2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
−4 1 + 4 |
( |
−6 |
) |
+ 27 ≡ 0, |
|
−4x + 4 y + 27 |
= 0, |
|
1 |
|||||||||
x |
|
|
|
=1, |
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
+(y +6) |
2 |
= 0 |
x =1, x |
|
|
|
|
||
(x −1) |
|
|
|
|
= −6. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y = −6 |
y |
|
|
|
|
|
Заметим, что решение второго уравнения – это ещё не решение системы. Полученные числа необходимо подставить в оставшееся первое уравнение системы. В данном случае после подстановки получаем тождество.
Ответ: (1, – 6).♦
§5. Однородные уравнения и системы |
|
|||
Функция f (x, y) |
называется |
однородной |
степени |
k , если |
f (tx,ty )= tk f (x, y ). |
Например, функция f (x, y )= 4x3 y −5xy3 + x2 y2 |
|||
является однородной степени 4, т. к. |
f (tx,ty )= 4 |
(tx)3 (ty)−5(tx)(ty)3 + |
||
+(tx)2(ty)2 =t4(4x3 y −5xy3+ x2 y2 ). Уравнение f (x, y )= 0, где |
f (x, y)– |
|||
однородная функция, называется однородным. Оно сводится к уравне-
нию с одним неизвестным, если ввести новую переменную t = xy .
f (x, y)= a,
Система с двумя переменными g (x, y)=b , где f (x, y ), g (x, y )–
однородные функции одной и той же степени, называется однородной. Если ab ≠ 0 , умножим первое уравнение на b, второе – на a и вы-
чтем одно из другого – получим равносильную систему
bf (x, y)− ag(x, y)= 0,g(x, y)= b.
Первое уравнение заменой переменных t = |
x |
(или t = |
y |
) сведётся к |
||||||||
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
уравнению с одним неизвестным. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Если a = 0 |
(b = 0), то уравнение f (x, y)= 0 (g (x, y )= 0) заменой |
|||||||||||
переменных t = |
|
x |
(или t = |
y |
) сведётся к уравнению с одним неизвест- |
|||||||
|
y |
|
||||||||||
ным. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− xy + y |
2 |
= 21, |
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
Пример 20. (МГУ, 2001, химфак) Решите систему |
−2xy +15 = 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
28
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
|
|
− xy + y2 = 21, |
|
( |
x2 |
− xy + y2 |
) |
|
7 |
( |
y2 −2xy |
) |
= 0, |
|
|
|
|||||||||||||||
x2 |
5 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
♦ |
|
−2xy = −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y2 |
y |
2 |
|
− |
2xy = −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≠ 0, y ≠ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
19 ±11 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5x2 −19xy +12y2 =0 5 |
|
|
|
−19 |
x |
|
|
+ |
12 =0 |
= |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
10 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
−2xy = −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x =3y, |
|
|
= ± |
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3; |
|
= ± |
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
y, |
x |
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5 |
|
|
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= 25 |
y = ±5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(3 |
|
|
3 ), |
(−3 3; − |
|
3 ), (4; 5), |
(−4; −5). ♦ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§6. Симметрические системы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Функция |
|
f (x, y) |
|
называется |
|
|
|
симметрической, |
если |
||||||||||||||||||||||
f (x, y)= f (y, x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y )= a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Система уравнений вида |
|
|
|
|
|
|
|
где f (x, y), g(x, y)– симмет- |
|||||||||||||||||||||||
|
g (x, y )=b , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рические, называется симметрической системой. Такие системы реша-
ются чаще |
всего с помощью введения новых |
переменных |
x + y =u, xy |
=v. |
|
x3 + x3 y3 + y3 =17,
Пример 21. Решите систему уравнений
x + xy + y = 5.
