- •Ортогональные проекции точки
- •1.1 Метод проекций
- •1.2 Инвариантные свойства ортогонального проецирования
- •1.3 Проецирование точки на три плоскости проекций
- •1.4 Комплексный чертеж точки (эпюр монжа)
- •1.5 Алгоритм построения комплексного чертежа точки
- •1.6 Построение комплексного чертежа точки, принадлежащей пространству
- •1.7 Построение комплексного чертежа точки, принадлежащей плоскости проекций
- •1.8 Построение комплексного чертежа точки, принадлежащей оси
- •1.9 Взаимное положение точек
- •Фронтально
- •2. Ортогональные проекции прямой линии
- •2.1 Положение прямой относительно плоскостей проекций
- •2.2 Принадлежность точки прямой
- •2.3 Построение проекций точки, принадлежащей прямой
- •2.4 Следы прямой линии
- •2.5 Построение следов прямой общего положения
- •2.6 Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения
- •2.7 Взаимное положение прямых
- •2. 8 Построение конкурирующих точек на скрещивающихся прямых
- •Вопросы для самопроверки
- •Тест № 2
Ортогональные проекции точки
Начертательная геометрия является одной из фундаментальных наук, составляющих основу инженерно-технического образования. Она изучает методы изображения пространственных геометрических фигур на плоскости и способы решения метрических и позиционных задач в пространстве по этим изображениям.
1.1 Метод проекций
Под проецированием подразумевается процесс, в результате которого получаются изображения – проекции на плоскости.
Основными элементами проецирования являются:
Проецируемый объект (точка А).
Плоскость проекций (плоскость П1).
Центр проецирования S.
Проецирующий луч i.
Проецирующий луч (рис.1) выходит из центра проецирования S через точку А до пересечения с плоскостью П1. Точка пересечения А1 является проекцией точки А.
А1 = i П1
Если центр проецирования находится на определенном расстоянии от плоскости проекций (рис.2), то такое проецирование называется центральным.
Полученное изображение дает представление только о форме предмета, но не о его размерах, т.к. изображение получается увеличенным. Центральное проецирование применяют для изображения предметов в перспективе.
Если центр проецирования удален в бесконечность (рис.3), то все проецирующие лучи становятся параллельными и проецирование называется параллельным.
В зависимости от направления проецирования к плоскости проекций параллельное проецирование разделяют на косоугольное и прямоугольное (ортогональное).
Если угол наклона проецирующего луча к плоскости проекций меньше 900, то проецирование называется косоугольным (рис.4) .
Если проецирующий луч перпендикулярен плоскости проекций, то проецирование называется ортогональным (рис.5).
Этот метод широко используется при составлении чертежей, т.к. имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием. К ним относятся простота геометрических построений ортогональных проекций точек и сохранение на проекциях, при определенных условиях, формы и размеров проецируемой фигуры.
1.2 Инвариантные свойства ортогонального проецирования
Геометрические фигуры в общем случае проецируются на плоскость проекций с искажением. Проекции не сохраняют линейные и угловые величины оригинала. Характер этих искажений зависит от положения геометрической фигуры в пространстве и от аппарата проецирования.
Однако некоторые свойства фигур остаются неизменными в процессе проецирования. Такие свойства называются независимыми или инвариантными для данного аппарата проецирования.
Проекция точки есть точка (рис.6).
Проекция прямой есть прямая (в общем случае).
Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции прямой.
В[АС] В1 [ А1С1]
Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков.
Если прямые параллельны, то и их проекции параллельны между собой.
Аb a1b1
Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых (рис.7).
Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин.