Groups-1

1 Группы

1.1Основные определения из теории групп

Определение1 Конечное(или бесконечное)множество G элементов называется группой,если в G определена групповая операция(умножение)элементов для которой выполняется следующие условия:

•Операция умножения удовлетворяет групповому свойству,т.е.эта операция определена для каждой пары элементов g1, g2 из G, а результат умножения элементов

g1 и g2 есть элемент g3, принадлежащий группе G (мы будем писать g1 · g2 = g3).

•Для любых трех элементов g1, g2, g3 из G выполняются соттношения (g1 · g2) · g3 = g1 · (g2 · g3). Это свойство называется ассоциативностью групповой операции умножения.

•В группе G существует единственный элемент e, называемый единицей группы такой,что g · e = e · g = g для всех g 2 G.

•Для каждого элемента g 2 G существует обратный элемент g−1 2 G такой,что g · g−1 = g−1 · g = e.

Определение2 Подмножество H элементов группы G называется подгруппой если H является группой относительно операции умножения в G, т . еe.2 H, и для всех элементов h1, h2, h из H справедливо,что h1 · h2 2 H и h−1 2 H.

Определение3 Отображением X ! Y называют установление соответствия между элементами множества X и элементами множества Y такое,что любому элементу множества X ставится в соответствие один и только один элемент множества Y . Отображение назвается взаимно однозначным,если каждому элементу множества X ставится в соответствие один и только один элемент множества Y . Множество X называется областью определения или прообразом отображения X ! Y , а множество Y является образом отображения X ! Y .

2

Определение4 Отображение группы G в другую группу G0 называется гомоморфизмом,если оно сохраняет групповую операцию,т.е.

(g1 · g2) = (g1) · (g2)

для всех g1, g2 2 G. Гомоморфное отображение называется изоморфизмом если оно является взаимно однозначным отображением G ! G0. Изоморфизм группы G на себя (G0 = G) называется автоморфизмом .

Примером тривиального гомоморфизма является отображение G ! e всех элементов группы G в единичный элемент группы e. В этом случае группа G0 состоит из одного элемента своей единицы e.

Определение5 Бесконечномерная группа,множество элементов которой образует гладкое многообразие,называется группой Ли.

Определение6 Дифференцируемым(гладким) m-мерным многообразием называется бесконечное множество точек M, снабженных структурой называемой атласом {U( )} открытых подмножеств в множестве M. Открытые подмножества U( ), называемые локальными картами,покрывают многообразие M: M = S U( ), при этом

•Установлено взаимно-однозначное соответствие φ( ) : U( ) ! R( ), где R( ) - некоторая открытая область вещественного пространства Rm с координатами

{y1, . . . , ym}. Это отображение определяет на множестве U( ) набор функций x(k ) : U( ) ! Rm, называемых локальными координатами любой точки P 2 U( ) : x(k )(P) = yk(φ( )(P)).

•Одна и та же точка P многообразия M может принадлежать различным локальным картам P 2 U( ) \ U(β). В пересечении локальных карт U( ) \ U(β) действует уже две системы локальных координат.Требуется,чтобы каждая из указанных систем локальных координат во всех таких пересечениях x(k ) x(kβ) U( ) \U(β) гладко выражалась через другую и обратно

x(k )(P) = yk(φ( ) ◦ (φ(β))−1(x(1β), . . . , x(mβ))).

3

Кроме того функции перехода из одной координатной системы в другую были не вырожденными:

Свойствами открытых подмножеств,являются следующие аксиомы:

• если O1 и O2 открытые множества,то и O1 \ O2 открыто;

•объединение любой(возможно,бесконечной)совокупности открытых множеств открыто.

Окрестностью точки P можно считать любое множество,содержащее открытое множество,в котором лежит точка P.Используя координаты на многообразии можно ввести понятие расстояния между точками многообразия.Однако конкретная форма этой характкристики многообразия совершенно неважно.Главное,чтобы была возможность сделать это расстояние сколь угодно малым для близких точек и что расстояние не может равняться нулю между двумя различными точками.

