пособие 7 по матану (2 курс)
.pdf5.1. •§.5¥®¡Š•ˆ‚Ž‹ˆ•â®çªã夨¬ë¥ â¥®à…‰•›…¥â¨ç¥áª¨ˆ•’¥ ᢅ¥¤ƒ¥•-€¨ï.‹› ‚’Ž•ŽƒŽ ’ˆǑ€
楫¨ª• Ž¯à®¬¥«¤¥¥«¥-騥ïªà¨¢®«¨®¡« áâ¨-¥©-®¯à®£®¥¤¥-«â¥¥-£¨ïà ¤«¨¢¥ªâ®à®£®© ⨯äã-.ªæ¨¨Ǒãáâì S { ªà¨¢ ï,
• §®¡ì ¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = (P, Q, R). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−−→ |
||
¯à®¥ªæ¨¨ S |
- |
ç á⨠|
, ®¡®§- 稬 |
µTi |
{ |
|
|
|
-ã --®© ç áâ¨, |
µxTi |
, |
µy Ti |
, |
µz Ti { |
|||||||||||
á⨠- |
®á¨Ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
®¬ "+", ¥á«¨ ¥¥ |
|
¯à OX¢«¥,-OYᮢ¯OZ ᮮ⢥-âáâ¢¯à ¥¢«¥-(¯à®¨¥¬ ¥®á¨ªæ¨ïᮡ¥à§¥-âá类¬á®"§- - |
||||||||||||||||||||||
¢ë¡¥á«¨¥à¥¥¥¬- ¯à ¢«¥-¨¥ ¯à®â¨¢®¯®«® - |
- ¯à ¢«¥-¨î ®á¨). |
|
• |
ª ¤®© ç −áâ¨", |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Mi. ‘®áâ ¢¨¬ á㬬ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
…᫨Sã1 =á㬬ëP (Mi) µxTi, |
S2 = |
|
Q(Mi) µy Ti, |
|
S3 = |
|
i |
R(Mi) µz Ti. |
|||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||
-â®à§ë¢© -¥âá§ï |
¢¨á¨âªà¨¢®«1 +-¨-2®â¥+©-ᯮᮡë¬3 ¯à¨-⥣§¡¨à( «®¬¥-)¨ï,¢â®à®-0¨áãé®â£®¥¢ë¡®à⨯áâ¢ã¥®ââ ⪢ç-¥ªâ®àª,ç-â®ë©-®©íâ®â¯àäã¯à¥¤¥-«,ªæ¨¨®¥¤¥«- |
||||||||||||||||||||||||
|
S |
S |
|
S |
max µTi |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
~ |
|
¬ (P, Q, R) |
ª ¨¢®© S |
®¡®§- ç |
âáï |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f |
ª®®à¤¨- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZS |
|
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
¨¬¥--Šà¨¢®«¨®:-¥©-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯ |
§ ¢¨á¨â ®â - ¯à ¢«¥-¨ï ªà¨¢®©, |
||||||||||||||||||||||||
|
• |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABZ |
P dx + Qdy + Rdz = −BAZ |
P dx + Qdy + Rdz. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
• …᫨ ªà¨¢ ï S § ¤ - |
¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨ x = x(t), y = y(t |
z = z(t) (t1 ≤ |
||||||||||||||||||||||
t®âà≤¥§ªãt2), ¯®â® ä®à¬ãªà¨¢®«¨¥:-¥©-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯ |
᢮¤¨âáï ª ¨-â¥£à «ã ¯® |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
( |
( |
|
|
|
|
|
||
(ç áâ® ¢áâà¥ç îé¨P dx¥+áïQdyªà¨¢ë+ Rdz¥æ¨àã¨å= ¯ (àP x¬′¥tâਧ) + Qyæ¨ï′ t)á¬+.Rzáâà.′ t))25)dt. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ZS |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
®¡«• áâì”®à¬ã« |
ƒà¨- . …᫨ S { § ¬ª ãâ ï ¯«®áª |
ªà¨¢ ï, ®£à -¨ç¨¢ îé ï |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-¥® ¢§ |
í⮩¯¨á â쮡«ç¥áâ¨à¥§ä㤢®©-ªæ¨¨,-)®© |
¨â®-âªà¨¢®«¨¥£à ¯®- |
|||||||||||||
ä®à¬ã«-¥©-ë© ¥¨D-⨥£P,à «Q¢â®à®¤¨ä䣥®à⨯¥- ¬®¥¬ë |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
+ P dx + Qdy = |
µ |
∂Q |
|
∂P |
|
¶dxdy. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂x |
− ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
Z Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S+ ®§- ç ¥â, çâ® ªà¨¢ ï ¯à®å®¤¨âáï â ª, çâ® ®¡« áâì ®áâ ¥âáï á«¥¢ ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
∂Q |
|
∂Q |
|
|
|
∂R |
|
∂R ∂P |
|
|
||||||||||
¯®¤ë• -â¥£à «ì-®¥ ¢ëà ©¤-¥¨¥ ï¥âáï ¯®«-ë¬∂y ¤¨ää∂x ,¥à∂z¥-æ¨ ∂y«®¬, |
∂xäã-ªæ¨¨∂z |
u, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ª â®à ï ¬® ¥â ¡ëâì - |
|
|
|
- |
¨§ ãá«®¢¨© ∂u = P, |
|
∂u |
= Q, |
|
|
∂u |
= R. ’®£¤ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABZ |
P dx + Qdy + Rdz = u(B) − u(A). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( • |
”¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« ªà¨¢®«¨-¥©-®£® ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯ . …᫨ |
|
~ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
dS = |
|||||
{dx,dy,dzᨫ , ¯à) «®¯¥à¥--¬¥éï¥-ª¨¥â®çªâ®çª¨,¥, ⮣¤ |
|
|
P dx + Qdy + Rdz = |
~ ~ |
|
|
|
|
|
~ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f dS. … «¨ f |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−−−−−−−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
६¥é¥-¨¥ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ í⮩ ᨫë, |
|||||||||||||||||||||||||||
⮣¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS { ¯¥R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨¨ - |
|
~ |
|
|
|
|
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||||||
¯¥à¥€¬«¥fé£dS®à¨â¬¥-{î â®çª¨¡®âᨫ뢤®«ì¯à¨ ¯¥à¥¬¥é¥ |
|
dS, |
|
|
|
f dS { à ¡®â |
ᨫë f ¯® |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨á«ï¯®ƒ. ਥªà¨¢®«¨-®âà¨ï- ¥(§ªã;¥-᫨â¥-£à¥ªà¨¢©«-ëå: ï ¨§-¬ªâ¥-£ãâà «®¢ï, ¢â®à®£® ⨯ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1)5.2..¡Ž¯àᢥ¥¤¤¥¥«¨âì-¨¥ ª¢ëç¨á«¬¥-⮤⥣¢ëçà¥-äãS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
¤¨ää |
|
¨¥ ä®à¬ã«ë¥¬ë¥ |
¤«ï-ªæ¨¨);¯®«-®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨ « |
|
|
(¥á«¨ |
¨ |
Q |
{ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
¢ |
|
¯à¨¬¥- -æ¨àã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂Q = ∂R , ∂R = ∂P ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P = ∂Q |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂x |
|
|
|
||||||||||
2). a)Ǒਬ∂z‘¢¥¥¤-¥∂y-¨ªà¨¢ãî¢ë¡à¥ ∂x -â¥∂z--£à멫㬯®¥â®¤®âà¢ëç¨á«¥§ªã: ¥-¨ï. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
◦ ‡¢ëç¨á«¨âìä®à¬ã¯ ¬¥â ¨ç¥áª¨: x = x(t), |
y = y(t), |
|
z = z(t). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ਠ®¢ -¨ï ¯® |
|
|
( |
1 |
≤ t ≤t2 t |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
◦ • ©â¨ ¯à¥¤¥«ë ¨-⥣ y |
|
|
|
t |
t |
|
|
|
( |
)+ |
|
( |
|
)+ |
|
( |
)) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«ë¯®ƒà¨®âà- ¥:+§ªã. + |
Rdz |
= |
Rt1 |
( |
P x′ |
|
t |
|
dt |
||||||||||||||||||||||
¡)◦¨Ǒਬ¥- -¨¥ -⥣à«ã RS |
P dx |
Qdy |
|
|
|
|
|
t |
|
|
Qy′ |
|
|
Rz′ |
t |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
◦ ‚ëç¨á« |
∂P∂y , |
∂Q∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Ǒਬ¥- |
|
|
|
«ã |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
-¤â¥ï£àá«ãç+. ï ¯®«=-®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨ « : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
¢)◦¨ ¢ëç¨á«¨âì-¥-¨¥ ¤¢ ©-®©«ë¨S+ P dx |
Qdy |
|
|
D |
µ |
∂x |
− |
∂y |
¶dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
|
• ©â¨ |
äã-ªæ¨î |
u |
|
¨§ ãá«®¢¨© |
∂u |
= |
P, |
∂u = |
Q, |
|
∂u |
|
= |
R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
◦ |
|
|
- |
|
|
|
«ã |
RAB P dx |
+ Qdy + Rdz = u(B) − u(A). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
{ ¥ ¤¨ää¥- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ABCDA { § ¬ª ãâ ï ªà¨¢ ï, -® P = Q = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ǒਬ¥à 5.1. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à « |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
•¥è¥-¨¥. 1). |
|
A(1, 0), B(0, 1), C( |
|
|
|
|
|
dx |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R1, 0), D(0, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
àè¨- ¬¨ ¢ â®çª å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCDA |x|+|y|, £¤¥ ABCDA { ª¢ ¤à â á |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ç¨á«ïâìæ¨àã. • ¥§®¡ê¬ íâ®âï ¥ä㬠íâ®â¨--ªæ¨ï,⥣à-â«¥.£á¢.६뫤¥--¨¥4:¬¬®¥£®¥¬ ¯à¨¬-⥣¥à-¨âì«ã ¯®ä®à¬ã«ã®â१ªã+ .ƒà¨- . •ã¤¥¬ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¢ëà¥-2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|x| |y| |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ǒ®¤áç¨âǑàï¬ ï¥¬ â®çª¨¤ë© ¨§ -¨å =⤥«ì-+®. |
|
|
|
|
+ |
CDZ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCDAZ ... |
|
|
ABZ |
... |
|
BCZ ... |
|
|
|
... |
|
DAZ .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
“à -âá-¨¥ AB «¥ ¨â ¢ ¯¥à¢®© ç¥ ¢¥àâ¨, £ ¥ x ≥ 0, y ≥ 0, â.¥. P = Q = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x+y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
