§14. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть X₁, Х₂, ..., Х_п − последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

M(X_k) = a_k, D(X_k) =

Введем обозначения:

S_n = X₁ + Х₂ + ... + Х_п,

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

Говорят, что к последовательности Х₁, Х₂,… применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при n   стремится к нормальной функции распределения:

В частности, если все случайные величины Х₁, Х₂, … одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин X_i (i = l,2, ...) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для  > 0 при n   отношение Ляпунова

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности X₁, Х₂, . .. применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (S_n − А_п)/В_п оказывало на сумму ничтожное влияние.

Тема 4. Выборочный метод

§1. Статистическое распределение выборки

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка х₁, х₂, ..., х_k объема n. Наблюдавшиеся значения х_i признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, − вариационным рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант х_i вариационного ряда и соответствующих им частот n_i (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот w_i (сумма всех относительных частот равна единице).

Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).