Вэриан

Следовательно, богатство потребителя при хорошем и плохом исходах составит

W g =( w - x ) + x ( 1+ rg) = w+ x rg

W b =( w - x ) + x( 1+ rb) = w+ x rb .

Предположим, что хороший исход имеет место с вероятностьюp , а плохой - с вероятностью 1- p . Тогда, если потребитель решит инвестироватьx долларов, то ожидаемая полезность составит

EU( x ) = pu( w+ x rg) +( 1-p) u( w+ x rb) .

Потребитель хочет выбрать такое значениеx, при котором значение данного выражения было бы максимальным.

Продифференцировав данное выражение поx, мы найдем то, как изменяется полезность с изменением x:

Вторая производная полезности по x есть

образом, вторая производная функции ожидаемой полезности, несомненно, отрицательна. Ожидаемая полезность должна являться вогнутой функцией x.

Рассмотрим изменение ожидаемой полезности вложения первого доллара в рисковый актив. Это - не что иное, как уравнение (12.3), взятое для значения производной при x=0:

E¢U( 0) = pu¢( w) rg +( 1- p) u¢( w) rb

=u¢( w) [ p rg +( 1- p) rb) ] .

Выражение, стоящее в скобках, есть ожидаемый доход на актив. Если ожидаемый доход на актив отрицателен, то с вложением в актив первого доллара ожидаемая полезность должна уменьшиться. Но поскольку, вследствие вогнутости функции, вторая производная ожидаемой полезности отрицательна, полезность, по мере вложения дополнительных долларов, должна продолжать уменьшаться.

может закончиться проигрышем.

С другой стороны, если ожидаемый доход на актив положителен, то при увеличении x от нуля ожидаемая полезность будет возрастать. Следовательно,

Рис.12.4 Сколько вкладывать в рисковый актив. На рис.A оптимальные инвестиции равны нулю, однако, на рис.B потребитель хочет инвестировать положительную величину.

Оптимальная для данного потребителя величина инвестиций определяется условием равенства нулю производной ожидаемой полезности поx. Поскольку, ввиду вогнутости функции, вторая производная полезности всегда отрицательна, этот максимум будет являться глобальным.

Приравняв к нулю выражение (12.3), мы получаем

рассматриваемого типа потребителя.

ПРИМЕР: Влияние налогообложения на инвестиции в рисковые активы

Что происходит с уровнем инвестиций в рисковый актив, когда приносимый им доход облагается налогом? Если инливид платит налог по ставкеt, то доходы после уплаты налога составят ( 1- t) rg и ( 1- t) rb . Следовательно, условие первого

порядка, определяющее его оптимальное вложение x, будет иметь вид

E ¢U( x ) = pu¢( w+ x ( 1-t) rg) ( 1- t) rg +( 1- p) u¢( w+ x ( 1- t) rb( 1- t) rb = 0

Обозначим решение задачи на нахождение максимума в отсутствие налоговкогда t=0 - через x* , а решение задачи на нахождение максимума при наличии налогов - через xˆ . Какова взаимосвязь между x* и xˆ ?

Первое, что, возможно, придет вам в голову, - это то, что x* > xˆ - то есть, что налогообложение рискового актива будет препятствовать инвестициям в него. Но оказывается, это совершенно неверно! Обложение рискового актива налогом описанным нами способом, в действительности, будет как раз поощрять вложения в этот актив!

На самом деле, существует строгая взаимосвязь междуx* соблюдаться

xˆ = x* . 1 - t

Доказательство этого сводится к замечанию о ,томчто данное значение xˆ удовлетворяет условию первого порядка для оптимального выбора при наличии налога. Поставив это значение x в уравнение (12.6), мы получаем

E¢U (x) = pu¢(w + x* (1- t)r g)r g

1- t

+(1- p)u¢(w + x* (1- t)rb)r b 1- t

= pu¢( w+ x* rg) rg +( 1- p) u¢( w+ x* rb) rb = 0 ,

где последнее равенство вытекает из того факта, что x* есть оптимальное решение при отсутствии налога.