´- |
ï ®âAB : y = 1 − x. ‚믮«-¨¬ ¯ à ¬¥âਧ æ¨î: x = t, |
y = 1 − t, t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ¤® â®çª¨ B, â. . ®â 1 ¤® 0. Ǒ®«ãç ¥¬: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
dx + dy |
= 0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
dt |
0 |
1 |
(1 |
− |
|
|
dt |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
ABZ |
x + y |
¢x + y |
|
|
Z |
t − t + 1 t − t + 1 |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
€- «®£¨ç-ë¥ |
ëç¨á«¥-¨ï |
¤«ï |
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
1) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
1) |
|
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BC: P = Q |
|
|
|
−x+y |
; ãà ¢-¥-¨¥ ¯àאַ© BC: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
y = t + 1, t = 0, −1. |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y = x + 1; ¯ à ¬¥âਧ æ¨ï: x = t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
dx + dy |
|
= 0−1 |
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt =− Z1 |
|
|
|
|
dt |
|
−2t¯t= |
|
|
1=−2. |
|||||||||||||||||||||||
x + y |
− |
x + y |
− |
t + t + 1 |
− |
t + t + 1 |
|
|
|
|
|
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BC − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+1) = |
|
|
|
¯ |
|
|
|
||||||||||||||||
„«ï ¯àאַ© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¯ à ¬¥âਧ æ¨ï:CD: P = Q = |
|
|
; ãà ¢-¥-¨¥ ¯àאַ© CD : |
|
y = −x − 1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−x−y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t, y = −t + 1, t = −1, 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Z |
−x − y −x − y |
= |
Z1 |
|
−t + t + 1 + −t + t + 1(−1)dt |
|
|
Z1 (1 − 1)dt . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
+ |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
„«ï ¯àאַ© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
||||||||||||
CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
¯ à ¬¥âਧ æ¨ï:DA : |
P |
|
|
|
|
Q = |
|
|
; ãà ¢-¥-¨¥ ¯àאַ© DA : |
y = x − 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x−y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = t, y =1t − 1, t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
0, 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
xdxy |
|
xdy y |
|
|
|
Z |
|
|
t t + 1 + t t + 1dt = Z |
dt = 2t¯t=0= 2. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
= 0 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
DA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|x| + |y| |
=« |
0 |
− 2 + |
|
|
|
2 = . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Ǒਬ¥à 5.2. |
|
ABCDAZ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dy |
|
|
|
|
0 + |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
‚ëç¨á«¨âì |
¨-⥣à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 •+¥yè¥=-¨a¥. . 1). ’ ª ª ª |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S xy2dy − x2ydxï, £¤¥ S - ®ªàã -®áâì |
||||||||||||||||||
¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨,S { §â®¬ª¬ë-ãâ¬®ï ¯«®áª¥¬ ¯à¨¬ï ªà¥-¨âì¢ ä®à¬ã¨ äã«ã-ªæ¨¨ƒà¨-P :¨ Q { |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2). ‡¤¥áì |
|
y |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
µ ∂x − ∂y ¶dxdy. |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
+ P dx + Qdy = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z Z |
|
|
|
∂Q |
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
|
2 |
|
∂P |
|
|
|||||
ªà¨¢®«¨-¥©-Pë©=¨−-x⥣yà, Q« =ç¥xy१.¤¢®©’ª¨¬-®©:®¡à §®¬ ∂x |
= y |
|
, |
∂y = −x |
. ‡ ¯¨è¥¬ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
xy2dy − x2ydx = ZDZ (y2 + x2)dxdy, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