1.2Смежные классы

Задать группу-это значит предъявить правило умножения в группе.Для конечных групп правило умножение можно сформулировать в виде таблицы,которая называется таблицей Кэли.Если группа конечная,то количество элементов группы называется порядком группы.Минимальный набор элементов группы,произведениями которых можно получить все групповые элементы,называется набор образующих группы.Пример-группа перестановок Sn: порядок равен n!, а число образующих ( соседних транспозиций ) n- .1

Зафиксируем элемент группы h и рассмотрим следующую операцию

Такая операция называется присоединенным действием группы.

1Если в группе перестановок в качестве образующих разрешить брать не только соседние транспозиции, то число образующих может быть уменьшено до2.

4

Определение7 Пусть H-подгруппа в группе G. Подгруппа H, для которой выполняет - ся свойство gHg−1 H для любого элемента g из группы G, называется инвариантной подгруппой или нормальным делителем.

Если группа имеет инвариантную подгруппу,то она может быть поделена на нее.Для этого надо ввести понятие смежных классов.

Определение8 Подмножество элементов gH = {g · h|h 2 H}, где g фиксированный элемент группы G, называется правым смежным классом элемента g группы G по подгруппе H. Аналогично :Hg = {h · g|h 2 H} называется левым смежным классом g 2 G по подгруппе H.

Левые и правые смежные классы группы G по подгруппе H обозначаются H\G и G/H соответственно.

Утверждение1 Левые(правые)смежные классы либо совпадают,либо не пересекаются.Левые и правые смежные классы(одного и того же элемента)по инвариантной подгруппе совпадают.

Док-во. Пусть один и тот же элемент g принадлежит различным смежным классам Hg1 и Hg2.Это значит,что g 2 Hg1 и g 2 Hg2 и следовательно существуют h1, h2 2 H такие,

Утверждение2 Смежные классы группы G по инвариантной подгруппе H образуют группу G/H, которая называется факторгруппой .

Док-во. Прежде всего определим произведение двух смежных классов g˜ gH и g˜0 g0H элементов g, g0 группы G по инвариантной подгруппе H как множество всех произведений f · f0 для всех элементов f, f0 таких,что f 2 g˜ и f0 2 g˜0. В результате такого произ - ведения получается смежный класс построенный по элементу gg0, так как gH · g0H =

5

gg0 · (g0)−1Hg0H = gg0H в силу определения инвариантной подгруппы H. Таким образом групповая операция для такого произведения смежных классов выполнена.Ассоциативность этого произведения следует из ассоциативности группового умножения в G. Об -

Пример1 Рассмотрим группу симметрий правильного треугольника ABC. Обозначим элементы этой группы отвечающие вращениям против часовой стрелки на 120◦ и 240◦ вокруг центра правильного треугольника O буквами g1 и g2. Очевидно , чтоg1 · g1 = g2, g2·g2 = g1 и g1·g2 = g2·g1 = e, где e единица в группе,соответствующая тождественному преобразованию или отсутствию преобразования треугольника.Очевидно,что в группу входят отражения вокруг осей AO, BO и CO, которые обозначим буквами r = r1, r2 и r3. Очевидно , чтоr2 = g2 · r = r · g1 и r3 = g1 · r = r · g2. Таким образом группа симметрий правильного треугольника состоит из шести элементов D3 = {e, g1, g2, r, rg1, rg2} среди которых можно выбрать два образующих эелемента,например g1 и r. Таблица Кэли для данной группы имеет слкдующий вид:

Из этой таблицы видно,что группа симметрий правильного треугольника D3 содержит инвариантную подгруппу C3, состоящую из элементов C3 = {e, g1, g2}. Группа D3 содержит два смежных класса C3 и r · C3. Факторгруппа D3/C3 состоит из двух элементов и изоморфна группе C2 = {e, g} с единственным нетривиальным соотношением g · g = e. Единичный элемент в этой группе отождествляется с инвариантной подгруппой C3, а элемент g со смежным классом r · C3.

6

Определение9 Пусть G1 и G2 - две группы . Множество всех пар(g1, g2) (g1 2 G1 и g2 2 G2) с операцией умножения (g1, g2)(h1, h2) = (g1h1, g2h2) является группой и называется прямым произведением групп G1 и G2: G1 G2. Единицей в этой группе выступает элемент (e1, e2), где e1 и e2 единицы в группах G1 и G2, соответственно .

