Вэриан

Говоря русским языком: если набор y доступен, когда покупается набор x, то набор x не должен быть доступен, когда покупается набор y.

Потребитель на рис.7.4 нарушил WARP. Следовательно, мы знаем, что поведение этого потребителя не могло быть поведением, максимизирующим его полезность1.

Невозможно изобразить на рис.7.4 такое множество кривых безразличия, которое превратило бы оба набора в наборы, максимизирующие полезность. С другой стороны, поведение потребителя на рис.7.5 удовлетворяет WARP. Здесь можно найти кривые безразличия, для которых его поведение оптимально. Один из возможных вариантов таких кривых безразличия изображен на рисунке.

7.5 Проверка поведения потребителя на соответствие WARP2

Важно понять, что WARP — это условие, которому должно удовлетворять поведение потребителя, всегда выбирающего лучшее из доступного. Слабая аксиома выявленных предпочтений есть логическое следствие данной модели поведения и потому может использоваться для проверки того, совместимы ли конкретный потребитель или конкретный экономический институт, который мы хотели бы смоделировать в качестве потребителя, с нашей экономической моделью.

Рис. Поведение, удовлетворяющее WARP. Случаи потребительского выбора,

7.5удовлетворяющие слабой аксиоме выявленных предпочтений, и некоторые

1Можем ли мы сказать: "Он ведет себя "WARPедово"? Наверное, можем, но не в приличной ком-пании.

2Знак  на полях у названия параграфа означает, что этот параграф для изучения по выбору.

возможные кривые безразличия.

Рассмотрим возможный алгоритм действий по систематической проверке соблюдения (или несоблюдения) WARP на практике. Предположим, что из наблюдений нам известны несколько товарных наборов, выбранных по различным

ценам. Пусть ( p1t ,pt2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) обозначает t-ое на-

блюдение цен, а ( x1t ,xt2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) — t-ое наблюде-

ние потребительского выбора. Для конкретного примера возьмем данные из табл.7.1.

Используя эти данные, можно, как мы и поступили в табл.7.2, подсчитать, во сколько обошлась бы потребителю покупка каждого товарного набора при каждой комбинации цен. Например, запись в строке 3, колонке 1 показывает, сколько денег пришлось бы затратить потребителю при третьей комбинации цен, чтобы приобрести первый товарный набор.

Числа, находящиеся на диагонали табл.7.2, показывают, сколько денег расходует потребитель на покупку каждого выбранного набора. Другие записи в каждой строке показывают, сколько денег затратил бы потребитель, если бы купил другой набор. Таким образом, можно увидеть, скажем, является ли набор 3 выявленно предпочитаемым набору 1, посмотрев, будет ли число, записанное в столбце 1 строки 3 (показывающее, сколько денег потребитель должен был бы израсходовать на покупку первого товарного набора при третьей комбинации цен), меньше числа, записанного в столбце 3 строки 3 (показывающего, сколько денег потребитель фактически затратил на покупку третьего товарного набора при третьей комбинации цен). В данном конкретном случае набор 1 был доступен, когда набор 3 был куплен, а это означает, что набор 3 выявленно предпочитается набору 1. Следовательно, мы ставим звездочку в столбце 1 строки 3 нашей таблицы.

С математической точки зрения, мы просто ставим звездочку около записи в строке s и столбце t, если число, записанное в этом месте, меньше числа, записанного в строке s, столбце s.

Можно использовать такую таблицу чтобы проверить, нет ли нарушений WARP. В контексте таблицы нарушение WARP представлено двумя наблюдениями t и s, такими, что строка t, столбец s содержат звездочку и строка s, столбец t содержат звездочку. Это означало бы, что набор, купленный в момент s, выявленно предпочитается набору, купленному в момент t, и наоборот.

Можно прибегнуть к помощи компьютера (или ассистента-исследователя), чтобы проверить, нет ли среди наблюдаемых случаев выбора пар наблюдений, подобных указанным. Если таковые имеются, то сделанный в этих случаях выбор несовместим с экономической теорией поведения потребителей. Либо данная теория неверна применительно к данному конкретному потребителю, либо в среде обитания потребителя произошли еще какие-то изменения, не учтенные нами. Таким образом, слабая аксиома выявленных предпочтений дает нам легко проверяемое условие совместимости тех или иных наблюдаемых случаев выбора с экономической теорией поведения потребителей.