♦ Эта алгебраическая (симметрическая) система, обычно она решается заменой x + y =u, xy = v. Заметив, что
x3 + x3 y3 + y3 =(x + y)(x2 − xy + y2 )+ x3 y3 =
=(x + y )((x + y)2 −3xy)+ x3 y3 =u (u2 −3v)+v3 ,
перепишем систему в виде
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
29
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
|
3 |
−3uv +v |
3 |
=17, |
u =5 −v, |
|
v |
= |
2,u |
= |
3, |
|
||||
u |
|
|
v2 |
|
+6 = 0 |
|
|
|
||||||||
u |
+v =5 |
|
|
|
|
−5v |
v =3,u = 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в старых переменных) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x + y = 2, |
|
|
x = 2 − y, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xy =3, |
|
|
y2 −2 y +3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x + y =3, |
|
|
x =3 − y, |
|
|
x = 2, y =1, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y −3y + 2 = 0 |
|
x =1, y = 2. |
|
|
|
||||||
xy = 2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ответ: (2;1), |
(1; 2). ♦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Литература
1.С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс;
2.«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2011;
3.Журнал «Потенциал» №№1 –2 за 2005 г – статьи С. И. Колесниковой «Иррациональные уравнения» и «Иррациональные неравенства»;
4.С. И. Колесникова «Иррациональные уравнения», Москва, 2010,
ООО«Азбука»;
5.С. И. Колесникова «Иррациональные неравенства », Москва, 2010, ООО«Азбука»;
6.С. И. Колесникова «Уравнения и неравенства, содержащие модули», Москва, 2010, ООО«Азбука».
Контрольные вопросы
1(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все решения неравенства 5x +1 ≥ 2(x −1).
2(2). Решите неравенство x3 +8x2 −20x ≤ 2x −4 (не требуется решать кубическое уравнение, т. к. справа и слева есть множитель x −2 ).
3(2). Решите неравенство 2 − x ≥ x −3.
4(2). Найдите наименьшую длину промежутка, которому принадле-
жат все решения неравенства |
x2 +5x −84 |
≤ 0. |
(x +13)(x +14) |
5(3). Найдите сумму квадратов целочисленных решений неравенства
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
30
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
4 − x − 8 + x ≤ x +6.
6(3). Решите неравенство 5 + x − 8 − x ≤ 3 − x .
7(3). Решите неравенство |
1 |
− x3 − x −1 |
≤ x . |
|
|
||
( |
x |
|
|
9 −4x −(x +3)) |
|
||
|
|
|
|
|
|||
8(3). Решите неравенство |
4 − x −(x + 2))( |
≤ 0. |
|||||
|
|
(x +1)(x −2)(x −3) |
|||||
|
|
|
|
||||
9(4). Найдите наименьшую длину промежутка, которому принадле-
жат все решения неравенства |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x +5 |
− |
|
|
x + 2 |
− |
1 |
|
144 − x < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
x |
+ x −2 |
|
x |
+ 4x −5 |
|
6x −6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все решения неравенства 8 x −8 ≤32 + 4x − x2 .
11(4). Найдите сумму квадратов всех целочисленных решений нера-
2(2). Найдите наименьшую длину промежутка, который содержит |
||||||||||
|
|
|
(x −1)3 (x +3) |
|||||||
все решения неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 0. |
( |
|
2x −1 |
|
− |
|
x −2 |
|
)( x −1) |
||
|
|
|
|
|||||||
3(2). Решите неравенство |
|
4 (x −3)4 ≥ 4 (x −7,5)4 . |
||||||||||
4(4). Решите неравенство |
|
x2 +3x −4 |
|
+ |
|
x2 −16 |
|
> |
|
2x2 +3x −20 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5(3). Решите неравенство (x2 |
+ x +1)2 −2 x3 + x2 + x −3x2 |
≥ 0. |
|
венства 4 − 2x −1 ≤3. |
Задачи |
|
|
x2 |
−5x +6 + 9 −2x −5 |
≤ 0. |
|
1(3). Решите неравенство |
|
|
|
19x2 −4x3 −4x +19 |
|
|
|
10x2 −17x −6
6(4). Найдите все a , при которых уравнение
4x − 3x − x + a
=9 x −1
имеет хотя бы один корень.
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
31
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
7(4). Найдите все значения параметра |
a, при каждом из которых |
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функция f (x)= x2 + 4x + |
x2 − |
x −1 |
−a принимает только |
неотрица- |
|||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тельные значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8(4). Решите уравнение 4x −3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x −1 |
|
= 4 |
5x +14 −3 |
5x +14 −1 |
. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
9(4). Решите уравнение |
x2 −5 + |
x2 −3 = x +1 + |
x +3 . |
||||||||||||||
|
|
9 |
24 − x2 |
− |
9 2x |
|
|
|
|
||||||||
10(3). Решите неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 . |
|
|
|||||
|
x2 − 4 7x −10 |
|
|
||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
11(3). Три гонщика стартуют одновременно из одной точки круговой трассы и едут с постоянными скоростями в одном направлении. Первый гонщик впервые догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной старту, а через полчаса после этого он вторично, не считая момента старта, догнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй проходит круг не менее, чем за двадцать минут?
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
32