£¤¥ |
|
|
ZS |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
‚믮«D - ªàã-¨¬á¯®«ï࣠£à -¨æ-ã §x ¬+¥-yã: = a . |
= R∂Q |
= 1. |
|
|
‡- |
|
|
|
, ¯®¤ë-â¥£à «ì- ï |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = r os ϕ, y = r sin ϕ, £¤¥ 0 ≤ r |
≤ a, 0 ≤ ϕ |
≤ |
||||||||||||||||||||
|
π ¨ I = r. ’®£¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
2 |
2 |
0a |
|
02π |
|
|
2 |
|
|
0a |
|
3 |
|
|
2π |
|
|
|
|
0a |
2 |
|
3 |
|
r44 a = πa2 |
|||||||||
Z ZǑਬ(y + ¥xà)dxdy5.3 |
Z |
dr Z |
|
|
r |
|
· rdϕ |
Z«r |
ϕ¯ϕ=0dr =Z |
|
πr |
|
dr = 2π |
|
r=0 |
. |
|||||||||||||||||||||
D |
|
|
=‚ëç¨á«¨âì |
-⥣=à |
|
|
(2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
,¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
•¥è¥-¨¥. 1). |
Žç¥¢¨¤-®, çâ® |
|
|
|
|
|
|
|
xdy + ydx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à¥-æ¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
®à¬ã-ªæ¨ï ï¥âáï ¯®«-ë¬ ¤¨ää¥∂y |
|
|
|
|
Ǩ¶x |
äã-ªæ¨¨ ç¨â |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ä «ã: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
¬® ¥¬ ¯à¨¬¥-¨âì |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B) − u(A). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
äã- |
|
ZS |
|
|
P dx |
|
Qdy |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2). ‚ëç¨á«¨¬ |
|
|
ªæ¨î |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ¨§ ãá«®¢¨© ∂u∂x = P , ∂u∂y |
= Q, â.¥. ∂u∂x = y u = |
|||||||||||||||||||||||
R ydxǑ®«ãçu¥=¬:xy (¨«¨ ∂u∂y =(2x u = R ydx u = xy). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 2) |
xdy + ydx = xy¯(2,1,2) |
= 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‚ëç¨á«¨âì ªà¨¢®«¨-¥©-ë¥ ¨-â¥£à «ë ¢â®à®£® ⨯ |
ç¥à¥§ ¨-â¥£à «ë ¯® ®â- |
||||||||||||||||||||||||||
१ªã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
= 1. |
|
|
|
||
1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
2 |
|
S |
|
x + y)dx |
(x − y)dy, £¤¥ S { í««¨¯á a2 |
|
b2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(0 |
|
R |
(2a −y)dx+xdy, |
S { ઠ|
横«®¨¤ë x = a(t −sin t), y = a(1− os t) |
||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, £¤¥ S - ®ªàã -®áâì x2 + y2 = a2. |
|
|
|
||||||||||||
3t |
|
R |
2π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
≤4 |
≤ |
|
(x+y)dx−(x−y)dy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
x2+y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¨ |
|
Ry |
dx sin y + dy sin x, £¤¥ AB { ®â१®ª ¯àאַ© ¬¥ ¤ã â®çª ¬¨ A(0, π) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5(.5. 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B π, |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®â१®ª ¯àאַ©ar tg xy dy − dx, £¤¥ OM A { ç áâì ¯ à ¡®«ë y = x2 |
ON A { |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
OM AN O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ïï ä®à¬ã«ã= . ƒà¨- , ¢ëç¨á«¨âì |
ªà¨¢®«¨-¥©-ë¥ ¨-â¥£à «ë. |
|
|||||||||||||||||||
Ǒਬ6 ¥-R |
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|||
|
|
S (x + y)dx − (x − y)dy, £¤¥ S { í««¨¯á |
x |
|
+ y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
7 |
|
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
S ex[(1− os y)dx−(y−sin y)dy , £¤¥ S { ª®-âãà, ®£à -¨ç¨¢ î騩 ®¡« áâì |
|||||||||||||||||||||||||
5.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< x <Rπ, 0 < y < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y |
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
¢ëç¨á«¨âìè¨áì,)(®osªà¨¢®«¨¯®¤ë2-â¥-£+३sin-«ìë2-¥®¨¥-¢ëàâ),¥£à£¤¥«ë¥-.¨{¥ |
®ªàãï¥âáï-®áâ쯮«x-ë¬+ y¤¨ää= R¥à.¥-- |
||||||||||||||||||||||
æ¨5“¡«®¬,¥¤¨ e− |
|
− |
|
|
xydx |
|
xydy |
|
S |
||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(0 ,− |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.9. |
|
|
Z1) |
