3.9 О записи линеаризованных уравнений звеньев

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения звеньев в двух стандартных формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются , чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены – в правой части. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (3.139) к такому виду, введем обозначения:

(3.142)

Тогда уравнение (3.139) примет вид

(3.143)

В случае, если нелинейная функция F не содержит величины х₃, а содержит только ее производные, т. е. если

в формулах (3.142) необходимо заменить на В результате получится уравнение

(3.144)

где

Уравнения (3.143) и (3.144) удобнее записывать в символической форме, введя алгебраизированный оператор дифференцирования Тогда уравнение (3.143) примет вид

(3.145)

а уравнение (3.144) –

(3.146)

Рис. 3.22

Эти записи надо рассматривать только как сокращенную форму более полных записей (3.143) и (3.144).

Стандартные формы записи уравнений звеньев автоматических систем (3.143) и (3.144) или их сокращенные виды (3.145) и (3.146) можно использовать как для размерных отклонений реальных вели­чин на входе и выходе звена, так и для любых безразмерных относительных отклонений, спе­циально иногда вводимых для упрощения вида уравнений и удобства их исследования. При записи уравнений в стандартной форме коэффициентыназываютсякоэффициентами передачи, а–постоянными времени данного звена.

В случае звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, для коэффициентов передачи используются также следующие термины:

1) коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель;

2) передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т.д.

Термин «коэффициент передачи» можно пояснить следующим образом. Если подать на вход звена только постоянное значение (рис. 3.22,б) и найти установившееся значение выходной величины (рис. 3.22,в), то из (3.143) получим Таким образом, коэффициентпоказывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме.

Следовательно коэффициент передачи определяет собой наклон (с учетом масштабов по осям) линейной статической характеристики звена (рис. 3.22, а). Заметим, что не линейную характеристику звена часто называют характеристикой с переменным по входной величине коэффициентом передачи. Из (3.143) очевидно, что

В размерность коэффициента передачи может входить также время t. Так, из уравнения (3.143) следует, что

а из уравнения (3.144) следует, что для такого звена

,

Постоянные времени Т₁, Т₂ и Т₃, как следует из уравнений (3.143) и (3.144), имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования

алгебраической величиной, решим уравнение (3.145) относительно выходной величины:

(3.147)

Выражения

(3.148)

(3.149)

(3.150)

называются в теории регулирования передаточными функциями. Уравнение (3.147) можно представить в виде

(3.151)

Выражения (3.147) и (3.151) представляют собой символическую запись дифференциального уравнения (3.143).

Передаточные функции, формулы для которых устанавливаются выра­жениями (3.148) – (3.150), вводятся для сокращения записи дифференциаль­ных уравнений и также представляют собой символическую запись диффе­ренциальных уравнений.

Более строго передаточная функция определяется через изображения Лапласа или Карсона – Хевисайда (см. главу 7). Если ввести изображения, например по Лапласу, входных и выходных величин звена:

где комплексная величина, то передаточную функцию (3.148) можно строго определить как отношение изображений выходной и входной величин звена:

(3.152)

при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях на звено;и. Аналогичным образом можно определить передаточные функции (3.149) и (3.150). Поэтому вместо дифференциального уравнения (3.151), куда входят функции времени и , можно написать при нулевых начальных условиях уравнение для изображений в виде совпадающем по форме с (3.151):

(3.153)

или в развернутом виде:

(3.154)

В двух последних выражениях фигурируют не функции времени, а их изображения: и, где комплексная величина.

В изображениях Лапласа и Карсона – Хевисайда комплексная величина часто обозначается той же буквой р, что и оператор дифференцирования, причем . В этом случае уравнение (3.153) будет иметь вид

(3.155)

Здесь, как и в уравнении (3.153), фигурируют изображения функций и.

Рис. 3.23

В дальнейшем будет употребляться символ дифференцирования для символической записи дифференциальных уравнений, куда входят функции времени и т.д., и комплексная величина для записи уравнений с изображениями функций времени по Лапласу или Карсону – Хевисайдуи т. д. Запись передаточных функций звена и в том и в другом случае сливаетсяв одну: и т.д.Однако в передаточных функциях буква р будет означать символ дифференцирования или комплексную величинув зависимости от того, рассматриваются функции времени или их изображения.

Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемых структурных схем. Так, например, звено, изображенное на рис. 3.1, после линеаризации, которая была проделана в предыдущем параграфе, можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис. 3.23.

Передаточные функции звеньев или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы в виде (3.147) или (3.154), а в дальнейшем в случае необходимости перейти к исходному дифференциальному уравнению вида (3.143). Подобным же образом могут быть получены передаточные функции и структурные схемы и для других дифференциальных уравнений звеньев, например для рассмотренного выше уравнения (3.144). Подробнее этот вопрос изложен в § 5.4.