©- S

P, Q, R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

∂x ∂y dxdy

µ ∂y

∂z dydz

µ ∂z

∂x dzdx.

㤮¡à¨ç1)7..2¡)¢P.Ž¯à¥dxá¢-᪨);€¯à¨¬®«¥§¥Qdy¤£¤®à¥-¥¥-¨«-¨â쨥 Rdz

µ

CZ

 

 

ZSZ

∂Q

∂P

∂R

∂Q

 

∂P

∂R

 

+

+¨¥âì-ª¬¨-ª¤¢®©®à¬¬¥¢ëç¨á«¯®¢=ä®à¬ã¥â®¤-¥«ìî);®¬ã¢ëç¨á«àå-«ë®áâ¥-¨ïâ-Ž¥®¬ã¥£áâà-௮¢¨ï«ã¢ëç¨á«®£¥à-(àå-â¥â¤¥á«¨£¥-࣪®+®áâ५㯣®®¢-(:¯¥¥àå¥á«¨à-¢®¨-£áâ쯮¢®â¥â¨¯£ã¤®¡¥ààå-«+-®áâì(®¥á¢â®à®§«¨¤®£¯®¢âì࣮-¥¨ç¨¢à⨯åà-®áâ쬥¥.ââ-

2)®¡ê. Ǒਬ¥)¬‘¢V ,¥¥¤-¥P,Q,¥¢ë¡àªR¤¢®©{¤¨ää--¬®¬ãë©¥âਧ¥à¥-⮤-âæ¨î¥£ ã«ã:¥¬ë¥ ¢-¨ïí⮬. ®¡ê¥¬¥ äã-ªæ¨¨).

 

¢ë¯®«-¨âì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v) (u1 ≤

u ≤ u2, v1 ≤ v ≤ v2);

¯ ∂u

∂u

∂u ¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ëç¨á«¨âì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

Q

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ ∂x

∂y

∂z ¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

∂y

¯¥à¢®£®

 

 

 

 

 

 

 

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

∂v

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯ ∂v

∂v ¯

 

 

 

 

 

 

 

 

§ ¯¨á

-⥣à

ç¥à¥§ ¤¢®©-®© ¯® ä®à¬ã«¥

 

∂u ¯ dudv

¡)‘¢¨ ¥¢ëç¨á«¨â줥-¨¥ ª ¯®¢P dydz¥£¥®.àå-®áâQdzdx¬ã ¨-Rdxdyâ¥£à «ã=

 

 

∂u

∂u :

 

 

 

y

 

 

 

 

P

Q

R

 

 

 

 

Z Z

 

 

Z Z

¯ ∂x

∂y

∂z ¯

 

 

 

S

+

 

D

¯

∂x

∂y

∂z

¯

 

 

 

 

∂v

∂v

∂v

 

 

 

+

 

 

¯

 

⨯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

§

¯®¢¥àå-®áâì -®à¬ «ìî n = ( os α, os β, os γ);