Groups-3
.pdf3 Группы линейных преобразований
3.1Матрицы
Квадратной комплексной матрицей A размера n n называется таблица составленная из n2 комплексных чисел aij 2 C (i, j = 1, . . . , n)
|
|
|
|
0 a11 a12 |
· · · |
a1n |
1 |
||
A = |
|
aij |
|
|
a21 |
a22 |
·.· · |
a2n |
C |
k |
k |
= B . |
. |
. |
|||||
|
|
B .. .. . . |
.. |
C |
|||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
|
an2 |
|
ann |
C |
|
|
|
|
B an1 |
· · · |
C |
|||
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
Далее будут использоваться следующие обозначения
AT = kajik, A = kaijk, A† = (AT ) = kajik, I = kδijk
|
|
|
|
|
|
|
|
A · B = |
' n |
aikbkj |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'X |
|
' |
|
AT |
|
A |
|
A† |
|
I |
|
|
'k=1 |
|
' |
где |
, |
, |
и |
- транспонированная , |
комплексно' |
-'сопряженная , эрмитово - сопряженная |
||||||
|
|
|
|
|
' |
|
' |
|||||
и единичные матрицы,соответственно.Сумма диагональных элементов матрицы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tr(A) = |
aii = aii |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
называется следом матрицы A.2 Очевидно,что tr(A · B) = tr(B · A). Важной характери - стикой матрицы A есть ее детерминант:
det(A) = |aij| = "i1,i2,...,in ai11ai22 · · · ainn |
(6) |
где "i1,i2,...,in - компоненты антисимметричного тензора n-ого ранга,который однозначно определяется двумя соотношениями
•"1,2,...,n = 1
•"i1,...,ik,...,im,...,in = −"i1,...,im,...,ik,...,in
2Здесь и далее будем применять правила суммирования Эйнштейна:по повторяющимся индексами будем всегда подразумевать суммирование по всей области определения этих индексов.
19
и следовательно могут быть представлены как
"i1,i2,...,in = "ij,j2,...,jn(−1)P (σ) , |
"i1,i2,...,in = (−1)P (σI) |
|
(7) |
|||
где P (σ), P (σI ) четности перестановок σ,σ I 2 Sn |
|
|
|
|
||
σ = 0 j1 j2 · · · |
jn−1 jn |
1, σI = |
0 1 2 · · · |
n − 1 n |
1 |
|
@ i1 i2 · · · |
in−1 in |
A |
@ i1 i2 · · · |
in−1 |
in |
A |
Таким образом все ненулевые компоненты(всего |
n! штук)равны ±1 |
в зависимости от |
||||
четности перестановки σI . |
|
|
|
|
|
|
Определение детерминанта(6)может быть записано в другом виде |
|
|
||||
"i1,i2,...,in ai1,j1 ai2,j2 · · · ain,jn = det(A)"j1,j2,...,jn |
|
(8) |
Действительно,очевидно,что левая часть этого равенства меняет знак при любой нечетной перестановке индексов {j1, j2, . . . , jn}, так как соответствует детерминантам матриц с переставленными строками,а значит левая часть этого равенства пропорциональна
"j1,j2,...,jn.Коэффициент пропорциональности фиксируется выбором jk |
= k, k = 1, . . . , n. |
|||||
Используя условие нормировки анти-симметричного тензора |
|
|
||||
"i1,i2,...,in"i1,i2,...,in = XσI |
(−1)P (σI)(−1)P (σI) = XσI |
1 = n! |
|
|||
формула(8)может быть представлена в виде |
|
|
|
|||
1 |
"i1,i2,...,in ai1,j1 ai2,j2 · · · ain,jn |
"j1,j2,...,jn |
(9) |
|||
det(A) = |
|
|||||
n! |
||||||
Из определения детерминанта следуют его свойства |
|
|
|
|||
|
det(A · B) = det(A) det(B) |
|
|
(10) |
||
|
|
det(AT ) = det(A) |
|
|
(11) |
Формула(11)очевидным образом следует из соотношения(9),а(10)из цепочки равенств
det(AB) = "i1,i2,...,in(ab)i1,1(ab)i2,2 · · · (ab)in,n = "i1,i2,...,in(ai1,j1 bj1,1) · · · (ain,jnbjn,n) = = "i1,i2,...,in(ai1,j1 · · · ain,jn)(bj1,1 · bjn,n) = det(A)"j1,j2,...,jn(bj1,1 · bjn,n) = det(A) det(B)
20
Пользуясь антисимметричным тензором можно легко записать матричные элементы
обратной матрицы A−1 = k(a−1)ijk |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
(12) |
|
(a−1)j1ii = |
|
|
|
|
|
"i1,i2,...,in ai2,j2 · · · ain,jn "j1,j2,...,jn |
|
det(A) |
(n |
− |
1)! |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно,соотношение (a−1)j1,i1 ai1,j0 |
= δj1,j0 следуют из частичной свертки антисим- |
||||||
метричных тензоров |
|
|
|
|
"j0,j2,...,jn"j1,j2,...,jn = (n − 1)!δj0,j1
Последнее равенство следует из общего соотношения
0 δi1j1 |
δi1j2 |
· · · |
|
B .. |
.. . . |
||
B |
δi2j1 |
δi2j2 |
·.· · |
B |
|
. |
|
"i1,i2,...,in"j1,j2,...,jn = det B . |
|||
B |
|
|
· · · |
@ |
|
|
|
B δinj1 δinj2 |
|
(13)
1
δi1jn C
C
δi2jn CC
. C
.
