2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы |
|||||||||||
|
|
|
§2. Иррациональные неравенства |
|
|||||||
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные |
|||||||||||
входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует |
|||||||||||
только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содер- |
|||||||||||
жащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ. |
|
||||||||||
Пример 3. (МГУ, 1998) Решите неравенство |
x +3 > x +1. |
|
|||||||||
♦ Это |
|
неравенство можно |
|
|
|
|
|
|
|||
решить |
несколькими |
способа- |
|
|
|
|
|
|
|||
ми. Решим его графически (рис. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1). Построим графики функций |
|
|
|
|
|
x |
|||||
y = x +3 , |
y = x +1 |
и по- |
3 |
|
|
1 |
|
||||
смотрим, где первый график |
|
|
|
|
|
|
|||||
расположен выше второго. Для |
|
|
|
|
|
|
|||||
нахождения решения останется |
|
|
|
|
|
|
|||||
решить |
|
только |
уравнение |
|
|
Рис. 1 |
|
||||
x +3 = x +1 (и не надо рассматривать случаи раз- |
|
||||||||||
ных знаков для x +1!). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x +1 ≥ 0, |
|
|
x |
=1 x [−3;1). |
||
|
|
|
x +3 = x +1 |
|
|
||||||
|
|
[ |
|
|
x +3 = x2 + 2x +1 |
|
|
|
|
||
Ответ: |
−3;1 . ♦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сначала приведём уже выведенные в 10-ом классе условия равно- |
|||||||||||
сильности для уравнений (в частности, для того, чтобы была понятна |
|||||||||||
приведённая уже здесь нумерация условий равносильности для корней |
|||||||||||
(УР К)): |
|
|
|
|
f (x) = a2 f (x)= a4 . |
|
|
(УР К 1) |
|||
|
|
|
|
|
|
g (x)≥ 0, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f (x) = g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x)= g 2 |
(x). |
(УР К 2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОДЗ |
(x)= g (x). |
|
(УР К 3) |
||
|
|
|
|
|
f (x) = g (x) f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
f (x)= g (x), |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)≥ 0, |
|
(УР К 4) |
|
|
|
|
|
|
f (x) = g (x) f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(x)≥ |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п.1. Неравенства вида |
f (x) ≥ g (x) и |
f (x) ≤ g (x). |
||||||||
ОДЗ: |
f (x)≥ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична |
|
|
|
|
7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
Рассмотрим неравенство f (x) ≥ g (x). Докажем, что
|
|
g |
(x )< 0, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x )≥ 0; |
|
|
|
||
|
|
|
f |
|
|
|
|||
|
|
f (x ) ≥ g (x ) |
g |
(x )≥ 0, |
|
|
(УР К5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x )≥ g |
2 |
(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Если |
x является решением |
неравенства |
f (x) ≥ g (x), |
то |
|||||
f (x)≥ 0 и |
f (x) существует. При этом неравенство заведомо выпол- |
нено при g (x)< 0. Если же g (x)≥ 0, то возведение в квадрат обеих
частей неравенства приводит к равносильному неравенству f 2 (x)≥ g 2 (x).
2. Пусть теперь x является решением совокупности неравенств
|
g (x)< 0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)≥ 0; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x)≥ 0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)≥ g |
2 |
(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда: а) если g (x)< 0 и |
|
|
|
|
|
|
f (x) и заведо- |
f (x)≥ 0, |
то существует |
||||||
мо выполнено неравенство |
f (x) ≥ g (x); |
|
|
||||
б) если g (x)≥ 0 и f (x)− g 2(x)≥ 0 ( |
f (x)− g (x))( |
f (x)+ g (x))≥ 0, |
|||||
то f (x)− g 2 (x)≥ 0 f (x)− g (x)≥ 0. |
|
|
|
Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:
g (x)< 0;
ОДЗ
f (x) ≥ g (x) g (x)≥ 0, (УР К6)
f (x)≥ g 2 (x).
Теперь рассмотрим неравенство вида
f (x) ≤ g (x).
