1.3. Свойства двойных интегралов

1. Если изменить значение интегрируемой в области функциивдоль кривой, оставляя функцию ограниченной, то изменённая функциятакже интегрируема в областии верно соотношение

.

2. Если область разделить кривойс нулевой площадью на две частии, то справедливо равенство

,

и из существования интеграла слева от знака равенства следует существование интегралов справа, а из существования интегралов справа следует существование интеграла слева.

3. Если интегрируемую в области функцию умножить на число, то полученная функция также будет интегрируемой и верно равенство

.

4. Если в области интегрируемы функциии, то интегрируема и функцияи выполняется соотношение

.

5. Если в области интегрируемы функциии, то интегрируемо и произведение этих функций.

6. Если для интегрируемых в функцийивыполняется неравенство, то и для интегралов справедливо следующее неравенство

.

7. Если в области интегрируема функция, то функциятакже интегрируема и справедливо неравенство

.

8. Если интегрируемая в области функция удовлетворяет неравен-ству

,

то

или.

Обозначим ,

тогда

. (1.6)

Это  теорема о среднем. Здесь  среднее значение функции в области.

Пусть непрерывна в, область связна, а и принимаемые функцией в области наименьшее и наибольшее значения. Согласно теореме Вейерштрасса они существуют. Тогда по теореме Больцано – Коши функцияпринимает и все промежуточные значения, лежащие междуи. Следовательно, в областинайдётся точка, в которой, а соотношение (1.6) принимает вид

. (1.7)

9. Если функции иинтегрируемы в области, функциясохраняет знак всюду в этой области, аи точные нижняя и верхняя грани функции в области, то есть

,

то, умножив все члены неравенства на функцию и проинтегрировав, получим

.

После простых преобразований получим соотношение

, (1.8)

где

.

Это обобщенная теорема о среднем, или формула усреднения со статистическим весом. Здесь  весовая функция.

Если функция непрерывна в, а область связна, то в области найдётся точка, в которой, а соотношение (1.8) принимает вид

. (1.9)

2. Вычисление двойных интегралов

Ранее мы уже имели дело с задачей определения объёма тела. Вспомним вытекающую из идей Кеплера формулу для вычисления объёма (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Пусть тело ограничено плоскостями и. Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси, есть, то объём тела, если он существует, выразится формулой

. (2.1)

Применим эту формулу к вычислению объёма цилиндрического бруса. (рис. 2.2). Начнём рассмотрение с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник . Сечение бруса плоскостьюесть криволинейная трапеция. Уравнение кривой, очевидно, будет

.

Площадь криволинейной трапеции, полученной сечением бруса плоскостью , равна

.

Рис. 2.2

Так как наше рассуждение справедливо для любого сечения , то каждому значениюсоответствует некоторое значение:

.

Это значит, что площадь сечения бруса есть функция переменной.

Подставив в формулу (2.1), получим

. (2.2)

Тем самым двойной интеграл приведен к повторному интегралу.

Аналогичный результат можно получить и для общего случая, когда область на плоскостипредставляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми:

и двумя прямыми и.

Разница по сравнению с рассмотренным случаем, состоит в том, что если раньше при любом фиксированном изменениепроисходило в одном и том же промежутке, то теперь этот промежуток

сам зависит от выбора , аопределяется интегралом с переменными пределами:

,

а формула перехода к повторному интегралу для области с криволинейными границами принимает вид

. (2.3)

Правомерность перехода от двойного интеграла к повторному обоснована следующими утверждениями.

Пусть существуют двойной интеграл

и при каждом фиксированном значении простой интеграл

.

Тогда существует повторный интеграл, равный двойному интегралу

. (2.4)

Если же при каждом фиксированном существует простой интеграл

,

то существует другой повторный интеграл, также равный двойному:

. (2.5)

Если функция непрерывна в области, то оба повторные интеграла равны между собой.

Предполагается, что область достаточно простая, и любая прямая, параллельная одной из осей координат, пересекает её границу не более чем в двух точках. В более сложных случаях областьразбивается на части таким образом, чтобы сформулированное требование выполнялось в каждой части.

Рассмотрение примеров начнём с простых прямоугольных областей.

Пример 2.1. Вычислить двойной интеграл

по области

Решение. Перейдём к повторному интегралу:

.

Вычислим сначала интеграл, стоящий в фигурных скобках (он называется внутренним интегралом). Считая переменнуюпостоянной, находим

.

Полученную функцию подставим во внешний интеграл и проинтегрируем по переменной .

.

Таким образом, интегрирование двойного интеграла доведено до числового результата.

Пример 2.2. Вычислить двойной интеграл

Решение. Перейдём к повторному интегралу:

.

Вычислим внутренний интеграл, считая постоянным:

.

Здесь под знак дифференциала добавлены константы 2 и , что всегда возможно, так как производная константы равна нулю.

Полученную функцию подставим во внешний интеграл и проинтегрируем:

.

Пример 2.3. Вычислить двойной интеграл

Решение. Перейдём к повторному интегралу и не будем отдельно выписывать вычисление внутреннего интеграла:

.

Рассмотрим примеры, в которых область интегрирования имеет более сложную форму.

Пример 2.4. Вычислить двойной интеграл:

,

Область ограничена линиями.

