Бесов

Представив 1 log (1+x) = log (1+x) 1 в виде суперпози-

x a a x

1

ции логарифмической функции и функции ϕ(x) = (1 + x)x , применяем теорему о пределе суперпозиции с учетом при-

Из рассмотренных примеров следует, что при x → 0

x sin x tg x tg x arcsin x arctg x ln(1+x) ex−1.

10◦. lim (1 + xx)α − 1 = α (доказать самостоятельно).

x→0

Глава 5

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

называется производной функции f в точке x0 и обознача-

ется символом f0(x0).

Вычисление производной от функции называется диф-

ференцированием.

Упражнение 1. Доказать, что функция, имеющая производную в данной точке, непрерывна в ней.

дифференцирования дроби, т. к. другие устанавливаются аналогично. Положим x = x − x0, f = f(x0 + x) −

при x → x0.

§ 5.2. Дифференциал

Определение. Пусть функция f определена в U(x0), x0 R. Пусть ее приращение в точке x0 может быть представлено в виде

f(x0) = f(x0 + x) − f(x0) = A x + o(Δx) (1)

при A R.

Тогда функцию f называют дифференцируемой в точке x0, а линейную функцию

— дифференциалом функции f в точке x0.

Теорема 1. Функция f дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда существует f0(x0). При этом

A= f0(x0).

До к а з а т е л ь с т в о. 1◦. Пусть f дифференцируема в точке x0. Тогда справедливо равенство (1).

Поделив его почленно на x, получим

Это означает, что приращение функции f представлено в виде (1) с A = f0(x0), так что f дифференцируема в точке x0.

Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема в точке x0. Тогда она непрерывна в точке x0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы приращение f(x0) представимо в виде (1). Из (1) следует, что f(x0) → 0 при x → 0, а это и означает непрерывность

функции в точке x0.

Пример f(x) = |x|, x0 = 0, показывает, что непрерывность функции в точке не влечет ее дифференцируемости в этой точке.

Последние две теоремы показывают, что дифференцируемость функции в точке x0 и существование производной f0(x0) — эквивалентные условия и что каждое из них сильнее условия непрерывности функции в точке x0.

Представление (1), как показано, можно записать в виде (3). Выражение дифференциала функции f в точке x0 (2) соответственно принимает вид

df(x0) = f0(x0)Δx, −∞ < x < ∞.

df(x0) = f0(x0) dx, −∞ < dx < +∞.

При этом dx называют дифференциалом независимой переменной, а df(x0) — дифференциалом функции. Симво-

лом dxdf часто обозначают производную f0, но теперь видно,

§ 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 75

что на него можно смотреть как на частное двух дифференциалов.

Теорема 3 (арифметические свойства дифферен-

циалов). Пусть функции f, g дифференцируемы в точке

x0. Тогда функции f ± g, fg, и в случае g(x0) 6= 0 fg также дифференцируемы в точке x0, причем в этой точке

1.◦ d(f ± g) = df ± dg; 2.◦ d(fg) = g df + f dg;

3.◦ d f = g df − f dg . g g2

Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из соответствующих формул для производных. Установим для примера лишь 2◦. Формулу производной произведения (fg)0 = f0g + + fg0 домножим почленно на dx. Получим

d(fg) = (fg)0dx = g f0dx + f g0dx = g df + f dg.

§5.3. Геометрический смысл производной

идифференциала

Проведем секущую M0Mh через точки графика функции y = f(x) M0 = (x0, f(x0)) и Mh = (x0 + h, f(x0 + h)), h 6= 0 (см. рис. 5.1).

Уравнение секущей M0Mh имеет вид y = k(h)(x − x0) + y0,

где y = f(x0), k(h) = f(x0 + h) − f(x0) . h

Устремим h к нулю. Тогда точка Mh будет стремиться к M0, секущая — поворачиваться, меняя свой угловой коэффициент k(h), который стремится к конечному пределу

тогда и только тогда, когда существует f0(x0): k(h) → k0 = = f0(x0).

Прямую, проходящую через точку графика (x0, f(x0)) и являющуюся «предельным положением секущей», называют касательной прямой. Дадим точное определение.

Определение. Пусть существует f0(x0). Касательной к графику функции f в точке (x0, f(x0)) называется прямая

y = y0 + f0(x0)(x − x0), где y0 = f(x0).

Теорема 1. Пусть функция f определена в U(x0) и существует f0(x0). Тогда среди всех прямых, проходящих через точку (x0, f(x0)) (yпр = λ(x − x0) + y0, y0 = f(x0)),

касательная к графику функции f и только она обладает свойством

f(x) − yпр = o(x − x0) при x → x0.

До к а з а т е л ь с т в о. Поскольку f дифференцируема

вточке x0, имеем

f(x) − f(x0) = f0(x0)(x − x0) + o(x − x0) при x → x0.

Отсюда

f(x) − yпр = [f0(x0) − λ](x − x0) + o(x − x0).