Докажем, что
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
8
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы |
|||
g (x)≥ 0, |
|
|
|
|
(x), |
|
(УР К7) |
f (x) ≤ g (x) f (x)≤ g 2 |
|
||
f (x)≥ 0. |
|
f (x) ≤ g (x), то |
f (x)≥ 0 |
1. Если x является решением неравенства |
и существует |
f (x), |
а тогда |
g (x)≥ 0, |
и возведение в квадрат обеих |
|||||
частей |
неравенства |
приводит |
к |
равносильному |
неравенству |
||||
f |
(x)≤ g 2 |
(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x)≥ 0, |
|
2. Если x |
является решением системы неравенств |
f (x)≤ g 2 (x), |
||||||
|
f (x)≥ 0 |
|
|
f (x), |
|
|
f (x)≥ 0, |
||
то |
и существует |
а тогда |
f (x)− g 2 (x)≤ 0 |
||||||
( f (x)− g (x))( f (x)+ g (x))≤0. |
Но, по условию, g (x)≥ 0, поэто- |
||||||||
му f (x)− g 2 (x)≤ 0 f (x)− g (x)≤ 0. |
|
|
|
||||||
|
Пример 4. (МФТИ, 1998) Решите неравенство 3 |
3x2 −8x −3 >1 −2x. |
|||||||
|
♦ Первый способ |
|
|
|
|
|
|
||
Воспользуемся (УР К6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −2x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 −8x −3 ≥ 0; |
|
|
|
||
3 3x2 −8x −3 >1 −2x 1 |
−2x ≥ 0, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
(3x2 −8x |
−3)>(1 −2x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 0,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞; |
[3; +∞); |
|
|
x |
[3; +∞) |
|||||
x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
34 −30 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
≤ 0,5, |
|
|
|
|
|
|
x |
−∞; |
|
|||
|
|
|
|
34 −30 2 |
34 +30 2 |
|
23 |
||||||
|
|
x |
−∞; |
; +∞ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
23 |
|
|
23 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
9
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
|
|
34 −30 |
2 |
|
[3; +∞). |
x |
−∞; |
|
|
|
|
23 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
34 |
−30 |
2 |
|
[3; +∞). |
|
Ответ: |
−∞; |
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ
Можно оформить решение неравенства и несколько по – другому. Найдём сначала ОДЗ:
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
[3; +∞). |
3x |
|
−8x −3 ≥ 0 (x −3) x + |
|
|
≥ 0 |
x |
−∞; − |
|
|
||
|
3 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь неравенство перепишем в виде 3 |
3x2 −8x −3 −(1 −2x)> 0. |
1.Если 1 −2x < 0 , т. е. x > 12 , то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е.
x[3; +∞).
2.Если 1 −2x ≥ 0 , т. е. x ≤ 12 , то
3 3x2 −8x −3 >1 −2x 9(3x2 −8x −3)>1 −4x + 4x2
|
|
|
|
|
|
|
|
34 −30 2 |
|
|
34 |
+30 2 |
|
|||||
23x2 −68x −28 > 0 x |
−∞; |
|
|
; +∞ . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
23 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что ОДЗ в этом случае выполнилось автоматически. |
||||||||||||||||||
Учтём, что x ≤ |
1 |
− тогда x |
|
|
34 −30 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−∞; |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Объединяя 1 и 2, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
34 −30 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: −∞; |
[3; +∞). ♦ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) ≤ |
g (x). |
|
|
|
|||||||
|
п.2. Неравенство вида |
|
|
|
||||||||||||||
Рассмотрим неравенство вида |
|
f (x) ≤ |
g (x). |
|
|
|||||||||||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (x)≤ g (x), |
|
|
|
|
|
|
|
(УР К8) |
|||||
|
f (x) ≤ g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f (x)≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
10
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
1. Если |
f (x) ≤ g (x), то |
f (x)≥ 0, |
g (x)≥ 0 и |
f (x)≤ g (x), |
т. е. |
||
|
|
|
|
|
f (x)≤ g (x), |
|
|
x является решением системы неравенств |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (x)≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)≤ g (x), |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Если |
x является решением системы неравенств |
|
то |
||||
f (x)≥ 0, |
|||||||
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
f (x)≥ 0, |
g (x)≥ 0, |
и |
g (x) существуют. При |
этом |
|||
f (x)≤ g (x) f (x) ≤ |
g (x), т. е. неравенство выполнено. |
|
Замечание. Для строгих неравенств в условиях равносильности надо простозаменитьзначок ≥ или ≤ на > или < соответственно.
