матан Бесов - весь 2012
.pdff (−∞, +∞) → R
h (−∞, +∞) → R
[a, b] h [a, b]h = 0 [a, b]
f
(a, b) −∞ a < b +∞ ε > 0
h
! b
|f (x) − h(x)| dx < ε.
a
! ! " # (a, b) = (−∞, +∞) $ # # "
% f # & " " '#
(a, b) !
# (−∞, +∞)
( ! "−∞+∞ |f (x)| dx #
! ) ci −∞ = c0 < c1 < . . . < ck−1 < ck = = +∞ f # * # &
" # " & # ci i = 1 k − 1 +
) " # |
−+∞∞ |f (x)| dx " " |
|||||||||
ε > 0 A B η " −∞ < A < |
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< c1 ck−1 < B < +∞ η > 0 |
! |
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, " fε # [A, B] - [A, B]
! +∞
|
|f (x) − fε(x)| dx < ε. |
./0 |
−∞ |
|
|
$ # 1 [A, B] |
||
hε ! |
B |
|
|
|fε(x) − hε(x)| dx < ε. |
.20 |
|
A |
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" # hε " & '# |
|
|
(−∞, A) (B, +∞) , " ./0 .20 # |
|
! +∞
|f (x) − hε(x)| dx
−∞
! +∞ ! +∞
|f (x) −fε(x)| dx+ |fε(x) −hε(x)| dx < ε+ ε = 2ε.
−∞ |
−∞ |
, # " |
|
|
f |
(a, b) −∞ a < b +∞ ε > 0
(a, b) ϕ
! b |
|
|
|f (x) − ϕ(x)| dx < ε. |
.30 |
|
a |
|
|
|
" |
|
|
|
|
(−∞, +∞)
! |
|
|
! |
+∞ |
|
lim |
|f (x + η) − f (x)| dx = 0. |
.40 |
η→0 |
−∞ |
|
( f !
# (−∞, +∞) 5 " " # ε > 0 , "
ϕ "
.30 (a, b) = (−∞, +∞) ( ϕ = 0
[A, B] ( # 6 ϕ
# [A − 1, B + 1]
(−∞, +∞) ηε (0, 1)
|
|
ε |
η R : |η| ηε. |
|
|
|ϕ(x + η) − ϕ(x)| < |
|
||
|
B − A + 2 |
|||
|η| ηε |
||||
! |
∞ |
! |
∞ |
|
|
|f (x + η) − f (x)| dx |
|f (x + η) − ϕ(x + η)| dx+ |
||
|
−!∞∞ |
! −∞∞ |
|
+|ϕ(x+η)−ϕ(x)| dx+ |f (x)−ϕ(x)| dx < ε+ε+ε = 3ε.
−∞ −∞
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# $# ! % & f %
% & h ' ! ! % & h "
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∞
a1 + a2 + a3 + . . . |
ak, |
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' ak !
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|
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ak = S. |
|
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k=1 |
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∞ |
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# |
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∞ |
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|
|
|
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ak = +∞ |
k=1
Sn → +∞ n → ∞ ∞ ak = −∞ Sn → −∞
k=1
n → ∞
3 ' $ ! ) "
! lim ak = 0
k→∞
4 ! - "
'- ! ! % "
-
|
|
|
|
1 − 1 + 12 − 12 + 13 − 13 + 14 − 14 + . . .
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .
S
Sn → S, Sn−1 → S n → ∞.
an = Sn − Sn−1 → 0 n → ∞.
! " #
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" % !
∞ 1
k=1 k $ $&
'
|
2n |
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1 |
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1 |
→ 0 n → ∞, |
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k |
|
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2n |
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k=n+1
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* +
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|
|
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∞ |
|
|
|
|
|
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|
|
k=1 |
|
|
∞ |
∞ |
∞ |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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(λak + μbk) = λ |
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|
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
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n |
n |
n |
|
|
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(λak + μbk) = λ |
ak + μ |
bk |
k=1 |
k=1 |
k=1 |
- n → ∞
|
|
|
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∞ |
|
|
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ak, ak 0 k N. |
|
k=1 |
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k0 N 0 ak bk k k0
◦ ∞ bk
k=1
∞
ak
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∞ |
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∞ |
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|
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k=1
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∞ |
|
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|
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∞ |
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ak |
|
k=1
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|
∞ |
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
∞ |
|
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|
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|
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> 0 k N |
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|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
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|
|
|
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bk |
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|
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k→∞ bk |
|
|
|
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k=1 |
k=1 |
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
1 |
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|
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|
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2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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∞ |
|
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∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
ak |
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|
|
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|
|
k=k0 |
|
|
|
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ak 0 bk 0 k |
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∞ |
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|
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∞ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
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# [1, +∞) |
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|
|
|
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" +∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
n+1 |
|
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f (x) dx |
f (k + 1) = |
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
∞ |
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
k=1 |
∞ |
|
|
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|
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|
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|
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|
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2 |
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|
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|
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dx |
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|
|
|
|
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∞ |
|
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|
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1! 0 |
α > 0
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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k1α |
|
k1α |
1 2 |
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|
|
|
|
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|
∞ |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
k → ∞. |
|
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|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
5 |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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k |
|
|
|
|
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. 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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7 5 8
( |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
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|
k k0! |
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0 0 < q < 1 qk |
1 |
|||||
2 |
||||||
|
|
∞ |
|
|
k |
∞ |
|
|
1 |
|
|
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9 |
|
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qk |
||
|
|
|
|
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k=1 |
k2 # |
|||||
! |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
n |
|
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1 |
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qn+1 |
|
|
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|
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k |
|
− |
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|
|||||||||||
|
Sn = q |
|
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|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
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|
|
|
1 − q |
1 − q |
1 − q |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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> 0 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
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k0 |
|
|
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q < 1 k k0, |
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
∞ |
|
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|
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|
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|
|
|
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k |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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ak |
|
|
|
|
|
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◦ |
|
|
|
|
|
|
|
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k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
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ak+1 |
1 k k0, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
∞ |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||
|
ak qk−k0 ak0 = c0qk bk. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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k=1 |
|
|
|
|
|
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!" |
" |
∞ |
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2◦ # ak+1 ak > 0 $% |
ak |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
k=1 |
||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
||
& ' |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
||
ak > 0 k |
|||||||||||||||||
N |
|
|
|
lim |
ak+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= q. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
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k→∞ |
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∞ |
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ak |
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k=1 |
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|||
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∞ |
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◦ |
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ak |
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||||||||||
q > 1 |
|
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k=1
|
|
§ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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∞ |
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(◦ |
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k=1 |
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1◦ ε > 0 q q + ε < 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
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N |
a |
k+1 |
q a k k |
0 |
! |
|||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
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2◦ |