Что же здесь происходит? Каким образом введение налога может увеличивать величину вложений в рисковый актив? А происходит вот что. При введении налога, выигрыш индивида при хорошем исходе уменьшится, но уменьшится и его проигрыш при плохом исходе. Увеличив в 1/(1–t) раз исходные инвестиции, потребитель может воспроизвести те же самые доходыпосле уплаты налогов, которые он получал до того, как быд введен налог. Налог сокращает его ожидаемый доход, но также сокращает и его риск: увеличивая свои инвестиции, потребитель может получить в точности такую же структуру доходов, что и раньше, и ,тем самым, полностью свести на нет влияние налога. Налог на рисковые инвестиции представляет собой налог на выигрыш в случае положительного доходано является субсидированием проигрыша в случае отрицательного дохода.

ГЛАВА 13

РИСКОВЫЕ

АКТЫ

В предыдущей главе нами были изучены модель поведения индивида в условиях неопределенности и роль двух экономических институтов, помогающих отчасти справиться с неопределенностью: рынков страховых услуг и фондового рынка. В настоящей главе мы продолжим исследование роли фондового рынка в размещении риска. В этих целях удобно рассмотреть упрощенную модель поведения в условиях неопределенности.

13.1Полезность как функция средней и дисперсии относительно нее

Впредыдущей главе мы исследовали модель выбора в условиях

неопределенности, построенную с использованием функции ожидаемой полезности. Другой подход к задачам выбора в условиях неопределенности состоит в том, чтобы описать распределения богатства по вероятностям, являющиеся объектами выбора, с помощью нескольких параметров и придумать функцию полезности, которая бы определялась указанными параметрами. Наиболее известный пример реализации такого подходамодель средней и дисперсии относительно нее. Вместо того, чтобы считать, что предпочтения потребителя зависят от полного распределения вероятностей его богатства по всем возможным исходам, мы предполагаем, что его предпочтения могут быть должным образом описаны с помощью всего лишь нескольких статистических выводов в отношении распределения вероятностей его богатства.

полностью охарактеризовать варианты производимого выбора с помощью соответствующей им средней и дисперсии относительно , неето на основе функции полезности для средней и дисперсии можноранжировать варианты выбора таким же образом, как и на основе функции ожидаемой полезности. Более того, даже если распределения вероятностей не могут быть полностью охарактеризованы их средними и дисперсиями, модель средней и дисперсии относительно нее может служить разумным приближением модели ожидаемой полезности.

Примем естественным образом напрашивающуюся предпосылку о том, что, при прочих равных условиях, более высокий ожидаемый доходэто хорошо, а более высокая дисперсия - это плохо. Это - лишь другой способ сформулировать предпосылку о том, что люди обычно не расположены к риску.

Применим модель средней и дисперсии относительно нее к анализу простой задачи на структуру портфеля активов. Предположим. что у вас имеется возможность произвести инвестиции в два различных актива. Один из них, безрисковый актив, всегда приносит постоянную норму дохода, r f . Этот актив -

нечто вроде казначейского векселя, приносящего твердую ставку процента, что бы ни произошло.

Рис.13.1 Средняя и дисперсия относительно нее. Средняя распределения вероятностей, изображенного на рис.A, положительна, а средняя распределения вероятностей, изображенного на рис.B, отрицательна. Распределение на рис.A более "растянуто", чем распределение на рис.B, а это означает, что оно характеризуется большей дисперсией.

Другой актив - это рисковый актив. Представьте себе, что этот активвложение в крупный взаимный фонд, занимающийся покупкой акций. Если конъюнктура фондового рынка высокая, ваше вложение приносит высокий доход.

Если конъюнктура фондового рынке низкая, ваше вложение приносит низкий доход. Обозначим через ms доход на этот актив при исходе s, а через ps -

вероятность наступления данного исхода. Через r m мы обозначим ожидаемый доход на рисковый актив, а через sm - стандартное отклонение дохода на этот актив.

Конечно, вам не надо выбирать один из этих двух активов; как правило, у вас есть возможность распределить свое богатство между вложениями в оба актива. Если доля вашего богатства, вложенная в рисковый актив, равна x, а доля вашего богатства. вложенная в безрисковый актив, равна (1-x), то ожидаемый доход на ваш портфель активов будет задан формулой

S

r x = å( xms +(1 - x)r f )ps

s=1

S S

= x åm sps+(1- x)r f åps .

s=1 s =1

Поскольку åps= 1 , мы получаем

r x = xr m + (1- x)r f .