Пример 5. Решите неравенство |
2x +1 ≤ x3 −4x2 + x +5. |
|
|||||||||||||||||
♦ 2x +1 ≤ x3 −4x2 + x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
≤ x |
3 |
−4x |
2 |
+ x +5 x |
3 |
−4x |
2 |
− x + 4 ≥ 0, |
|
|
|
|
|
|||||
2x +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2x +1 ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x −1)(x +1)(x −4)≥ 0 x [−1;1] [4;+∞), |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[4;+∞). |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
;1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
x ≥ − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
− |
|
;1 [4;+∞). ♦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
п.3. Неравенствавида |
|
f (x)− g(x) |
≤0. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h(x) |
|
|
|
|
|
Рольсопряжённыхвыражений
Обычно при решении неравенств, имеющих ОДЗ, надо сначала найт ОДЗ. При нахождении ОДЗ такого сложного неравенства, как
f (x)− g (x) |
≥ 0, |
учителя и школьники обычно решают систему |
|
|
|
||
h(x) |
|
||
f (x)≥ 0, |
|
|
|
|
Затем школьники иногда ошибочно опускают знаменатель |
||
h (x)≠ 0 . |
|||
|
|
|
|
и решают неравенство f (x)− g (x)≥ 0.
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
11
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
Мы в ОДЗ дроби не будем записывать условие h(x)≠ 0 и тем более
не будем тратить время и силы на решение этого неравенства. Оправдывается это тем, что в дальнейшем используем только классический метод интервалов для рациональных функций, в котором условие
h(x)≠ 0 автоматически выполняется, ибо нули знаменателя наносятся на числовую ось кружочками («дырками»), т. е. ограничение h (x)≠ 0 заложено в самом методе. Это ОДЗ, которое отличается от привычного школьного (c h (x)≠ 0), по предложению самих учителей, будем обозначать не ОДЗ, а ОДЗ*. Итак, например, для неравенств вида
f (x ) − g (x )
( ) ≥ 0 будем искать ОДЗ*: f (x)≥ 0 . h x
Рассмотрим довольно часто встречающееся неравенство вида
f (x)− g (x) |
≥ 0 (≤ 0). |
h (x) |
Вметодической литературе предлагается рассмотреть две системы
взависимости от знака знаменателя h (x), причём в каждой есть не-
равенство с корнем. Энтузиазм решать задачу при этом быстро «испаряется».
Мы поступим иначе: рассмотрим два случая в зависимости не от знака h (x), а от знака g (x), и неравенств с корнем решать не придёт-
ся.
Рассмотрим отдельно разность f (x)− g (x). Отметим две особенности поведения этой разности:
1)если g (x)< 0, то разность f (x)− g (x) положительна в ОДЗ;
2)если g (x)≥ 0, то разность f (x)− g (x) может быть как положи-
тельной, так и отрицательной в ОДЗ. Заметим, однако, что в этом случае сумма f (x)+ g (x) всегда неотрицательна в ОДЗ, а умножение разности
( f (x)− g (x))на неотрицательное выражение( f (x)+ g (x))не изменит |
|
знакаразности, т. е. выражение |
|
( |
f (x)−g (x))( f (x)+ g (x))≡ f (x)−g2 (x) |
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
12
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
имеет тот же знак, что и ( f (x)− g (x)) в ОДЗ. Новое выражение уже не содержит радикалов (корней), а выражение ( f (x)+ g (x)) называется сопряжённым для ( f (x)− g (x)) выражением. Отсюда следует важное правило ПК1:
Если g (x)≥ 0 , то знак разности |
f (x)− g (x) совпа- |
(П К1) |
дает со знаком разности f (x)− g 2 (x) |
в ОДЗ. |
|
Теперь используем эти свойства для решения довольно сложных неравенств вида
|
f (x)− g (x) |
≥ 0 или |
( f (x)− g (x))h(x)≥ 0. |
|
h (x) |
||
|
|
|
Сейчас мы покажем, что можно обойтись, хотя и двумя случаями, но без корней.
f (x)− g (x)
Рассмотрим, для определённости, неравенство ( ) ≥ 0. h x
1. Мы уже заметили, что, если g (x)< 0, то числитель положителен
|
|
f (x)− g (x) |
ОДЗ |
в ОДЗ. Но тогда |
|
≥ 0 h(x)> 0. |
|
h(x) |
|||
2. Если же |
g (x)≥ 0, то разность может менять знак в зависимости |
||
от значений x, |
но сумма f (x)+ g (x) всегда неотрицательна в ОДЗ, и |
умножение обеих частей неравенства на это сопряжённое выражение
приводит к |
равносильному неравенству, т. е. в |
этом |
случае |
|||
|
f (x)− g (x) |
ОДЗ |
f (x)− g 2 (x) |
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
≥ 0. Для неравенства |
другого |
знака |
|
h(x) |
h (x) |
меняется лишь знак неравенства. Объединив оба условия, получаем новое замечательное условие равносильности в ОДЗ:
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
13
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
|
|
|
|
g (x )< 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x ) − g (x ) ≥ 0 (≤ 0 ) |
|
h (x )> 0 (< 0 ), |
|
|
(УРК16) |
|
||||||
|
|
|
g (x )≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ОДЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h (x ) |
|
|
|
|
2 |
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x )− g |
|
≥ 0 |
(≤ 0 ). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
h (x ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найденные в результате исследования совокупности (УР К9) реше- |
|||||||||||||
ния следует сравнить с ОДЗ. |
|
|
|
|
|
|
4x +15 −4x2 |
|||||||
|
Пример 6. (МГУ, 1995) Решите неравенство |
|||||||||||||
|
|
|
|
≥ 0. |
||||||||||
|
|
4x +15 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x |
♦ ОДЗ*. 4x +15 ≥ 0 x ≥ − |
15 |
. Теперь в ОДЗ преобразуем неравен- |
|||||||
|
4 |
||||||||
ство: |
4x |
+15 −4x2 |
( 4x +15 + |
2x)( 4x +15 −2x) |
≥ 0 |
|
|||
|
|
= |
|
|
4x +15 + 2x |
||||
|
|
|
|
||||||
|
4x +15 + 2x |
|
|
|
|
|
4x +15 |
−2x ≥ 0, |
|
||
|
4x +15 |
+ 2x ≠ 0. |
|
||
|
|
|
Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рис. 2 видно, что неравенство выполнено от
точки x = −154 до абсциссы точки
пересечения кривой y = 4x +15 и прямой y = 2x .
Найдём эту абсциссу:
15 |
3 |
5 |
x |
4 |
2 |
2 |
|
Рис. 2
|
|
|
2x ≥ 0, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2x ≥ 0, |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||
4x +15 = 2x |
|
2 |
x |
= − |
2 |
, x = |
. |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
4x +15 = 4x |
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Заметим, что для решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения мы возводили обе части в квад- |
||||||||||
рат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x ≤ 0, |
|
||
4x +15 +2x = 0 4x +15 = −2x |
= 4x2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x +15 |
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
14
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
А в нашей системе решение этого уравнения x = −32 как раз нам надо
исключить. Главное в том, что для решения всей системы оказалось достаточно решить единственное уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = − |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x +15 = 4x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x |
|
|
|
15 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Теперь можно записать |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
; − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
; |
|
|
. ♦ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 7. Решите неравенство |
|
|
|
|
|
2 − x + 4x −3 |
≥ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
► Найдём сначала ОДЗ*: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Теперь воспользуемся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 − x ≥ 0 x ≤ 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(УР К9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − x +(2x |
|
−3) |
|
|
|
|
|
|
|
2 − x −(3 |
|
−2x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 − x |
+ 4x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Î ÄÇ* |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 − 2x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
> 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 − 2x ≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
≤ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 − x −(2x −3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x −11x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 (x −1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|
≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñ ó÷¸ ò î ì Î ÄÇ* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (−∞;0) [1; 2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x (−∞; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Систему неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решили классическим методом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
4 |
(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
интервалов – рис. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
15
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
• |
0 |
• |
• |
• |
|
1 |
1,5 1,75 |
х |
Ответ: (−∞; 0) [1; 2]. ◄ |
Рис. 3 |
|
|||
|
|
||||
Пример 8. |
x2 |
−4x +3 −2 |
(x +7) |
≤ 0. |
|
|
x2 |
− x −72 |
|||
|
|
|
|||
► Неравенство довольно громоздкое и сложное. |
|||||
Найдём сначала |
ОДЗ*: |
x2 −4x +3 ≥ 0 (x −1)(x −3)≥ 0 |
x (−∞; 1] [3; +∞). Затем рассмотрим отдельно два случая в зави-
симости от знака (x +7). |
|
|
|
|||
|
1. Если x +7 < 0 x < −7, то числитель положителен |
в ОДЗ* и |
||||
|
x2 −4x +3 −2(x +7) |
|
ОДЗ* |
(x +8)(x −9)< 0 |
||
|
|
|
≤ 0 |
x2 − x −72 < 0 |
||
|
x2 |
− x −72 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
x (−8; |
−7). Учитывая ограничение x < −7, |
получаем, что |
Оказалось, |
что этот промежуток принадлежит ОДЗ*.
