3.2 Передаточные функции систем автоматического регулирования

Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (3.2) и (3.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 3.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу.

Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от регулируемого объекта (РО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.

Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением

(3.8)

где х – рассогласование на выходе чувствительного элемента, – передаточная функция цепи регулирования.

Регулируемая величина может быть найдена из выражения

(3.8)

где W_o (p) – передаточная функция регулируемого объекта по регулирую­щему воздействию, – передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию .

Рис. 3.1

Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие . При наличии нескольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет просуммировать члены вида гдеи – возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению.

Подставляя (3.7) в (3.8), получаем

(3.9)

Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы

(3.10)

где R (р) и Q (р) представляют собой некото­рые полиномы от р.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю:

(3.11)

где – комплексная величина.

Применительно к функциям времени, которые использовались в форму­лах (3.7) – (3.9), передаточная функция разомкнутой системы дает воз­можность в символической или операторной форме записать дифференциаль­ное уравнение, связывающее регулируемую величину у (t) с ошибкой х (t) в разомкнутой системе:

(3.12)

где – алгебраизированный оператор дифференцирования.

Учитывая (5.10), формулу (3.12) можно также записать в виде

(3.13)

Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое зна­чение в теории автоматического регулирования, так как многие методы анали­за и синтеза основаны на использовании именно этой функции.

Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно запи­сать так называемое уравнение замыкания:

(3.14)

Решая (3.9) и (3.14) совместно, получаем для регулируемой величины

(3.15)

и для ошибки

(3.16)

Выражение

(3.17)

называется передаточной функцией замкнутой системы или главным опера­тором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регу­лируемой величиной и задающим воздействием при равенстве нулю возму­щающих воздействий:

(3.18)

Выражение

(3.19)

называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий:

(3.20)

Как и ранее, формулы (3.15), (3.16), (3.18) и (3.20) представляют собой символическую (операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины Y (р) и управляющего воз­действия G (р) при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений:

35.21)

а передаточную функцию по ошибке – как отношение изображений ошибки X (р) и управляющего воздействия G (р):

(3.22)

также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений.

Из формул (3.15) и (3.16) видно, что введение автоматического регу­лирования «уменьшает» отклонение регулируемой величины под действием возмущающих воздействий в раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (3.9), когда цепь регулирования разорвана и авто­матическое регулирование отсутствует.

Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора р. В результате сравне­ния формул (3.2) и (3.16), а также (3.5) и (3.15) видно, что полиномы R (р) и Q (р) в выражении (3.10) совпадают с аналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе.

Полином

(3.23)

называется характеристическим.

Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристи­ческое уравнение системы:

(3.24)

Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (3.15) или (3.16):

(3.25)

Так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного решения, приравненный нулю.

Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и регулируемой величины функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.

Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее (см. ниже, § 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями:

по передаточной функции замкнутой системы (3.17)

(3.26)

по передаточной точной функции для ошибки (3.19)

(3.27)

по дифференциальному уравнению для ошибки (3.2) или по дифференциальному уравнению для регулируемой величины (3.5)

(3.28)