xdx + ydy. |
|
|
|
5.10. Z1) |
(x + y)dx + (x − y)dy. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(1 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Žâ¢.¥11âë:. |
1) |
(x − y)(dx − dy). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
,− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||
[5.1 0 |
|
|
|
π |
|
|
|
.2 − 2πa |
|
[5.3 |
− 2π |
.4 0 |
.5 4 − 1 |
|
[5.6 |
− 2πab |
|||||||||||
.7 − 5 (e |
− 1) [5.8 0 |
|
[5.9 12 |
|
[5.10 4 [5.11 − 2 |
|
|
|
6.1. •§6.¥®¡å®¤¨¬ëǑŽ‚…•••Ž‘’•›¥ ⥮à¥â¨ç¥…᪨ˆ•’¥ ᢅ¥ƒ¤¥•-€‹›. Ǒ…•‚ŽƒŽ ’ˆǑ€
-®áâì,• Ž¯à楥«¨ª®¬¤¥«¥-¨«¥¥¯®¢é¥àåï-®á⮡«-®£á⨮ -®¯à⥣¥à¤¥«¥ ¯¨ï¥а¢®бª£®«пав¨¯-®©. Ǒгбвмдг-ªж¨¨S { ¯®¢¥àå
¡ì¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f . • §®- |
¢ë¡¥àS |
- |
|
á⨠|
Ti |
, |
|
|
|
¡®§- 稬 ¯«®é ¤ì |
-®© ç á⨠|
µTi |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
¨ - ª ¤®© ç á⨠|
||||||
|
¥¬ â®çªã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Mi. ‘ áâ ¢¨¬ á㬬ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
…᫨ ã í⮩ áã¬¬ë ¯à¨ |
|
|
|
|
|
S = |
|
|
f (Mi) µTi. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®£®¢ë¡®à⨯¥áâ¢ã¥¨â-â®çâ¥-£¥à¥ª,ç«®¬-â®ë©íâ®â¯à¥äã¯à¤¥-«,¥ªæ¨¨®â®à멤¥« - §ë- |
||||||||||
¯®¢- ¥§âáï¥à¢¨á¨â¯®¢¥-àå¨-®â®áâá¯-ë¬á®¡¨-max⥣§¡¨à(µT«®¬¥-i)¨ï,→¯¥-0¨áãéࢠ|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
å-®á⨠|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ¯® |
||
|
|
|
S ¨ ®¡®§- ç |
|
âáï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZSZ |
f (x, y, z)dS. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
• …᫨ ¯®¢¥àå-®áâì § ¤ - |
¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨: x = x(u, v), y = y(u, v), z = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z-(®¬ãu, v),¨-(âu,¥£và) «ãD¯®,â®ä®à¬ã«¯®¢¥àå¥:-®áâ-ë© |
-â¥£à « ¯¥à¢®£® ⨯ ᢮¤¨âáï ª ¤¢®©- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z Z |
f (x, y, z)dS = Z Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
£¤¥ |
|
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |
|
EG − F 2dudv, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
µ ∂u ¶ |
2 |
|
µ ∂u ¶ |
µ ∂u ¶ |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = µ ∂v ¶ |
|
|
µ ∂v |
¶ |
µ ∂v |
¶ |
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 + |
|
∂y |
2 + |
|
∂z |
|
2 |
|
|
|
|||||
‘ä—¥àáâ® ¢áâà¥ç î騥áï= |
|
∂x |
∂x |
|
∂y |
∂y + ∂z |
|
∂z |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
¯®¢ |
¥àå-®á⨠¨ ¨å ¯ à ¬¥â¨à¨§ æ¨ï. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
F |
|
|
∂u |
· ∂v |
|
∂u · |
∂v |
∂u |
· |
∂v . |
|
|
||||||||||||||
u |
|
+ z2 = a2: x = a os u os v, y |
= a sin u os v, z = a v |
|||||||||||||||||||||||||||||||
, π |
v −π , π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
•««¨¯á®¨¤ |
£ |
|
|
|
|
|
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
z |
|
|
= 1: x = a os u os v, y = b sin u os v, z = c sin v, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
c |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u [0, 2π , v £− |
2 |
π |
¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
π , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(¢¥àå ïï aç xáâì ª®b y-ãá )z¨«¨x |
u |
v y |
u |
v z u u , ∞ v , π |
a |
b |
¥á«¨Ǒ -à¥â¡®«®¨¤¤®¯®«-¨â¥«ì-ëå ®£àu -¨ç(¥−-∞¨©,.0 , v [0, 2π (-¨ -ïï ç áâì ª®-ãá |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2x2 |
+ b2y2 |
|
= z: x = ua os v, y = ub sin v, z = u2, u |
, ∞), |
||||||||||||||||
v –[0¨«¨,€2π«-£,®à¨â¬¥á«¨2 -¥2â ¤®¯®«2 |
-¨â¥«ì-ëå ®£à -¨ç¥-¨©. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
¯6.2.1). ‚ëç¨á«¨â쇤¤ ¯®«x +¯®¢y ¢ëç¨á«¥àå= -a®áâì: x¥=-¯ä®à¬ã¨ïa os¯®¢¥vâà¨ç, y¥àå=¥-᪨:a®áâsin v-,ëåz =¨u-, âu¥£à(−«®¢∞, ∞¯),¥à¢®v £[0®, 2â¨π - |
||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x(u, v), y = y(u,v), z = z(u,v) |