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|
ak |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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∞ |
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k=1 |
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∞ |
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3 |
◦ 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
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||||||||||||||||||||||
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→ 1 (k → ∞). |
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|||||||||||||||||||
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α |
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ak |
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1 + |
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∞ |
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k1α |
α > 1 |
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|
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∞ |
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|||||||||||||||
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|
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k=1 |
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k |
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k |
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|
|
|
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1 + |
|
|
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→ e−1 < 1 k → ∞ ' + |
||||||||||||||||||||||
k + 1 |
|
k |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||
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|
∞ |
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k |
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|||||||||||||||||||||
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1, |
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|||||||||||||||
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|
∞ |
k |
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|
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1◦ |
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|||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
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|
qk k k |
∞ |
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|||||||||||||
qk |
a |
k |
a |
k |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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k=1 |
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|
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k=1 |
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||
|
◦ |
∞ |
|
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2 |
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ak |
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|
|
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k=1 |
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
|
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√ |
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||||||
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|||||||
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|||||
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∞ |
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|||
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
∞ |
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|
|
||||||
◦ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
∞ |
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|
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)◦ |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
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∞ |
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|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
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k |
|
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|
|
|
∞ |
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
∞ |
|
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|
||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||
3 |
◦ 1 |
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|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
k=1 k |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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k=1 |
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|
|
|
|
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lim k |
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
§
∞ |
|
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|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
k |
||
|
ak ak = |
1 |
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1 |
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|
|
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|
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k |
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|
||
√ |
|
|
|
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ak |
= 1 − |
1 |
|
→ e−1 < 1 k → |
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|
k |
→ ∞
$ ! & ' "
+ !
0 #
1 0 # & '
2 ! ( $ & '
+ "
! {qk}∞k=0
3 ! 0 4
∞ 1
+ k=1 kα α > 0 & "
1 + # !
! # #
+
& + "
# ! + "
!
§
∞
ak +
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
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|
|
|
|
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# |
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|
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|
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∞ |
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|
|
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k=1 |
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|
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|
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|
k |
|
k=m |
k |
|
|
|
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|
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∞ |
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|
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ak |
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|
|
|
|
∞ |
|
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|
|
|
k=1 |
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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ak |
|
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k=1 |
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|
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∞ |
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ak |
||||||||||||
∞ |
|a | |
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k=1 |
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|
|
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1 |
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k=1 |
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k |
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|
|
|
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∞ |
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n |
n |
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|
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∞ |
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∞ |
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|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)k+1ak = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . |
' |
|
k=1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|rn| an+1. |
* |
+ , "
- {S2n}∞1 "
' .
S2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + . . . + (a2n−1 − a2n) =
= a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − . . . − (a2n−2 − a2n−1) − a2n.
§
/ {S2n}∞1 0 S2n a1 0 "
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2n |
}∞ |
|
|
|
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|
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lim S2n S [0, a1]. |
|
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n→∞ |
|
|
|
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|
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}∞ |
|
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|
|
n |
1 |
S S2n−1 = S2n −
− a2n → S − 0 = S n → ∞ 1 "
% {S2n}∞1 {S2n−1}∞1
S Sn → S
n → ∞ ' S
rn 2 ' n" .
(−1)n+1rn = an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + . . .
3 % "
45 "
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∞ |
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n |
n |
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|
|
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akBk − akBk−1. |
|
|
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k=1 |
k=1 |
|
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n |
n−1 |
|
|
|
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(ak+1 − ak)Bk, |
|
k=1 |
k=1 |
|
|
|
|
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|
|
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∞ |
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" ! # $% & B0 =
= 0 $ '$
∞
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n → ∞
anBn → 0 n → ∞
! {Bn} an → 0 n → ∞
)
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|
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|
∞ |
∞ |
|
|
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|ak+1 − ak| = |
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k=1 |
k=1 |
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∞ |
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|
|
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|
|
|
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− ak) = M |a1|.
§ |
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n → ∞
∞
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|
|
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|
|
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|
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|
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|
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k=1 |
|
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|
|
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|
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k |
1 |
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k=1 |
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
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k=1 |
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|
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αk ak − a0 → 0 k → ∞ |
|
|
|
|
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∞ |
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
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|
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|
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|
akbk = αkbk + a0 |
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k=1 |
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k=1 |
k=1 |
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' ( )* + %
, !" !
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, α > 0, |
x R. |
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kα |
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||||
|
|
|
|
|
||
k=1 |
|
|
|
|
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ak = |
1 |
|
|
|||
kα |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
$ |
sin kx |
|||||
|
|
|
|
k=1 |
||
|
|
|
|