1.3.Затухание звуковых волн

Одной из главных причин затухания звуковых волн в газе, является наличие вязкости и теплопроводности, приводящее к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т.е. его интенсивность постепенно уменьшается. Выведем формулу использующуюся в данной работе для расчета коэффициента затухания звука, учитывающую диссипацию энергии за счет молекулярной вязкости и теплопроводности.

Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Е_мех воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия. Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратным образом (т.е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому:

Е_мех = Е₀-Е(S),

Где Е₀есть заданное начальное значение энергии тела в состоянии равновесия с той же энтропиейS, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем:

Е_мех = - Е(S) = - S.

Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому

– температура, которую имело бы тело, если бы оно находилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру какТ₀имеем, следовательно:

Е_мех = Т₀ S.

Воспользуемся для S выражением:

, (14)

включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так и вязкостью. Поскольку температура Тмало меняется вдоль жидкости и мало отличается отТ₀, то можно вынести ее из-под знака интеграла и писатьТ вместо Т₀:

.

Эта формула представляет собой обобщение формулы

на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.

Пусть ось х совпадает с направлением распространения звуковой волны. Тогда

Два последних члена в (14) дают

.

Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает

.

(V₀– объем жидкости).

Далее, вычислим первый член в (14). Отклонение Т′ температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой

так что градиент температуры равен

.

Для среднего по времени значения от первого члена в (14) получаем:

.

С помощью известных термодинамических формул

(15)

можно переписать выражение в виде

.

Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде

(16)

Полная же энергия звуковой волны равна

. (17)

Для звука имеем дело с задачей, в которой звуковая волна распространяется вдоль жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного расстояния x. Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону, а для амплитуды как –, где коэффициент поглощения γ определяется посредством

. (18)

Подставляем сюда (16) и (17), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука[10]:

, (19)

которое используется для расчёта объёмного эффекта затухания звуковых волн при верификации.