||||||
u12≤. u ≤ u2, v1 ≤ v ≤ v2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
E, G, F ¯® |
|
|
|
|
|
« ¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
µ ∂u |
¶2 |
µ ∂u |
¶2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ ∂u ¶2 , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
G = µ ∂v |
¶ µ ∂v |
¶ µ ∂v ¶ , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
¯®¢¥àåF-®áâ= |
|
∂x |
· |
|
∂x + ∂y |
∂y + ∂z |
∂z |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂v |
∂u · |
∂v |
∂u · |
∂v . |
|
||||||||||||
3). ‡ ¯¨á âì |
|
|
|
|
-ë© |
¨-â¥£à « ç¥à¥§ ¤¢®©-®© ¯® ä®à¬ã«¥ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z Z |
|
Z Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6¨. |
|
f x, y, z dS |
f |
|
|
x u, v , y u, v , z u, v |
|
EG − F dudv |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||||
¢ëç¨á«¨âì3Ǒਬ. ¥àë6¥(.1£®.¢ëç¨á«. ‚ëç¨á«¨âì) =¯à®¥- ¥ªæ¨ï¯®¢-(â¥(¥£ààå«)-®áâ( -ëå) (¨-â))¥£à « ¢ ¯¥2ࢠ£® ⨯ . |
||||||||||||||||||||||||||
æ¥-â஬ ¢ |
|
|
|
|
|
|
O(0, |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, 0), ®áRR |
z2dS, £¤¥ S { ¡®ª®¢ ï ®¢¥àå-®áâì |
||||||||||||||||||
ª® ãá |
á ¥àè¨-®© |
â®çª¯®¢¥à |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
â®çª¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
-®¢ -¨¥¬ { ®ªàã -®áâìî à ¤¨ã¯«®áª1 ¨ |
|||||||||||
|
|
|
|
O′(0, 0, 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = z2 u2 os2 v+u2 sin2 v =u2 |
||||||||||||
á⨠|
|
|
|
|
|
ᯮ«® ¥-- ï ¢ ¯«®áª¯«®áªâ , ¯ à ««¥«ì-®© |
- |
|||||||||||||||||||
•Oxy¥è¥-.¨¥. 1). ‡ ¤ ¤ ¬ |
|
|
|
|
|
å-®áâì ¯ à ¬¥âà¨ç¥ ª¨. Ǒã |
|
|||||||||||||||||||
â®çª ¯®¢¥àå-®áâ¨, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A { -¥ª®â®à ï |
||||||||
à ááâ®ï |
|
|
®â â®çª¨B { |
|
|
|
|
|
|
|
|
íâ © â®çª¨ - |
|
®áâì Oxy. Ž¡®§- 稬 u |
||||||||||||
- ¯à ¢«¥-¨¥¬ ®á¨ |
B ¤®«ã箬- |
« |
|
ª®®à¤¨- |
, v { 㣮« ¬¥ ¤ã ¯®«® ¨â¥«ì-ë¬ |
|||||||||||||||||||||
á âì ¢ ¢¨¤¥: |
|
Ox ¨ |
|
|
|
|
|
OB. ’®£ |
|
®®à“¡¥-¤¨¬áâë â® ª¨ A ¬® - |
§ ¯¨ |
|||||||||||||||
§¯ æ¨ï¬¥âà¨ç¤®¢«¥¥xáªãî⢮àï= u ä®à¬ãosãà¥â v, y¢-§=¥-¯u¨sinîᨪv,¯®¢-zãá=¥àå:u-®áâ¨(0≤.u ≤ 1, 0 ≤ï,v ≤ π , |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çâ®2 íâ) â.¯. ௮«ã稬¥âà - |
||||
u |
|
≡ u . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E, G, F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= os2 v |
|
|
|
|
sin2 v + 1 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = ( |
∂x )2 + ( ∂y )2 + ( ∂z )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂u |
|
|
2 |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x )2 + (∂y )2 + (∂z |
= |
(−u sin v) |
+ (u os v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
G = ( ∂v |
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
∂v ) |
|
|
|
|
|
|
+ 0 = u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
∂x |
∂x |
+ ∂y ∂y |
+ ∂z |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
¯¨è¥¬ ¯®¢¥àå-®áâ-ë© ¨-⥣àos« ç(¥à¥sin§ ¤¢®©) +-®©sin ¨(-⥣osà «) +¨ 0¢ëç¨á«¨¬= 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¥£®:3)F. ‡ |
|
∂u · |
∂v |
|
|
|
∂u · ∂v |
|
∂u · |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
−u |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v u |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
u2√2u2du!dv = √2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z Z |
z2dS = |
à |
Z |
Z |
à |
|
= u3du!dv = √2 |
|
0 u4 |
¯ |
u 0dv = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 π 41 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
2π¯ |
|
|
|
|
√ |
2 |
π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-®¨ï⨯. |
. = |
|
|
|
|
|
|
|
|
v¯v=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
6.4‚ëç¨á«¨âì. 1‡ ¤ -¨ï¯®¢¤«ï¥àåá-¬®áâ®-ë¥ï⨠¥â«ì¥£-஫룮 ௥ࢮ襣√ |
|
|
|
Z |
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = v (0 ≤ u ≤ |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
S |
|
|
zdS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x = u os v, y = u sin v, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
0 2 |
vRR π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
≤ |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zdS, £ |
|
|
|
S { |
|
|
|
å- |
|
|
|
|
|
x = os u os v, |
|
y = os u sin v, |
|
z = sin u |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3u |
|
|
|
2 |
, 0 |
|
v |
|
|
|
2π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
≤ |
|
RR |
|
|
≤ |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
≤y |
(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
+ y2)dS, £¤¥ S { áä¥à à ¤¨ãá |
|
|
2 ¨ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ (0, 0, 0). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x2 |
+ y2 = z2 (0 ≤ z ≤ 1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
Sy p |
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
RR |
|
|xyz|dS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x |
2 |
+ y |
2 |
= z (0 ≤ z ≤ 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
7 |
RR |
|
zdS, £¤¥ S { ¯®¢ å-®áâì x |
+ y |
= 2z (0 ≤ z ≤ 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6.8. |
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
(x + y + z)dS, £¤¥ S { ¯®¢¥àå-®áâì x |
|
+ y |
|
+ z |
|
= a |
|
|
|
|
(z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
RR |
|
|
(1+dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Žâ¢¥âë: |
|
|
|
|
|
|
|
, £¤¥ S { £à -¨æ |
|
|
â¥âà í¤à |
|
|
x+y+z ≤ 1 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+y)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ ln(1 + |
|
2)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 π4 (√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1283π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
[6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(6 |
153+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 + ( |
√ |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
125420 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[6 |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ln 2 |
||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
πa |
|
|
|
|
[6 |
. |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1. •§7.¥®¡å®¤¨¬ëǑŽ‚…•••Ž‘’•›¥ ⥮à¥â¨ç¥…᪨ˆ•’¥ ᢅ¥ƒ¤¥•-€¨ï.‹› ‚’Ž•ŽƒŽ ’ˆǑ€
-¤¢ãáâ®à®äã• Ž¯àªæ¨¨¥--¤¥ïï«¥-¯®¢¨¥ ¥¯®¢àå-¥®áâì,àå-®áâæ-¥«¨ª®¬®£® -â«¥¥£à «é ¢â®à®ï ®¡«£® ⨯ ®¯à. Ǒãáâ쥤¥«¥S-¨ï{¯«®é£¢¥ªâ®à¤ª ï-
|
|
|
|
f |
−−−−→ |
|
|
|
S |
- ç á⨠|
Ti |
, ®¡®§- 稬 |
µTi |
{ |
¤ì |
|||||||
|
|
|
áâ¨, |
~ = (P, Q, R). • §®¡®áìî,¬ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
®© |
|
|
, |
", |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â®çªã- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨¥ |
|
|
|
--㮩£®«,-ë-®à¬¥¨¯«®áª®áâ¨á®«¨§- ®¡à®¬ "§ã(¯à®¥ªæ¨ï ¡¥¯à{¥¥à¯âáï¯à®¥-¥á®¤¨ªã«ï৪樨- ª®¬ç-á⨮©"+",¯«®áª®áâ¨- ¥á«¨â¢-¥âáâ¢ãîé¯à®¢«¥ªæ¨¨,¥- |
|||||||||||||||||||
®áâàë©¢ë¡à®®à¤¨ |
µOXY Ti µOY Z Ti |
µOXZ Ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Mi. ‘®áâ ¢¨¬ áã |
− |
¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥). • |
ª ¤®© ç á⨠¢ë¡¥à¥¬ |
||||||||||||||||
|
|
|
‘ |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S…1᫨= ã á㬬ëP (Mi) µOY Z Ti, |
S2 = |
Q(Mi) µOXZ Ti, |
S3 = |
|
R(Mi) µOXY Ti. |
|||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
-â®à§ë¢© -¥âá§ï |
|
|
|
|
|
|
|
¢â®à®ï, -0¨áã飮 ⨯¢ë¡®à¥áâ¢ã®â¥â¢¥ªâ®àç- ª,ç--â®ë©íâ®â¯àäã¥-¤ªæ¨¨¯à¥«,¥¤ª®¥«- |
||||||||||||||
|
|
|
|
¢¨á¨â¯®¢S¥1àå+--S¨®áâ2®â+-Sᯮᮡë¬3 ¯à¨-âmax¥£à§¡¨(«µT¥¬-i) → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