Вгруппе G1 G2 имеется две инвариантные подгруппы G1 и G2 с элементами (G1, e2)

и(e1, G2) и соответствующие фактор группы равны G1 G2/G1 = G2, G1 G2/G2 = G1. Можно установить связь между инвариантными подгруппами некоторого набора групп

игомоморфизмами между этими группами . Рассмотрим гомоморфизм : G ! G0.Множество K элементов G, отображающих с помощью в единичный элемент e 2 G0, на - зывается ядром гомоморфизма .Множество I 2 G0, в которое отображается группа G при отображении ,называется образом гомоморфизма . Очевидно , чтоK и I являются подгруппами в G и G0 соответственно.

Утверждение3 Ядро K гомоморфного отображения : G ! G0 есть инвариантная подгруппа в G.

Док-во. Пусть K = {Ki}.Множество K есть группа,так как из (Ki) = e0 и (Kj) = e0 следует (KiKj) = e0 и следовательно KiKj 2 K.Кроме того e 2 K и Ki−1 2 K, так как

e0 = (Ki) = (Kie) = (Ki) (e) = (e), e0 = (e) = (KiKi−1) = (Ki−1)

K есть инвариантная подгруппа,так как 8g 2 G мы имеем

(gKg−1) = (g)e (g−1) = (gg−1) = (e) = e0,

7

Теперь предположим,что мы имеем точную последовательность

и обозначим λ(H) = H0:

Тогда H H0, где H0 является ядром µ, то есть согласно Утверждения 3, H H0 яв-

= =

ляется инвариантной подгруппой в G. Так как µ(H0) = e,то смежный по H0 класс в G отображается в единственный элемент в G0:

µ(gH0) = µ(H0g) = µ(g)

и 8g, g0 2 G мы имеем:

µ(gH0g0H0) = µ(gg0) = µ(g)µ(g0) = µ(gH0)µ(g0H0),

и,следовательно, H0 -нормальный делитель в G. То есть установлено взаимное однознач - ное соответствие групп G/H и G0:

9

Пусть Gi -абелевы группы(умножение можно заменить сложением,а единичные элементы можно обозначать нулем).Рассмотрим последовательность гомоморфизмов di

G0 !d0 G1 !d1 G2 !d2 · · ·

таких,что di+1di(Gi) = 0. Тогда образ Imi = di(Gi) в Gi+1 образует инвариантную подгруппу в ядре Keri+1. Фактор группа Hi = Keri+1/Imi называется групой(ко)гомологий. Для точной последовательности имеем Keri+1 = Imi = di(Gi) и группы ( ко ) гомологийHi тривиальны.

Определение10 Подмножество элементов g˜0 = {gg0g−1|g 2 G}, где g0 фиксированный элемент группы G, называется классом сопряженных элементов для элемента g0.

Единица группы e образует класс сопряженных элементов,состоящий из одного элемента. Группа G расслаивается на классы сопряженных элементов,так как классы сопряженности или совпадают или не пересекаются.Это следует из равенства

gg0g−1 = g0g00 g0−1 ) g0 = (g−1g0)g00 (g0−1g) = (g−1g0)g00 (g−1g0)−1

Элемент группы g0 называется самосопряженным если его класс сопряженных элементов {gg0g−1} состоит из одного элемента совпадающего с g0.

Определение11 Подмножества самосопряженных элементов группы G образуют абелеву инвариантную подгруппу Z, которая называется центром группы G.

Другими словами элементами центра группы являются все элементы группы,коммутирующие со всей группой.

Определение12 Группа G называется простой,если она не имеет нетривиальных инвариантных подгрупп.Группа G называется полупростой,если она не имеет нетривиальных абелевых инвариантных подгрупп.

Если группы G1 и G2 просты и неабелевы,то группа G1 G2 полупроста.

10

Определение13 Цепочка подгрупп

G = G1 G2 · · · Gn {e}

для которых Gi+1 - инвариантная подгруппа ( нормальный делитель ) вGi, 1 i n − 1, называется нормальным рядом группы G. Факторгруппы G1/G2, G2/G3, и так далее , на - зываются факторами нормального ряда.Группа,имеющая нормальный ряд,все факторы которого коммутативны,называется разрешимой.

Группа перестановок Sn разрешима при n < 5.

Если группа G конечна,то количество смежных классов по H называется индексом подгруппы H в G.

Теорема1 (Лагранжа). Порядок и индекс подгруппы H являются делителями порядка группы G.

11