Мы видим, что в табл.7.2 звездочку содержат строка 1, столбец 2 и строка 2, столбец 1. Это означает, что наблюдение 2 могло быть выбрано, когда потребитель фактически выбрал наблюдение 1, и наоборот. Это нарушение слабой аксиомы выявленных предпочтений. Можно сделать вывод, что представленные в табл. 7.1 и 7.2 данные не могут отражать поведение потребителя с устойчивыми предпочтениями, всегда выбирающего лучшее из того, что он может себе позволить.

7.6Сильная аксиома выявленных предпочтений

(Strong Axiom of Revealed Preference — SARP)

Слабая аксиома выявленных предпочтений, описанная в предыдущем параграфе, дает наблюдаемое условие, которому должны удовлетворять все потребители, оптимизирующие свой выбор. Существует, однако, и более сильное условие, которое может быть иногда полезным.

Мы отмечали выше, что если товарный набор X выявленно предпочитается товарному набору Y, а Y в свою очередь выявленно предпочитается товарному набору Z, то набор X должен предпочитаться набору Z. Если предпочтения данного потребителя рациональны, то не должно наблюдаться такой цепочки случаев выбора, которая обнаруживала бы, что набор Z предпочитается набору X.

Согласно слабой аксиоме выявленных предпочтений, если набор X прямо выявленно предпочитается набору Y, то из наблюдений никогда не должно следовать, что набор Y прямо выявленно предпочитается набору X. Сильная ак-

сиома выявленных предпочтений (Strong Axiom of Revealed Preference — SARP) требует выполнения того же самого условия для косвенно выявленных предпочтений. Более формально речь идет о следующем.

Сильная аксиома выявленных предпочтений (SARP). Если набор (x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) выявленно предпочитается набору

(y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) (прямо или косвенно) и набор (y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) отличен от набора (x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.), то набор (y1, y2Ошибка! Не указан аргумент клю-

ча.) не может прямо или косвенно предпочитаться набору (x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.).

Ясно, что если наблюдаемое поведение оптимизирует выбор, то оно должно удовлетворять SARP. Ведь если потребитель оптимизирует свой выбор и набор (x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) выявленно предпочитается набору

(y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) прямо ли, косвенно ли, то должно соблюдаться (x1, x2) (y1, y2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Итак, если бы набор (x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) выявленно предпочитал-

ся набору (y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и набор (y1, y2Ошибка!

Не указан аргумент ключа.) выявленно предпочитался набору (x1, x2Ошибка!

Не указан аргумент ключа.), это подразумевало бы, что (x1, x2) (y1, y2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. и что (y1, y2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. (x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа., что является противоречием. Отсюда можно заключить, что либо потребитель не оптимизирует свой выбор, либо изменилась какая-то иная характеристика среды потребителя — вкусы, цены других товаров и т.п.

Говоря неформально, поскольку исходные предпочтения потребителя должны быть транзитивны, из этого следует, что и его выявленные предпочтения должны быть транзитивны. Таким образом, SARP есть необходимое следствие поведения, оптимизирующего выбор: если потребитель всегда выбирает лучший товарный набор из доступных, то его наблюдаемое поведение должно удовлетворять SARP. Более удивительно то, что любое поведение, удовлетворяющее сильной аксиоме, можно считать порожденным поведением, оптимизирующим выбор. Речь идет о том, что если наблюдаемый выбор удовлетворяет SARP, то всегда можно найти симпатичные стандартные предпочтения, которые могли бы обусловить указанный выбор. В этом смысле SARP есть достаточное условие поведения, оптимизирующего выбор: если наблюдаемые случаи выбора удовлетворяют SARP, то всегда можно найти предпочтения, для которых наблюдаемое поведение будет поведением, оптимизирующим выбор. Доказательство этого утверждения, к сожалению, выходит за рамки данной книги, чего нельзя сказать о признании его значимости.

Означает же данное утверждение то, что SARP дает все ограничения, накладываемые на поведение моделью потребителя, оптимизирующего выбор. Ведь если наблюдаемый выбор удовлетворяет SARP, можно "построить" предпочтения, которые могли бы породить данный выбор. Таким образом, SARP служит одновременно необходимым и достаточным условием совместимости наблюдаемого выбора с экономической моделью потребительского выбора.

Доказывает ли это, что построенные таким способом предпочтения в самом деле породили наблюдаемый выбор? Разумеется, нет. Как и в случае любого другого научного утверждения, мы можем лишь показать, что наблюдаемое поведение не является несовместимым с данным утверждением. Мы не можем доказать, что экономическая модель правильна; можно только определить следствия из этой модели и посмотреть, совместим ли наблюдаемый выбор с этими следствиями.

7.7 Как проверить SARP

Предположим, что у нас есть таблица, подобная табл. 7.2, в которой имеется звездочка в строке t и столбце s в том случае, если наблюдение t прямо выявленно предпочитается наблюдению s. Как можно использовать эту таблицу, чтобы проверить соблюдение SARP?