2. Если x +7 ≥ 0 x ≥ −7, то воспользуемся правилом П К1. Тогда
|
x2 −4x +3 −2(x +7) |
≤ 0 |
ОДЗ* (x2 −4x +3)−(2(x +7))2 |
≤ 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x2 − x −72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −9)(x +8) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−30 − 321 |
|
−30 + |
321 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
|
|
x − |
|
|
|
|
|
||||
3x |
2 |
+60x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||||
+193 ≥ 0 |
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
||||||||||||||||||||
|
(x +8)(x −9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x≥−7 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +8)(x −9) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−30 + |
321 |
|
|
|
(9; |
+∞) с |
учётом ограничения x ≥ −7. Оказа- |
||||||||||||||||
−7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лось, что и эти промежутки принадлежат ОДЗ*. Поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−30 + |
|
321 |
(9; |
+∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x −8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−30 + |
321 |
(9; |
+∞). ◄ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ответ: |
−8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
16
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
|
п.4. Неравенства вида |
|
f (x )− |
g (x ) |
≥ 0 (≤ 0). |
|||
|
|
h(x ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Роль сопряжённых выражений |
|
|
|
|
||||
Теперь рассмотрим неравенство вида |
f (x)− |
g (x) |
≥0 (≤0). |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
h(x) |
|
|
|
На вид довольно сложное неравенство. Разность |
f (x)− |
g (x) где-то на |
||||||
числовой |
оси положительна, где-то |
отрицательна, |
но |
сумма корней |
||||
f (x)+ |
g (x) всегда неотрицательна в ОДЗ. Поэтому умножение обеих |
частей неравенства на это сопряжённое выражение приводит к равносильномувОДЗнеравенству, и имеетместоусловиеравносильностивОДЗ
f (x)− |
g (x) |
≥ 0 |
ОДЗ |
f (x)− g (x) |
≥ 0 (УРК10), |
h(x) |
|
h(x) |
|||
|
|
|
|
или полное условие равносильности, включающее ОДЗ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)− |
g (x) |
f (x)≥ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(УР К11) |
|
||
|
|
|
|
≥ 0 g (x)≥ 0, |
|
|
|
||
|
|
h (x) |
|
|
|||||
|
|
f (x)− g |
(x) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
h (x) |
|
|
|
|
Отсюда, в частности, следует полезное правило (П К2): |
|
||||||||
Знак разности |
f (x) − |
g (x) совпадает со знаком разности |
|
||||||
f (x)− g (x) |
в ОДЗ. |
|
|
|
|
(П К2) |
|
Пример 9. (Демоверсия ЕГЭ - 2010) Решите неравенство
1− x3 −1 ≤ x. x +1
и найдите наименьшую длину промежутка, который содержит все его
решения.
►Замечательный пример на применение (УР К11)!
Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы
x2 + x +1никогда в 0 не обращается – он всегда положителен, потому
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
17
2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы
что его дискриминант отрицателен. Поэтому на x2 + x +1 можно со-
кратить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда
(
|
1 − x3 −1 |
≤ x |
1 − x3 |
−1 − x − x2 |
≤ 0 |
|
|
|||||
|
1 + x |
|
|
|
|
1 + x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1 − x)(x2 + x +1)−( x2 + x +1)2 |
≤ 0 |
1 − x − x2 + x +1 |
≤ 0 |
|||||||||
|
1 + x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
||||
1−x − x2 +x +1)( 1−x + x2 +x +1) |
|
|
1−x ≥0, |
( |
x2 +x +1 |
|
||||||
|
1+x |
|
|
|
≤0 (1−x)− |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
≤0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+x |
|
x ≤1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [−2; |
−1) [0; 1]. |
|
x (x + 2) |
≥ 0 x |
−2; −1 |
|
0; + ∞ |
) |
|||
|
|
|
|
|||||
[ |
) |
[ |
|
|
|
|||
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство решено методом интервалов – рис. 4.
Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна 3.
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: [−2; −1) [0; 1], 3. ◄ |
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Решите неравенство |
4x2 |
−3x + 2 − |
|
4x −3 |
≤ 0 |
и най- |
|
x2 −5x + |
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
дите наименьшую длину промежутка, который содержит все его решения.
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
► Найдём сначала ОДЗ*: |
4x |
|
−3x + 2 ≥ 0, x ≥ |
. |
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
4x −3 ≥ 0 |
|
|
|
|
|
||||
Теперьможнорешитьнеравенство, применивправило(ПК2) : |
|
|||||||||||
|
4x2 −3x +2 − |
4x −3 |
|
ОДЗ* 4x2 |
−3x +2 −4x +3 |
|
|
|
||||
|
|
|
≤ 0 |
|
|
|
|
|
≤ |
0 |
|
|
|
x2 −5x + |
6 |
|
x2 −5x +6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Колесникова София Ильинична
18