Механика. Лабораторный практикум. Работы 17-26
.pdf
превращается в кинетическую энергию пули. Это означает, что мы пренебрегаем потерями энергии на преодоление трения между пулей и стволом пистолета и на сообщение кинетической энергии самой пружине. Если геометрические размеры всех пуль одинаковы, то деформация пружины для любой пули и, следовательно, потенциальная энергия одинакова. Тогда из закона сохранения механической энергии следует, что пули различных масс mi, вылетая из пружинного пистолета, должны иметь одинаковые кинетические энергии:
m υ2 |
|
kx2 |
|
|
|
i i |
= |
|
, |
(2) |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
где υi – скорость i-ой пули после выстрела.
Из (2) получаем зависимость скорости пули после выстрела от ее массы:
υ = x |
k |
. |
(3) |
i 
mi
Поскольку величины x и k для всех пуль одинаковы, то график ожидаемой зависимости скорости пули υ от 1
m должен, согласно формуле (3), представ-
лять собой прямую линию, проходящую через начало координат.
Пролетев небольшое расстояние между пистолетом и маятником, пуля входит в пластилин, заполняющий маятник, и за счет вязкого трения быстро теряет скорость. При этом часть механической энергии пули расходуется на неупругую деформацию и превращается во внутреннюю энергию пластилина и пули, то есть пластилин и пуля нагреваются. Такой удар пули и маятника, в результате которого они начинают двигаться как единое целое, называется абсолютно неупругим. Механическая энергия в процессе такого удара не сохраняется (убывает).
Так как в горизонтальном направлении в момент удара внешние силы отсутствуют (силой трения мы пренебрегаем), то на основании закона сохранения импульса можно записать
mυ=(m+M )u , |
(4) |
где m – масса пули; υ – ее скорость; M – масса маятника, u – скорость маятника с пулей сразу после удара.
Маятник вместе с пулей, получив за счет неупругого удара импульс, отклоняется от положения равновесия на угол α. В процессе отклонения на маятник действуют сила тяжести (вниз) и сила упругости подвеса (перпендикулярно направлению мгновенной скорости маятника). Если пренебречь потерями энергии на трение в подвесе и на сопротивление воздуха, то работу при от-
41
клонении маятника совершает только гравитационная сила. Это позволяет воспользоваться законом сохранения механической энергии после удара:
(M + m)u2 |
= (M +m)gh , |
(5) |
|
2 |
|||
|
|
где h – наибольшая высота, на которую поднимается маятник (рис. 1).
Слева в этой формуле стоит кинетическая энергия при поступательном движении маятника сразу после удара (в этой точке потенциальную энергию принимаем равной нулю), а справа – потенциальная энергия системы в момент ее остановки на высоте h .
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
2gh . |
|
|
(6) |
||
Подставив (6) в (5), найдем выражение для скорости пули: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
υ = |
M + m |
2gh , |
|
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из прямоугольного треугольника АКО (рис. 1) имеем |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
h |
||
AK |
|
= S |
|
=l |
|
−(l − h) |
= 2lh + h |
|
= 2lh 1− |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
Так как h << l, 2hl <<1 то S 2 ≈ 2lh , и
h = S 2 .
2l
Подставив найденное значение h в выражение (3), получим для скорости пули формулу
υ = |
M + m |
S |
g |
, |
(8) |
|
l |
||||
|
m |
|
|
||
Выражение (8) позволяет, осуществив прямые измерения смещения маятника S и зная значения остальных величин, входящих в эту рабочую формулу, определить скорость пули υ путем косвенных измерений. Измерив скорости υi для пуль с разными массами mi можно, следовательно, убедиться в справедли-
42
вости теоретической зависимости (3).
Порядок выполнения работы
1.Соблюдая правила техники безопасности, зарядите пружинный пистолет пулей с наибольшей массой.
2.Подготовьте устройство к измерению горизонтального смещения маят-
ника. Запишите численное значение начальной координаты xнач маятника по
линейке отсчетного устройства.
3. Осуществите первый выстрел пулей с наибольшей массой, нажав спусковую кнопку пистолета. Запишите численное значение конечной координаты xкон, определив его по линейке отсчетного устройства. Вычислите смещение
маятника при первом опыте:
S = xнач. − xкон. .
Запишите величину x в таблицу 1.
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
Масса |
|
Номер |
Смещение |
(Si − S )2 |
Масса маят- |
Длина |
|
опыта, |
Si, м |
|
ника М, кг |
пули m, кг |
подвеса L, |
i |
|
|
|
|
м |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
m, кг |
|
t(α, n) |
S , м |
∑(Si − S )2 |
M, кг |
L, м |
|
|
|
|
|
|
|
4.Проведите опыт с той же пулей пять раз.
5.Вычислите среднее значение смещения 
S
. Вычислите по формуле (8)
значение скорости пули, используя среднее значение смещения. 6. Вычислите абсолютную случайную погрешность:
|
1 |
n |
|
2 |
Sсл. = t(α,n) |
|
∑ |
(Si − |
S ) . |
|
||||
|
n(n −1)i=1 |
|
|
|
Вычислите квадрат абсолютной погрешности измерения смещения маят-
ника:
43
S = Sсл2 . + Sап2 . .
7. Вычислите относительную погрешность измерения скорости:
|
|
M |
2 |
|
|
M |
2 |
|
m |
2 |
|
S |
2 |
1 |
|
g |
2 |
1 |
l |
2 |
||
ε = |
|
+ |
|
+ |
+ |
|
+ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
g |
|
4 |
|||||||||||
|
M +m |
|
|
M +m |
m |
|
|
S |
|
|
|
|
l |
|
||||||||
8.Найдите абсолютную погрешность:
υ= ευ.
9.Результат измерения запишите в виде
υ= (
υ
± υ) м/с.
10.Проведите измерения смещения маятника для пуль с другой массой (п. 3, 4, 5). Данные занести в таблицу 2.
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
Масса пуль |
Смещение |
Скорость пули υ, |
Значение |
m, кг |
Si, м |
м/c |
1/m, кг–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Вычислите скорости пуль с другой массой по формуле (8). Погрешность для этих однократно проведенных опытов оценивать не надо. Данные занесите в таблицу 2.
12.Учитывая, что для проведенных опытов должна выполняться зависи-
мость (3) постройте оси графика этой зависимости в координатах υ, 1
m для
диапазона численных значений, соответствующего используемым в опытах массам пуль и полученным для них скоростям (см. рис. 2).
13. Нанесите на этот график точки, соот- |
υ, м/с |
|
|||||
ветствующие полученным в опытах значениям |
|
||||||
скорости для каждой пули. Обратите внимание, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежат ли экспериментальные точки на одной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Укажите на этом графике для каждой |
|
|
|
|
|
1 m , кг |
-1/2 |
экспериментальной точки диапазон, внутри ко- |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
||
торого лежит истинное значение скорости. Этот |
|
|
|
|
|
||
диапазон соответствует абсолютной погрешно- |
|
|
|
|
|
|
|
44
сти υ, вычисленной в п. 8, графически он изображается в виде вертикального отрезка с границами вверху и внизу и его размеры пропорциональны 2 υ. При этом считайте, что погрешность, найденная для скорости только одной пули, является такой же для скоростей остальных пуль.
15. Сделайте выводы.
Контрольные вопросы
1.Какой закон сохранения позволяет получить зависимость скорости пули, выпущенной из пружинного пистолета, от ее массы? Какие предположения при этом делаются?
2.Выполняется ли закон сохранения механической энергии системы ма- ятник-пуля при ударе?
3.В какой интервал времени опыта выполняется закон сохранения импульса для системы маятник-пуля?
4.С какого момента опыта можно использовать закон сохранения механической энергии для системы маятник-пуля?
5.Как рассчитать долю кинетической энергии пули, которая расходуется на неупругую деформацию при ударе?
6.Запишите систему уравнений для получения скорости пули через горизонтальное смещение маятника после удара. Решив систему, получите рабочую формулу.
7.Где при выводе рабочей формулы используется тот факт, что маятник движется поступательно?
8.Как изменится смещение маятника, если изменить его массу?
9.Как изменится смещение маятника, если изменить длину подвеса?
10.Какие величины в опыте определяются путем прямых, а какие путем косвенных измерений?
11.Какой смысл, строить график зависимости скорости пули от ее массы
вкоординатах υ, 1
m ?
Библиографический список
1.Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Высш.
шк., 1999. – § 1.1 – 1.3, 3.2 – 3.4, 5.1.
2.Трофимова, Т.И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. –
§2, 3, 9, 12 – 15.
3.Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И.В. Савельев. – СПб.:
Лань, 2005. – § 3 – 4, 10 – 24.
4.Кингсеп, А.С. Основы физики: в 2-х т. Т. 1 / А.С. Кингсеп, Г.Р. Лок-
шин, О.А. Ольхов. – М.: Физматлит, 2001. – Гл.2 § 2.1 – 2.4. Гл. 3 § 3.1 – 3.4.
5.Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5-ти т. Т.1 / Д.В. Сивухин. – М.:
Физматлит МФТИ, 2005. – § 1 – 5, 9 – 12.