Самый легкий способ — сначала преобразовать таблицу, например, как табл.7.3. Это точно такая же таблица, как табл. 7.2, но с другим набором чисел. Звездочки в ней обозначают прямо выявленные предпочтения. Смысл звездочки в скобках поясним ниже.

Рассмотрим содержащиеся в таблице записи на предмет обнаружения цепочек наблюдений, превращающих какой-либо набор в косвенно выявленно предпочитаемый данному. Например, набор 1 прямо выявленно предпочитается набору 2, поскольку мы видим звездочку в строке 1, столбце 2. А набор 2 прямо выявленно предпочитается набору 3, так как мы видим звездочку в строке 2, столбце 3. Поэтому набор 1 косвенно выявленно предпочитается набору 3, и мы обозначаем это, поставив звездочку (в скобках) в строке 1, столбце 3.

Вообще, если имеется большое число наблюдений, придется просматривать цепочки любой длины, чтобы выяснить, не является ли одно из наблюдений косвенно выявленно предпочитаемым по отношению к другому. Существуют простые компьютерные программы, способные рассчитать взаимосвязи по косвенно выявленным предпочтениям на основе таблицы, описывающей взаимосвязи по прямо выявленным предпочтениям. Компьютер может поставить звездочку в месте st таблицы в случае, если наблюдение s выявленно предпочитается наблюдению t через посредство цепочки других наблюдений.

Проведя эти расчеты, можно легко проверить соблюдение SARP. Мы просто смотрим, нет ли одновременно звездочки в строке t, столбце s и в строке s, столбце t. Если таковая имеется, то мы обнаружили ситуацию, в которой наблюдение t выявленно предпочитается — прямо или косвенно — наблюдению s, и в то же время наблюдение s выявленно предпочитается наблюдению t. Это нарушение сильной аксиомы выявленных предпочтений.

С другой стороны, если мы не обнаружим таких нарушений, то будем знать, что имеющиеся у нас наблюдения совместимы с экономической теорией поведения потребителей. Эти наблюдения могли быть порождены действиями оптимизирующего выбор потребителя со стандартными предпочтениями. Таким образом, у нас есть полностью отработанный тест на проверку совместимости действий конкретного потребителя с экономической теорией.

Это важно, так как моделью поведения потребителей можно пользоваться для моделирования функционирования целого ряда экономических единиц. Представим себе, например, домохозяйство, состоящее из нескольких человек. Будет ли потребительский выбор домохозяйства максимизировать "полезность домохозяйства"? Если у нас имеются какие-то данные о потребительском выборе домохозяйств, можно применить сильную аксиому выявленных предпочтений, чтобы посмотреть, так ли это. Другим типом экономических единиц, поведение которых можно уподобить поведению потребителя, являются бесприбыльные организации, такие, как больница или университет. Максимизируют ли университеты функцию полезности, производя свой экономический выбор? Если бы у нас имелся перечень ситуаций экономического выбора, производимого университетом при различных ценах, мы могли бы, в принципе, ответить на такого рода вопрос.

7.8. Индексы

Предположим, что мы рассматриваем потребительские наборы некоего потребителя в разные периоды и хотим выяснить, как изменилось потребление с одного периода до другого. Пусть b обозначает базисный период, а t — какой-то другой период. Как сравнить "среднее" потребление в году t и потребление в базисном году?

Пусть в период t цены равны ( p1t ,pt2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и по-

требитель выбирает набор ( x1t ,xt2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.). В базис-

ном периоде b цены равны ( p1b ,pb2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) и вы-

бор потребителя представлен набором ( x1b,xb2 Ошибка! Не указан аргумент

ключа.). Нас интересует, как изменилось "среднее" потребление данного потребителя.

Если обозначить через w1 и w2 некие "веса", используемые для формирования среднего, то можно рассмотреть индекс объема следующего вида:

Iq = w1x1t w2x2t .Ошибка! Не указан аргумент ключа. w1x1b w2x2b

Если IqОшибка! Не указан аргумент ключа. больше 1, можно утверждать,

что "среднее" потребление с периода b до периода t возросло; если Iq меньше 1, можно говорить о снижении "сред-него" потребления.

Вопрос заключается в том, что использовать в качестве весов. Естественно было бы выбрать на эту роль цены рассматриваемых товаров, поскольку они, в определенном смысле, измеряют относительную значимость этих товаров. Но у нас есть два набора цен: какой из них мы должны использовать?

