2.3 Описание программы

Структура программы довольно проста. Она имеет цикл по частоте возмущений, который начинается с того, что считываются входные параметры, приведённые в таблице 2, далее по формулам (28) и (29) вычисляется распределение плотности и давления по радиусу, после чего решается система однородных дифференциальных уравнений (27), которая после линеаризации [16] принимает вид:

,

,

,

,

,

,

.

Таблица 2.1. 

Параметр	Значение
M	352 грамммоль-1
rвнеш	0,065 м
rвнут	0,0001 м
Ω	2π 1700 с-1
T0	300 K
P	10665 Па
K	2π 10 - 2π 200 м-1
cp	385 Дж кг-1 К-1
μ	1,83 10-5 Па с
J	2π 868 – 2π17376с-1
Λ	0,0061 Втм-1 К-1
R	8,314462 м2 кг с-2 К-1 Моль-1
G	1,067

где M– молярная масса гексофторида урана (UF₆),r_внеш –внешняя граница расчетов, r_внут – внутренняя граница расчетов, ω – круговая частота вращения ротора, T₀ – температура на внешней границе, p – давление на внешней границе, k – волновое число задаваемых возмущений,  c_p – удельная теплоемкость гексофторида уранаUF₆при постоянном давлении,μ –динамическая вязкость гексофторида уранаUF₆, j – частота задаваемых возмущений,  λ – теплопроводность гексофторида уранаUF₆,R – универсальная газовая постоянная, g – показатель адиабаты.

Далее по формуле:,где считается суммарная энергия волны.По полученным значениям строится график зависимости энергии волны от частоты вращения ротора.

Рис.7. Пример расчетного графика зависимости энергии волны от её частоты

Далее, предполагая вид кривой:

,

где aиb– искомые параметры,

проводится интерполяция полученных значений к данному виду.

	Рис.8. 

2.4 Верификация

	Верификации данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения равную нулю и теплопроводность близкую к нулю (теплопроводность в программе нельзя задать нулевой, иначе уравнения вырождаются и Maple не понимает, как считать систему) и используем граничные условия свободного скольжения на стенках. Построив теоретический график зависимости суммарной энергии системы от частоты возмущений, и сравнив его с полученным численно, легко понять, что на данном этапе метод даёт правильный результат.Рис.9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком газеНиже представлены теоретическая и интерполированная функции для данного случая:Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими.Рис.10. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком теплопроводящем газеЗдесь представлены теоретическая и подобранная программой функции для данного случая:Отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.Убедившись в правильности вычисления резонансных кривых удостоверимся в правильности метода в целом. Для этого рассмотрим два случая, которые имеют аналитическое решение.Первый случай - это покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом. Выше для этого случая выводилось:,                                        (31)здесь считаем, что член со второй вязкостью не внесёт существенной поправки.Для наглядности преобразуем (31) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:(32)Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.Рис.11. Графики зависимости дальности затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе.– экспериментальный график,– теоретический графикВидно, что зависимость имеет степенной характер. Более того отклонение от теоретического оказывается даже меньше, чем для предыдущих случаев и составляет 0,52%. Далее рассмотрим второй случай - покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:

также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(33)

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Рис.12. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом трения на внешней стенке в логарифмическом масштабе. – экспериментальный график,– теоретический графикОкончательно, зная, что формула (32) учитывает только поглощение за счёт вязкости и теплопроводности, формула (33) учитывает поглощение за счёт трения о стенку, производим расчет, учитывающий оба этих явления.И сравниваем результат с теоретическими предсказаниями, которые складываются из первого и второго эффекта по формуле:

(34)

на рис.13 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид. 

Рис.13. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - экспериментальный график учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке,- теоретический график учитывающий вязкость и теплопроводность,- теоретический график учитывающий трение на внешней стенке,- теоретическая зависимость рассчитанная по формуле (34)

	Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах k асимптотически стремятся к зависимости, учитывающую трение о стенку, а при больших волновых числах k учитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа.