матан Бесов - весь 2012
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a(bc) = (ab)c a, b, c R " # |
|||||||
% 1 R 1 = 0& a1 = a a R# |
|
|||||||
' |
a R a = 0 |
1 |
R& a |
1 |
= 1 |
1 |
|
|
a |
a |
a |
||||||
|
( a |
|
||||||
|
||||||||
! |
(a + b)c = ac + bc a, b, c R ) " |
"
) * a, b R
a b b a
! |
a b b a a = b a, b R# |
$ |
a b b c a c a, b, c R |
|
a b b a# a b a = b |
|
a < b b > a |
§
! a b a + c b + c a, b, c R
! 0 a 0 b 0 ab a, b R
+,D
-" A B R ( a b a A, b B.
. c R (
a c b a A, b B.
/ ( ! 0 Q " *
( + ++ +++ +1+++ ++1
+++ +, -
-" A = {a: a Q a > 0 a2 < 2} B = {b: b Q b > 0 b2 > 2} . Q ( c Q
2 & a c b a A b B
3 2 " ( ( ) "
! "
! 4 5 ( a
a + x = b x = b − a b + (−a)a, b R 4 b − a b
a
$4 a1 ) a a = 0
ax = b a = 0 (6
x = |
b |
|
b |
|
1 |
|
a, b R, a = 0. |
|
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
4 |
b |
b a |
|
a |
||
% |
a 0 = 0 a R |
||
' |
a, b R ab = 0 a = 0 b = 0 |
73 ) * a, b R "
2 a < b a = b a > b
0 < 1 1 < 0
(−1)(−1) = 1
N = {1 }
2 = 1 + 1 3 = 2 + 1
N0 N {0}
Z = {0, 1, −1, 2, −2 3, −3, . . .}
|
|
|
|
|
|
Q = x: x = mn , m Z, n N
R \ Q
[a, b] (a, b) (a, b] [a, b)
[a, b] {x : a x b}, (a, b) {x : a < x < b},
(a, b] {x : a < x b}, [a, b) {x : a x < b}.
R
§
X R
b a
x b x X x a x X
! " b a
X
X R
"
X R
" # !
|
$" ! |
|
X R b ! |
||
%◦ |
x b x X& |
|
'◦ |
b < b xb |
X xb > b ε > 0 xε X |
|
xε > b − ε |
|
§
$" ! X R a !
%◦ x a x X&
'◦ a > a xa X xa < a ε > 0 xε
X xε < a + ε
( " ! X ) ! ! sup X inf X
sup[a, b] = b, sup(a, b) = b.
* ! ! " ! ! $#
$ ! ! #
[a, b] (a, b)
+$,! - #
" +$ $ $ $!
b b b = b " !
X $, b < b . " "
b = sup X $ "
b xb : xb X xb > b / " b
" ! X 0 $" $#
-) $ $
!
1 ! ! ! $ $" #
" . !
" #
1 ) " ) ! #
"
A
B !
" b "# A
$ |
|
a b a A, b B. |
|
% & & |
|
c R |
|
a c b a A, b B. |
'() |
sup A = c
& c
'()
& c < c $ c B ! B &
'() * c
A
xc A : xc > c ,
& * c = sup A
R &
R R {−∞} {+∞},
! R "
& # ! + −∞ +∞
, R &
! a, b R
a, b R R ,
+ −∞ < a a < +∞ a R-
−∞ < +∞
X R
& ' X R)
. .# sup X 'inf X) / . .# "#
§ |
|
. & &
b 'a) .
! +∞ '−∞)
$
' ) X
sup X = +∞ (inf X = −∞).
0 & 1 &
& R "" ""
§
2
{[an, bn]}∞n=1 {[a1, b1], [a2, b2], . . .},
−∞ < an < bn < +∞ n N
& [an, bn]
[an+1, bn+1] n N &
"#
,"# 3 &
& &
{[an, bn]}∞n=1 & A = = {an}∞n=1 = {a1, a2, . . .} B = {bn}∞n=1 = {b1, b2, . . .}
4 n, m N
an an+m bn+m bm.
, & & # c
an c bm n, m N.
m = n
c [an, bn] n N,
{[an, bn]}∞n=1
ε > 0 n N bn − an < ε
! " #
c c #
|
$ c < c |
|||
ε c − c > 0 |
% & % |
|||
n N bn − an < ε |
' & an c < c bn ( % |
|||
c − c c − a b − a |
n |
< ε ε |
||
n |
n |
|
|
|
' |
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|
|
|
§ |
||||
|
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a R n N |
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||||
n > a |
|
|
|
|
|
||||
) a R n a n N |
a |
& N ! * * b
R b = sup N ' & % &
b b − 1 n N n > b − 1 + & n + 1 > b n + 1 N b = sup N '
§
|
|
|
|
|
IVK |
IVD |
|
% & IVD IVsup |
(A) |
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|
|
|
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! * * |
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! 0 ! |
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(A) . / 1
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/ 2 3% 4,-K (A)5
#
&
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& & #
% 6
IVD IVK
A N !
1◦ A 1" |
2◦ A n A n + 1 |
# A = N |
|
|
|
A 2 1 + 1 A |
3 2 + 1 |
A N ( % A N A = N
7 ! 8 / #
/ #
% &
2
/