Правая часть равенства является o(x−x0) при x → x0 тогда и только тогда, когда λ = f0(x0), т. е. когда прямая yпр = = λ(x − x0) + y0 является касательной.

§ 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 77

Доказанная теорема показывает, что касательная в окрестности точки касания расположена «ближе» к графику функции, чем другие прямые.

Производная f0(x0), являясь угловым коэффициентом касательной, равна tg α, где α — угол между осью абсцисс и касательной. Дифференциал функции df(x0) = f0(x)Δx при заданном x равен приращению ординаты касатель-

имеет бесконечную производную в точке x0, f0(x0) = +∞

(−∞, ∞) и что график функции f имеет в точке (x0, f(x0)) вертикальную касательную x = x0.

Ранее рассмотренную касательную с конечным угловым коэффициентом f0(x0) называют часто наклонной ка-

сательной.

Определение 1. Правой (левой) односторонней про-

если этот предел существует и конечен.

Слово «односторонняя» часто опускают и называют f+0 (x0) правой, а f−0 (x0) — левой производной.

Теорема 2. Производная f0(x0) существует тогда и

только тогда, когда существуют f+0 (x0), f−0 (x0) и f+0 (x0) = = f−0 (x0).

Докажите в качестве упражнения.

Теорема 3. Пусть f+0 (x0). Тогда функция f непрерывна справа в точке x0.

Докажите в качестве упражнения. Сформулируйте и докажите аналогичную теорему о непрерывности слева.

З а м е ч а н и е 1. На основе односторонней производной можно ввести понятие односторонней касательной.

Упражнение 1. Рассмотрите с этой точки зрения при-

мер f(x) = | sin x|.

§ 5.4. Производная обратной функции

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) непрерывна и строго монотонна в U(x0), f0(x0) 6= 0. Тогда обратная функция x = f−1(y) имеет производную в точке y0 = f(x0),

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме об обратной функции f−1 определена, строго монотонна и непрерывна на некоторой окрестности U(y0) точки y0.

В силу дифференцируемости f в точке x0 приращения x = x − x0 и y = f(x0 + x) − f(x0) связаны соотноше-

нием

y = (f0(x0) + ε(Δx))Δx,

где ε(Δx) → 0 при x → 0.

В силу строгой монотонности f каждое из x, y однозначно определяется другим. Будем считать теперь y независимым, тогда x = ϕ(Δy). При этом ϕ(0) = 0, ϕ строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности U(0) точки 0. Тогда

y = (f0(x0) + ε(ϕ(Δy)))Δx.

По теореме о пределе суперпозиции ε(ϕ(Δy)) → 0 при y → → 0. Тогда

что и требовалось доказать.

Другое доказательство той же теоремы можно провести

является предпоследнее равенство, которое написано на основании теоремы о пределе суперпозиции.

§ 5.5. Производная сложной функции

Теорема 1. Пусть f0(y0), ϕ0(x0), y0 = ϕ(x0). Тогда

(f(ϕ))0(x0) = f0(y0)ϕ0(x0).

До к а з а т е л ь с т в о. Из существования f0(x0), ϕ0(x0) следует, что f, ϕ непрерывны соответственно в точках y0,

x0. По теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций суперпозиция

z = F (x) = f(ϕ(x))

определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Из условий теоремы следует, что приращения функции f и ϕ представимы в виде

Доопределим функцию ε в точке 0, положив ε(0) = 0, тогда

z = F (x0) = f0(y0)[ϕ0(x0)Δx + ε1(Δx)Δx] + ε(Δy)Δy =

= f(ϕ(x)), где функции y = f(u) и u = ϕ(x) имеют производные f0(x0), ϕ0(u0), u0 = ϕ(x0). В силу теоремы о производной сложной функции

dy = f0(u0)ϕ0(x0) dx.

С другой стороны, du = ϕ0(x0) dx, поэтому можно записать dy = f0(u0) du,

где du — дифференциал функции. Мы видим, что дифференциал dy имеет ту же форму, как если бы u было независимым переменным. Это свойство называется инвариант-

ностью формы первого дифференциала.

Пример. Найдем производную функции y = xα:

(0, ∞) → R, α R. Эту функцию можно представить в виде y = eα ln x = eu, u = α ln x.

Применяя теорему о производной сложной функции,

имеем (xα)0 = (eα ln x)0 = eα ln xα x1 = αxα−1.

З а м е ч а н и е. В теореме 1 функции f, ϕ определены в некоторых окрестностях U(y0), U(x0) соответственно. Это условие можно заменить более общим, потребовав, чтобы f или ϕ или обе функции были определены лишь в полуокрестностях соответственно точек y0, x0, но чтобы при этом сложная функция имела смысл. Тогда равенство (f(ϕ))0(x0) = f0(y0)ϕ0(x0) по-прежнему будет иметь место, если под производными понимать при необходимости односторонние производные.