Решение. Представим на чертеже область (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Контур этой области пересекается всякой прямой, параллельной оси в двух точках. Поэтому интегрирование во внутреннем интеграле следует проводить по переменной:

.

Область на осьпроецируется в отрезок. Этим определены нижний 0 и верхний 4 пределы изменения переменнойво внешнем интеграле.

Область ограничена снизу прямой, сверху – прямой. Переменнаяизменяется в этих же пределах. Тем самым определены пределы интегрирования для внутреннего интеграла. Следует понимать, что пределы для внутреннего интеграла – всегда функции, которые могут принимать постоянные числовые значения лишь в частных случаях!

Вычислим внутренний интеграл:

.

Полученную функцию переменной подставим во внешний интеграл и вычислим его:

.

Вычислим теперь тот же интеграл, изменив порядок интегрирования. Внутреннее интегрирование будем производить по переменной , а внешнее – по переменной. Из чертежа видно, что левая граница области одна линия с уравнением , а правая состоит из двух частей, описываемых разными уравнениями:

В этом случае область интегрирования следует разбить на две части так, чтобы правая граница каждой части области описывалась одним аналитическим выражением. Тогда интеграл будет представлен суммой двух интегралов:

,

где .

Граница между областями ипроходит по линии.

Спроектировав каждую из частичных областей на ось , получим пределы внешних интегралов: в первом это 0 и 2, во втором  2 и 4.

Выбрав на отрезке произвольную точкуи проведя через неё прямую, параллельную оси, замечаем, что переменнаяв областиизменяется отна левой границе области дона правой границе области. Это и будут пределы для внутреннего интеграла по области.

Проведя аналогичные рассуждения для области , получим пределы внутреннего интегралаи.

Вычислим первый из полученных интегралов

.

Вычислим внутренний интеграл

Полученный результат подставим во внешний интеграл и проинтегрируем:

.

Вычислим второй интеграл, не производя отдельного вычисления внутреннего интеграла:

.

Сложив результаты вычисления интегралов и, получим:

.

Из этого примера видно, что выбор порядка интегрирования не безразличен. Выбрав порядок интегрирования рационально, можно сократить вычисления.

Пример 2.5. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл

,

если  область, ограниченная кривыми и.

Решение. Область изображена на рис. 2.4. График первого уравнения – парабола, симметричная относительно осис вершиной в точке, график второго – прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Точки пересечения этих линийи.

Рис. 2.4

Границы области пересекаются любой линией, параллельной оси, не более чем в двух точках, а уравнения левой и правой границ областиостаются неизменными во всей области изменения. Следовательно, разделять областьна части нет необходимости, а двойной интеграл сведётся к одному повторному:

.

Если изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, то область придется разбить на две части прямой, так как линия,

ограничивающая область снизу, на различных промежутках изменения переменной определяется различными уравнениями, а именно: если , то, а если, то. Верхняя граница области во всём промежутке изменения переменнойописывается одним уравнением:. Двойной интеграл сведётся к сумме двух повторных интегралов:

.

Пример 2.6. Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

Решение. Область интегрирования здесь ограничена линиями и, пересекающимися в точкахи, причём, с осьюэти кривые пересекаются в точкахи рис. 2.5.

Рис. 2.5

Изменив порядок интегрирования, мы будем вынуждены разбить область линиейна две части. Уравнения левой и правой границ для нижней части областибудут иметь види. Уравнения левой и правой границ для верхней части областибудут соответственнои.

Повторный интеграл будет равен сумме двух интегралов:

.

Пример 2.7 Вычислить двойной интеграл

.

Область ограничена линиями

рис. 2.6.

Вычисления провести дважды, изменив порядок интегрирования.

Рис. 2.6

Решение.Приняв, что интегрирование во внутреннем интеграле производится по переменной , легко увидеть, что областьограничена снизу одной линией, а сверху – двумя линиями, имеющими уравнения(прямой) и(гиперболой). Точки пересечения прямых с гиперболой и. Область интегрирования разбивается на две части прямой.

Повторные интегралы имеют вид

.

Изменив порядок интегрирования, уравнения границ области следует разрешить относительно переменной. Левая граница области имеет уравнение, а правая состоит из двух частей, описываемых уравнениямии. Область интегрирования разбивается на две части прямой, а повторные интегралы принимают вид:

.

Интегрирование произвести самостоятельно. Ответ: .

Пример 2.8. Вычислить двойной интеграл

.

Область  квадрат со сторонами . Показать, что изменение порядка интегрирования приводит к различным результатам, и объяснить причину этого.

Решение. Повторный интеграл имеет вид

.

Вычислим внутренний интеграл по частям:

.

Подставив полученный результат во внешний интеграл, будем иметь

.

С другой стороны, изменив порядок интегрирования, получим

.

Вычислим внутренний интеграл:

.

Подставив результат во внешний интеграл, получим

.

Различие результатов вычислений объясняется тем, что в точке подынтегральная функция не является непрерывной.

Для выработки устойчивых навыков расстановки пределов в повторных интегралах следует решить примеры № 3498 – 3504 по сборнику задач Бермана [1].

В этих примерах следует изменять порядок интегрирования, не производя самого интегрирования. Графическое изображение областей интегрирования при решении этих примеров является обязательным.