6.Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В.Н. Лозовско-
го. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 1.1 § 1.3, 1.4. Гл.1.3 § 1.12 – 1.15.
45
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 26
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
ИКОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ
СПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА
Цель работы: определить коэффициенты трения скольжения и трения качения.
Оборудование: специальная установка, снабженная шкалой отсчёта отклонения маятника, шкалой отсчёта отклонения плоскости движения маятника, сменными панелями, сменными маятниками качениями (шарами), сменными маятниками скольжения (усечёнными шарами).
Общие сведения
Силы трения скольжения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей относительно друг друга. Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним; трение между слоями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа) носит название внутреннего трения.
Силы трения зависят от конфигурации тел, относительных скоростей, состояния поверхностей и материала тел. Механика не занимается изучением физической природы сил трения, поэтому ограничимся эмпирическими приближёнными законами трения. В этих законах сила трения скольжения зависит от силы реакции опоры и коэффициента пропорциональности, который называется коэффициентом трения и зависит от материала соприкасающихся поверхностей. В случае трения скольжения применяется формула
Fтр. =μсN , |
(1) |
где μс – коэффициент трения скольжения, N – сила реакции опоры, направлен-
|
Nr |
υr |
ная перпендикулярно поверхности соприкосно- |
|||||||
|
вения тел. Если поверхность горизонтальная и |
|||||||||
r |
|
|
|
|
покоится, то модуль силы реакции опоры N ра- |
|||||
Fтр. |
|
|
|
|
вен модулю силы тяжести Fт. , а сила трения Fтр. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Fr |
= mgr |
, действующая на тело, направлена противопо- |
||||||
|
|
ложно движению этого тела (рис. 1). |
|
|||||||
|
|
т. |
|
Если тело круглое, то имеем дело с силой |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
Рис. 1 |
|
трения качения, равной |
|
||||||
|
|
|
|
|
F |
=μ |
|
N |
, |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
тр. |
|
к |
R |
|
|
46
где µк – коэффициент трения качения, N – сила реакции опоры, направленная перпендикулярно поверхности соприкосновения
тел, Fтр. – сила трения, направленная противо-
положно движению тела, R – радиус кривизны |
r |
υ |
катящегося тела (рис. 2). Очевидно, что сила |
N |
|
трения качения также зависит от радиуса катя- |
Fтр. |
R |
|
||
щегося тела. |
|
|
Отметим, что в случае качения абсолютно |
|
Frт. = mgr |
недеформируемого цилиндра по абсолютно не- |
|
|
деформируемой поверхности не будет потери |
|
|
энергии на трение, хотя сила трения покоя суще- |
Рис. 2 |
|
ствует и обеспечивает качение. В реальных ус- |
|
|
ловиях имеются потери кинетической энергии даже при качении без скольжения. Это происходит, потому что деформации не являются абсолютно упругими. Рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 3. При деформации цилиндр «сплющивается», что в увеличенном размере показано на рис. 3, пунктиром обозначен нижний обод цилиндра при отсутствии его деформации. В случае упругой деформации (рис. 3а) равнодействующая сил, действующих со стороны поверхности, проходит через центр цилиндра и имеет лишь вертикальную составляющую, которая уравновешивает его силу тяжести. Никакой горизон-
υr
Fr
υr
Fr
а |
б |
Рис. 3
тальной силы нет. Следовательно, не возникает и сила трения качения. Равен нулю также момент силы относительно центра цилиндра, значит, нет торможения вращательного движения. Если деформация является неупругой (рис. 3б), то равнодействующая сила не проходит через центр цилиндра и имеет горизон-
тальную составляющую, которая направлена против скорости движения υ и является силой трения качения. Момент равнодействующей силы также не равен нулю и тормозит вращательное движение. В результате действия сил трения качения (см. формулу (2)) кинетическая энергия превращается во внутрен-
47
нюю энергию через посредство неупругих деформаций.
Описание установки и метода измерения
Для определения коэффициента трения используется следующая установка (рис. 4). На основании 1 установлена стойка 2, положение которой регулируется крепёжным винтом 3. Основание 1 снабжено регулируемыми ножками 4. На верхнем конце стойки установлен кронштейн 5, на кронштейне крепится шар 6 или обойма маятника скольжения с усечённым шаром (на рисунке
|
|
13 |
5 |
6 |
|
12 |
10 |
|
7 |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
11 |
|
|
|
9 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
Рис. 4 |
|
не показаны). Положение кронштейна регулируется винтом 13. К кронштейну также крепится панель 7 со шкалой отсчёта угла отклонения маятника 8 и шкалой отсчёта угла наклона панели 9. Вертикальное положение панели регулируется винтом 10 и определяется по насечке 11, находящейся на стойке в нижней её части. На панель устанавливается сменная пластина 12, по которой скользит или катится маятник.
Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с коэффициентом трения скольжения. При скольжении маятника по наклонной плоскости сила трения совершает работу. Эта работа уменьшает полную энергию маятника. Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергий. В тех положениях, где маятник максимально отклонён от положения равновесия, его скорость равна нулю, следовательно, и кинетическая энергия также равна нулю. Эти точки называются точками поворота – вектор скорости разворачивается на 180º. В них маятник останавливается и начинается двигаться обратно. В момент остановки энергия маятника равна потенциальной энергии, поэтому уменьшение потенциальной энергии маятника при его движении от одной точки поворота до другой равна работе силы трения на пути между точками поворота.
Пусть A – точка поворота (рис. 5а). В этом положении нить маятника составляет угол α с осью OO'. Если бы трения не было, то через половину перио-
48
да маятник оказался бы в точке N, а угол отклонения был бы равен α. Но из-за трения маятник немного не доходит до точки N и останавливается в точке B. Это и будет точка поворота. В этой точке угол нити с осью OO' будет α – α. За половину периода угол поворота маятника уменьшился на угол α. Точка B расположена несколько ниже, чем точка A, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке B меньше, чем в точке A. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из A в B. При этом уменьшилась амплитуда колебаний.
Найдем связь между потерей угла |
α и потерей высоты h. Для этого |
|||
спроецируем точки A и B на ось OO' (рис. 5б). Это будут точки A' и B' соответ- |
||||
ственно. Из треугольника OB′B и треугольника OAA′ (см. рис. 5а) следует, что |
||||
длина отрезка A′B′ равна |
|
|||
|
A' B' |
|
= l = l cos(α − |
α)−l cos(α), |
|
|
|||
|
|
O |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
Δα |
α |
α |
|
γ |
|
|
γ |
|
h |
||
|
|
|
|||
|
A' |
l |
l |
A' |
|
|
|
|
|||
N |
B' |
|
|
B' |
|
B |
S |
A β |
|
|
|
|
β |
|
|||
O' |
|
|
O' |
|
|
|
|
|
|
||
а |
|
|
|
б |
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
где l – длина нити, равная радиусу дуги AB окружности (l = OA = OB). При этом угол этой дуги равен 2 α – α, длина дуги
S =l(2α− α).
Так как ось OO' наклонена под углом β к горизонту, то проекция отрезка
l на вертикальную ось и есть потеря высоты |
h: |
|
h = l sinβ =l sinβ(cos(α− |
α)−cos(α)). |
(3) |
При этом изменение потенциальной энергии маятника между точками A и B определяется формулой
W = mg h , |
(4) |
49
где m – масса маятника, g – ускорение свободного падения. Вычислим теперь работу силы трения. Так как сила трения
Fтр = μc N , |
(5) |
где N = mgcosβ – сила нормального давления маятника на наклонную плоскость, то работа силы трения на пути s =l(2α− α) между точками A и B равна
|
Aтр = μcmgl cosβ(2α− α). |
|
(6) |
||||||
Так как W = Aтр , то из уравнений (3), (4) и (6) получаем |
|
||||||||
|
μсctgβ = cos(α − |
α)−cos α , |
(7) |
||||||
|
|
|
|
2α − |
α |
|
|
||
Выражение (7) можно существенно упростить, если учесть, что угол |
|||||||||
α очень |
мал. Так как α ≈ 0 , |
то cos α ≈1, |
sin α ≈ α и cos(α− |
α)= |
|||||
= cosαcos |
α +sin αsin α ≈ cosα + |
αsin α. |
|
|
|
|
|
||
Поэтому формулу (7) можно записать так: |
|
|
|
|
|
||||
|
μсctgβ = |
αsin α |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
2α− α |
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = 2μсctgβ |
|
α |
|
|
. |
(8) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
sin α +μсctgβ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Из формулы (8) видно, что потеря угла и амплитуды колебания за половину периода определяется величиной μс и углом α. Однако при незначитель-
ных углах отклонения наклонной плоскости от вертикали (β = 90º – γ ≈
≈90º) угол α от угла α практически не зависит.
Сдругой стороны, пусть углы α будут малыми, т.е. α <<1 и sin α ≈ α, тогда за половину колебания потеря угла
α = 2μсctgβ. |
(9) |
Заметим, что формула (9) справедлива при условии
50