á ª®®à¤¨- â ¬¨ ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|||||
|
|
|
|
P, Q, R) ¯®¢¥ å-®á⨠S ¨ ®¡®§- ç |
âáï |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZSZ |
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z),dxdy. |
|
|
|
||||||||||||||
|
• …᫨ S § ¤ - |
|
|
|
|
|
|
|
¯®¢¥à |
|
|
|
z = z(u, v), (u, v) |
|||||||||
|
¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨: x = x(u, v), y = y(u, v |
|||||||||||||||||||||
D¯®, ä®à¬ã«â® ¯®¢¥¥àå-®áâ-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£® ⨯ |
᢮¤¨âáï ª ¤¢®©-®¬ã ¨-â¥£à «ã |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z Z |
|
|
|
|
|
|
|
Z Z |
¯ ∂x |
∂y |
∂z ¯ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
|
Qdzdx |
|
Rdxdy |
|
D |
¯ |
∂x |
∂y |
∂z |
¯ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
∂v |
∂v |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
P dydz |
|
|
|
¬¥∂u |
∂u |
∂u |
¯ dudv. |
34) |
|
|||||||||
(ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï+¯®¢¥àå |
|
®+⨤¨âá¨å=¯ |
|
¯ |
âਧ æ¨ï á¬. áâà. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
⨯-®áâ• -…¯®ë©á«¨ä®à¬ã«¨-¯®¢ |
S |
«ìîïª n = (å-os®áâα,-®¬ãosβ,¨-osâ¥γ£à), «ãâ® |
|
|
|
⥣¥àà奫-®áâì¢â®à®£®§â¨¯¤- ᢮- ଠ|
|
¯¥®¢à¢®¥à壮- |
|
y |
|
|
y |
|
ZSZ |
P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ZSZ (P os α + Q os β + R os γ)dS. |
®£à• -¨ç¨¢ îé ï ®¡ê¥¬ |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ä¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ - |
- V¥áâ¢, P¥= P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) { ¤¨ä- |
||||||||||||||
⨯ ᢮¤¨âáï ª âன-®¬ã ¨-âV¥£àäã«ã-ªæ¨¨,¯® ä®à¬ã«â® ¯®¢¥¥àå-®áâ-ë© ¨-â¥£à « ¢â®à®£® |
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P + ∂Q + ∂R |
|
||||||||
|
ZSZ |
P dydz |
+ Qdzdx + Rdxdy = ZVZ Z µ |
|
|
|
|
|
|
¶dxdydz. |
|||||
|
∂x |
∂y |
∂z |
||||||||||||
ç ¢• ”®а¬гойªа¨¢®«¨п¯¢‘в®ªб¥аебвм.…б«¨ C { § ¬ª-ãâ ï ¯à®áâà -á⢥-- |
ï ªà¨¢ |
ï, ®£à ¨ |
|||||||||||||
-æ멨¨, |
|
|
£ë©â¨¯® -, ⥯®£àä®à¬ã«« ¢â®à®{ -¥£¥®¯à⨯¥à뢢ëà- ¤¨ää¥âáï¥à¥ç-¥æ¨àã१ ¥¯®¢¬ë¥¥àåäã-®áâ-ª- |
||||||||||||
|
¨â®-⥣à |
¢â®à®-¥©- S |
P, Q, R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y |
∂x − ∂y ¶dxdy |
µ ∂y − |
∂z ¶dydz |
µ ∂z − |
∂x ¶dzdx. |
|||||||
㤮¡à¨ç1)7..2¡)¢P.Ž¯à¥dxá¢-᪨);€¯à¨¬®«¥§¥Qdy¤£¤®à¥-¥¥-¨«-¨â쨥 Rdz |
µ |
||||||||||||||
CZ |
|
|
ZSZ |
∂Q |
∂P |
∂R |
∂Q |
|
∂P |
∂R |
|||||
|
+ |
+¨¥âì-ª¬¨-ª¤¢®©®à¬¬¥¢ëç¨á«¯®¢=ä®à¬ã¥â®¤-¥«ìî);®¬ã¢ëç¨á«àå-«ë®áâ¥-¨ïâ-Ž¥®¬ã¥£áâà-௮¢¨ï«ã¢ëç¨á«®£¥à-(àå-â¥â¤¥á«¨£¥-࣪®+®áâ५㯣®®¢-(:¯¥¥àå¥á«¨à-¢®¨-£áâ쯮¢®â¥â¨¯£ã¤®¡¥ààå-«+-®áâì(®¥á¢â®à®§«¨¤®£¯®¢âì࣮-¥¨ç¨¢à⨯åà-®áâ쬥¥.ââ- |
2)®¡ê. Ǒਬ¥)¬‘¢V ,¥¥¤-¥P,-¨Q,¥¢ë¡àªR¤¢®©{¤¨ää--¬®¬ãë©¥âਧ¥à¥-⮤-âæ¨î¥£ ã«ã:¥¬ë¥ ¢-¨ïí⮬. ®¡ê¥¬¥ äã-ªæ¨¨).
|
◦ ¢ë¯®«-¨âì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì |
x = x(u, v), |
y = y(u, v), |
z = z(u, v) (u1 ≤ |
||||||||
u ≤ u2, v1 ≤ v ≤ v2); |
¯ ∂u |
∂u |
∂u ¯ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
¢ëç¨á«¨âì |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P |
Q |
R |
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
|
|
¯ ∂x |
∂y |
∂z ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
|
|
∂x |
∂y |
¯¥à¢®£® |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
∂v |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ ∂v |
∂v ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ ¯¨á |
-⥣à |
ç¥à¥§ ¤¢®©-®© ¯® ä®à¬ã«¥ |
|
∂u ¯ dudv |
||||||
¡)‘¢¨ ¥¢ëç¨á«¨â줥-¨¥ ª ¯®¢P dydz¥£¥®.àå-®áâQdzdx¬ã ¨-Rdxdyâ¥£à «ã= |
|
|
∂u |
∂u : |
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
P |
Q |
R |
|
|
|
|
|
Z Z |
|
|
Z Z |
¯ ∂x |
∂y |
∂z ¯ |
|||
|
|
|
S |
+ |
|
D |
¯ |
∂x |
∂y |
∂z |
¯ |
|
|
|
|
|
∂v |
∂v |
∂v |
||||||
|
|
|
+ |
|
|
¯ |
|
⨯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
§ |
¯®¢¥àå-®áâì -®à¬ «ìî n = ( os α, os β, os γ); |
|