Таким образом, ожидаемый доход на портфель из двух активов есть среднее арифметическое взвешенное двух ожидаемых доходов.

Рис.13.2 Риск и доход. Бюджетная линия показывает издержки получения большего ожидаемого дохода, выраженные через возросшее стандартное отклонение дохода. В точке оптимального выбора кривая безразличия должна касаться этой бюджетной линии.

Дисперсия вашего портфельного дохода задана формулой

S

s2x = å( xms +(1 - x)r f - r x )2ps .

s=1

После подстановки в эту формулу полученного нами выражения дляr x , она принимает вид

S

s2x = å( xms - xr m )2ps

s=1

S

= å x2( ms - r m )2ps

s=1

= x 2s2m .

Следовательно, стандартное отклонение портфельного дохода задано формулой

sx = x2sm2 = xsm .

Естественно предположить, что r m > r f , так как инвестор, не расположенный к

риску, никогда не будет держать в своем портфеле рисковый актив, если он приносит более низкий ожидаемый доход, чем безрисковый актив. Отсюда следует, что если вы предпочтете направить большую долю своего богатства на покупку рискового актива, то получите более высокий ожидаемый доход, но также будете нести больший риск. Это изображено на рис.13.2.

Выбрав x=1, вы вложите все свои деньги врисковый актив и получите ожидаемый доход и стандартное отклонение вида( r m,sm ). Выбрав x=0, ы

вложите все свое богатство в надежный актив и получите ожидаемый доход и стандартное отклонение вида ( r f ,0 ). Выбрав x где-то между 0 и 1, вы окажетесь, в

итоге, где-то посередине линии, соединяющей две указанных точки. Эта линия и дает нам бюджетную линию, описывающую предлагаемый рынком выбор между риском и доходом.

Поскольку мы придерживаемся предпосылки о том, что предпочтения людей зависят лишь от средней и дисперсии их богатства, мы можем нарисовать кривые безразличия, иллюстрирующие предпочтения индивида в отношении риска и дохода. Если люди не расположены к риску, то более высокий ожидаемый доход повышает их благосостояние, а более высокое стандартное отклонение его понижает. Это означает, что стандартное отклонение есть"антиблаго". Отсюда следует, что кривые безразличия будут иметь положительный наклон, как показано на рис.13.2.

В точке оптимального выбора риска и дохода наклон кривой безразличия на рис.13.2 должен равняться наклону бюджетной линии. Мы могли бы назвать этот

sm

Итак, точку оптимального распределения портфеля между надежным активом и рисковым активом можно охарактеризовать условием соблюдения равенства предельной нормы замещения между дохода риском цене риска:

Предположим теперь, что существует много индивидов, производящих выбор между двумя указанными активами. Для каждого из них предельная норма замещения должна равняться цене риска. Следовательно, в равновесии MRS у всех индивидов будут равны: если предоставить людям достаточно широкие возможности для торговли рисками, то равновесная цена риска для всех индивидов будет одинаковой. Риск в этом отношении ничем не отличается от других товаров.

Можно использовать идеи, развитые нами в предыдущих главах, для исследования того, какие изменения происходят с оптимальным выбором при

отклонение sy , как показано на рис.13.3.

Который из двух активов выберет потребитель, если ему предложат выбор между вложением в x и вложением в y? На рис.13.3 изображены и исходное, и новое бюджетные множества. Обратите внимание на то, что любая комбинация

инвестировать в активy и в безрисковый актив определенно лучше, чем инвестировать в x и в безрисковый актив, так как, в конечном счете. потребитель сможет выбрать лучший портфель.

Очень важную роль в этих рассуждениях играет тот факт, что потребитель может выбирать, сколько он хочет иметь рискового актива. Если бы речь шла о выборе " все или ничего", при котором потребителя вынуждали бы вложить все деньги либо в x, либо в y, исход выбора был бы совершенно другим. В примере, изображенном на рис.13.3, потребитель предпочел бы вложению всех денег в y их вложение в x, поскольку x лежит на более высокой кривой безразличия, чем y. Но если бы он мог комбинировать рисковый актив с безрисковым активом, он всегда предпочел бы комбинировать безрисковый актив с y, а не с x.