3. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть заданы две прямоугольные системы координат  и.

Рассмотрим две плоские области: область на плоскостии областьна плоскости(рис. 3.1). Допустим, что в областиопределена система непрерывных и однозначных функций

(3.1)

которая каждую точку областиотображает в единственную точкуобласти.

Пусть функции системы (3.1) разрешимы относительно переменных ии полученные функции однозначны и непрерывны:

(3.1а)

Система (3.1а) отображает каждую точку областив единственную точкуобласти.

Считают в этом случае, что формулы (3.1) и (3.1а) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей и.

Рис. 3.1

Элементарная площадка на плоскости  отображается в элементарную площадкуна плоскостии при этом как-то искажается (растягивается или сжимается).

Рассмотрим геометрический вывод для коэффициента искажения элемента площади при преобразовании координат, предложенный М.В. Остроградским. Этот вывод обладает очевидным преимуществом наглядности, хотя и не вполне строг.

Выделим на плоскости бесконечно малый прямоугольниксо сторонамии, параллельными координатным осям. На плоскостьон отобразится в криволинейный четырёхугольник(рис. 3.1).

Определим его площадь. Вершины прямоугольника на плоскости имеют координаты:

.

Соответствующие вершины четырёхугольника на плоскостибудут иметь следующие координаты:

Если ограничиться членами первого порядка относительно и, координаты точек можно представить так:

,

,

,

.

Все производные здесь вычислены в точке . Поскольку проекции отрезковина обе оси соответственно равны, четырёхугольникесть параллелограмм (с точностью до малых высшего порядка).

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов и. Векторы в компонентах можно записать так:

,

,

и вычислить модуль их векторного произведения:

.

Определитель, элементами которого являются частные производные, называется определителем Якоби, или якобианом. В правой части равенства представлена его компактная запись.

Для якобианов известно следующее соотношение:

, (3.2)

или в подробной записи:

.

Двойной интеграл при замене переменных

преобразуется следующим образом:

. (3.3)

Наиболее важным и часто используемым примером криволинейных координат являются полярные координаты , где радиус-вектор точки,  полярный угол, отсчитываемый от направления полярной оси, совпадающей с осью , в направлении против часовой стрелки.

Декартовы и полярные координаты связаны соотношениями

.

Взаимно однозначное соответствие между декартовыми и полярными координатами имеет место лишь при выполнении ограничений, наложенных на величины и.

Якобиан в этом случае

,

а двойной интеграл преобразуется так:

. (3.4)

Пример 3.1. При какой замене переменных криволинейный четырёхугольник , ограниченный линиями

,

превратится в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и(рис. 3.2)?

Рис. 3.2

Решение. Замена переменных решает задачу. Границы искомого прямоугольникабудут иметь уравнения:

Пример 3.2 Вычислить двойной интеграл:

,

где  параллелограмм, ограниченный прямыми линиями:

, (рис. 3.3).

Произведем замену переменных:

(3.5)

Область интегрирования отобразится в прямоугольник, границы которого имеют уравнения:

.

Из системы (3.5) легко получить соотношения и вычислить якобиан преобразования координат:

.

Рис. 3.3

Вычислим интеграл:

.

Пример 3.3. Вычислить интеграл:

по области , заключенной между параболамии гиперболами(рис. 3.4).

Решение. Произведём замену переменных:

Рис. 3.4

Область будет отображена в область, ограниченную прямыми

При вычислении якобиана учтём соотношение (3.2):

.

Вычислим интеграл:

.

Пример 3.4. Вычислить двойной интеграл:

.

Область представляет собой часть круга, не принадлежащую кругу(рис.3.5). (Первый из кругов смещён вправо по осина радиус, центр второго – в начале координат. Интеграл определяет площадь области.)

Решение. Перейдём к полярным координатам:

Рис. 3.5

Уравнения границ области в полярных координатах преобразуются следующим образом.

Первое уравнение:

.

Второе уравнение:

.

В соответствии с формулой (3.4) интеграл принимает вид

.

Вычислим внутренний интеграл:

.

Полученный результат подставим во внешний интеграл и продолжим вычисления:

.

(Переход к интегралу по половине симметричного промежутка интегри-рования возможен потому, что подынтегральная функция чётная. Результат интегрирования при этом, естественно, удваивается.)

Пример 3.5. Вычислить интеграл:

.

Область ограничена лемнискатой (рис. 3.6)

.

Решение. Перейдём к полярным координатам:

Подставим эти соотношения в уравнение лемнискаты и в подынтегральное выражение:

.

.

Рис. 3.6

Две петли лемнискаты существуют при  правая, и при  левая. В промежутках икривая не существует.

Интеграл в полярных координатах принимает вид

.

Появление коэффициента 4 перед повторным интегралом объясняется тем, что интеграл вычисляется по четверти области .

Вычислим внутренний интеграл:

.

Подставим полученное выражение во внешний интеграл и вычислим его:

.

Пример 3.6. Вычислить двойной интеграл

по области , ограниченной эллипсом.

Рис. 3.7

Этот интеграл определяет объём половины эллипсоида:

,

расположенной выше плоскости при(рис. 3.7).

Решение. Введём обобщённые полярные координаты:

Найдём якобиан преобразования:

.

Преобразуем подынтегральное выражение и уравнение границы области :

,

.

Область в результате замены переменных преобразовалась в круг единичного радиуса. Вычислим интеграл:

.

Пример 3.7. Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом

и плоскостью (рис. 3.8).

Решение. Линия пересечения параболоида и плоскости – окружность:

.

Объём тела вычисляется с помощью интеграла:

,

где область ограничена окружностью.

Перейдём к полярным координатам и вычислим интеграл:

.

Рис. 3.8

Пример 3.8. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

Решение.

Тело представляет собой цилиндр с вертикальными образующими, снизу ограниченный плоскостью , а сверху – параболоидом, уравнение которого записано первым. Основание цилиндра – круг радиусомс центром, смещённым вправо по осина радиус (уравнение второе). В большем круге вырезано круглое отверстие радиусом, тоже смещённое вправо по осина радиус (уравнение третье). Тело симметрично относительно плоскости, поэтому вычисляем объём половины тела и удваиваем результат. Вычисления произведём в полярных координатах:

.

Преобразуем уравнения:

,

.

Вычислим объём тела:

,

поскольку интегралы от косинусов обращаются в нуль. Например:

Пример 3.9 Вычислить объём тела, образованного пересечением параболоида

и плоскости .

Решение. Тело ограничено снизу параболоидом, сверху плоскостью. Объём его можно рассматривать как разность объёмов вертикальных цилиндров с общим основанием на плоскости. Основание ограничено линией, являющейся проекцией на плоскостьлинии пересечения параболоида и плоскости. Чтобы получить уравнение границы области, исключимиз уравнений параболоида и плоскости:

.

Это  окружность радиусом с центром в точке.

Вычислим объём тела:

.

Перенесём начало координат в центр окружности и перейдём к полярным координатам:

.

Тогда

.

Решить самостоятельно: [1] № 3564, 3565, 3567, 3568, 3575, 3577, 3587, 3588.