Если взять в качестве весов цены базисного периода, получим индекс, именуемый индексом Ласпейреса, а если взять цены периода t, получим индекс Пааше. С помощью обоих указанных индексов дается ответ на вопрос, что произошло со "средним" потреблением, однако, для усреднения в них используются разные веса.

Подстановка в приведенный выше индекс объема в качестве весов цены пе-

риода t дает индекс объема (или индекс реального дохода — прим. науч.

ред.) Пааше, имеющий вид

Pq = p1tx1t p2t x2t ,Ошибка! Не указан аргумент ключа. p1t x1b p2t x2b

а подстановка цен периода b — индекс объема (или индекс реального дохода) Ласпейреса, имеющий вид

Lq = p1bx1t p2bx2t .Ошибка! Не указан аргумент ключа. p1bx1b p2bx2b

Индексы цен используются примерно таким же образом. Вообще, индекс цен

— это взвешенная средняя цен:

В этом случае естественно выбрать в качестве весов для расчета средние количества товаров. Мы получим два разных индекса в зависимости от того, что выбрать в качестве весов. Если весами выбраны количества товаров в период t,

мы получаем индекс цен Пааше:

Pp = p1tx1t p2t x2t ,Ошибка! Не указан аргумент ключа. p1bx1t p2bx2t

а если весами выбраны количества товаров базисного периода, получаем ин-

декс цен Ласпейреса:

Предположим, что индекс цен Пааше меньше 1; что говорят нам в этом случае выявленные предпочтения о благосостоянии потребителя в периоды t и b?

Выявленные предпочтения не говорят об этом ничего. Проблема заключается в том, что теперь в числителе и в знаменателе дробей, образующих индексы, стоят разные цены, так что сравнение с позиций выявленных предпочтений произвести невозможно.

Введем новый индекс изменения общих расходов (именуемый также индексом номинального дохода — прим. науч. ред.), определив его как

Это отношение общих расходов периода t к общим расходам периода b. Допустим теперь, вам говорят, что индекс цен Пааше больше M. Это означа-

ет, что

Сократив числители в обеих частях этого выражения и произведя перекрестное умножение, получаем

p1bx1b + p2bx2b > p1bx1t + p2bx2t .

Это неравенство говорит о том, что набор, выбранный в году b, выявленно предпочитается набору, выбранному в году t. Из данного анализа следует, что если индекс цен Пааше больше индекса номинального дохода, то благосостояние потребителя должно быть выше в году b, чем в году t.

Интуитивно это понятно. В конце концов, если с периода b до периода t цены растут быстрее дохода, то можно ожидать, что это должно снизить благосостояние потребителя. Анализ с позиций выявленных предпочтений, проведенный выше, подтверждает это интуитивно полученное умозаключение.

Аналогичное утверждение можно сделать и в отношении индекса цен Ласпейреса. Если индекс цен Ласпейреса меньше M, то благосостояние потребителя в году t должно быть выше, чем в году b. Опять-таки это просто подтверждает интуитивно возникающую мысль о том, что при росте цен медленнее дохода благосостояние потребителя должно расти. В случае индексов цен важно не то, больше или меньше данный индекс единицы, а то, больше он или меньше индекса номинального дохода.

ПРИМЕР: Индексация выплат по социальному обеспечению

Для многих пожилых людей выплаты по социальному обеспечению — единственный источник дохода. По этой причине предпринимались попытки корректировать эти выплаты таким образом, чтобы и при изменении цен поддерживать постоянную покупательную способность. Такого рода схему именуют индексацией, поскольку она предполагает зависимость размеров выплат от изменения какого-то индекса цен или индекса стоимости жизни.

Один из предлагаемых вариантов индексации состоит в следующем. В некоем базисном году b экономисты определяют средний потребительский набор для пожилых граждан. В каждом последующем году выплаты из системы социального обеспечения корректируются таким образом, чтобы "покупательная способность" среднего пожилого гражданина оставалась постоянной в том смысле, что средний получатель выплат из системы социального обеспечения по-прежнему мог бы позволить себе приобрести потребительский набор, который был доступен ему в году b, как показано на рис.7.6.

Один из любопытных результатов применения такой схемы индексации состоит в том, что благосостояние среднего пожилого гражданина при этом почти всегда будет выше, чем в базисном году b. Пусть год b выбран в качестве базисного для по-

строения индекса цен. Тогда набор ( x1b,xb2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.)

есть оптимальный набор при ценах ( p1b ,pb2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.).

Это означает, что бюджетная линия при ценах ( p1b ,pb2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) должна быть касательной к кривой безразличия, проходящей через точку

( x1b,xb2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.).