. C A
δinjn
Последнее соотношение можно доказать подставив в определение детерминанта матрицу
с матричными элементами amk = |
|
mk(σI , σJ )δim,jk , |
где значения индексов im и jk опреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ляются перестановками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
σI |
= 0 |
1 2 · · · |
n − 1 n |
1 |
|
|
|
σJ = |
0 |
1 2 · · · |
n − 1 n |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
@ i1 i2 · · · |
in−1 |
in |
A |
|
|
|
|
@ j1 j2 · · · |
jn−1 |
jn |
|
A |
|
|
||||||||||||||
Действительно,из(9)получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
k1,k2,...,kn |
|
jm1 ...jmn |
|
j1,j2,...,jn |
|
1 |
|
|
|
P (σK) |
σJ σM (1,...,n) |
|
|
P (σM ) |
(14) |
|||||||||||||
det( |
) = |
|
|
" |
= |
|
σK,σM (−1) |
(−1) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
" |
|
|
|
δik1 ...ikn |
|
|
|
|
n! |
|
δσIσK(1,...,n) |
|
|
|||||||||||||||||
jm1 ...jmn |
|
|
|
jm1 |
|
jmn |
. В равенстве (14) сумма по перестановке σM будет давать нетри- |
||||||||||||||||||||||||||
где δik1 ...ikn |
|
= δik1 |
· · · δikn |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
виальный вклад только в случае σM = σJ−1σI σK , где σM и σK есть перестановки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
σK = |
0 1 2 · · · |
|
n − 1 n |
1 |
|
|
|
σM = |
0 |
1 2 · · · |
n − 1 n |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
@ k1 k2 · · · |
|
kn−1 kn |
A |
|
|
|
|
|
@ m1 m2 · · · |
mn−1 mn |
A |
|
||||||||||||||||||
Правая часть равенства(14)примет вид |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
X |
|
P (σK) |
|
|
P (σJ−1σIσK) |
|
1 |
|
|
P (σK)+P (σJ )+P (σI)+P (σK) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n! σK (−1) |
(−1) |
= |
n! σK (−1) |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)P (σJ )+P (σI) = "i1,...,in"j1,...,jn
21
Матрица A называется вырожденной если det(A) = 0 и невырожденной если det(A) 6= 0. Заметим , что преобразования транспонирования и эрмитового сопряжения удовлетво - ряют условиям
(AB)T = BT AT , (AB)† = B†A†
и называются анти-инволюциями.
Утверждение7 Пусть A - n n матрица,тогда выполняется тождество:
det(eA) = etr(A)
Док-во. Докажем эквивалентное утверждение,что
det(etA) = ettr(A) |
(15) |
где t -параметр.Сначала убедимся,что обе части этого равенства удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению первого порядка .
|
|
|
|
|
@t det(etA) = tr(A) det(etA) |
|
|||
Действительно,пусть |
|
B = etA, @tB = AB = BA, тогда из (9) следует |
|||||||
@t det(B) = |
1 |
@t )"i1,i2,...,in bi1,j1 bi2,j2 · · · bin,jn "j1,j2,...,jn* = |
|
||||||
|
|
||||||||
n! |
|
||||||||
= |
1 |
"i1,i2 |
,...,in )(ab)i1,j1 bi2,j2 · · · bin,jn + · · · + bi1,j1 · · · bin−1,jn−1 (ab)in,jn*"j1,j2,...,jn = |
||||||
|
|||||||||
n! |
|||||||||
|
det(B) |
|
j2...jn |
|
j1j3...jn |
|
|||
= |
|
|
|
|
"i1,i2,...,in )ai1,j1 δi2...in |
+ ai2,j2 δi1i3...in + · · · +* |
"j1,j2,...,jn = |
||
|
n! |
||||||||
|
det(B) |
|
"i1,i2,...,in (ai1,j1 ) "j1,i2,...,in |
(13) |
|
|
|||
= |
|
|
|
|
= |
tr(A) det(B) |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
(n − 1)! |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
j2...jn |
j2 |
jn |
и переход к четвертой строчке про - |
|
В третей строчке мы обозначили δi2...in |
= δi2 |
· · · δin |
исходит из-за одинаковости слагаемых в третьей строке.Действительно второе слагае-
мое вида " |
i1,i2,...,in |
j1j3...jn |
j1,j2,...,jn |
переходит в первое за счет переименования немых |
|
ai2,j2 δi1i3...in " |
|
||
индексов суммирования i2 $ i1, j2 |
$ j1 и свойства антисимметрии тензора " при пе- |
рестановке индексов.Таким образом левая и правая часть равенства(15)удовлетворяет одному и тому же уравнению первого порядка и имеют одинаковые начальные условия
det(etA)|t=0 = 1 = ettr(A)|t=0 |
|
Введем в рассмотрение следующие типы матриц |
|
22 |
|
• Матрица S симметрична,если
S = ST ,
то есть данная матрица обладает Z2 симметрией при отражении относительно главной диагонали.
• Матрица A антисимметрична,если
A = −AT ,
следовательно det(A) = det(−I) det(AT ) = (−1)n det(A), то есть в нечетномерном случае матрица A всегда вырождена det(A) = 0.
• Матрица H эрмитова,если
H= H†
исоответственно det(H) = det(H) , то есть det(H) 2 R.
•Матрица O ортогональна,если
O · OT = I,
таким образом det(O)2 = 1, или det(O) = ±1.
• Матрица U унитарна,если
U· U† = I
иdet(U) det(U) = 1 или det(U) = ei', где ' 2 R произвольное вещественное число.
•Четно-мерная матрица V симплектическая,если
V · C · V T = C
где C невырожденная антисимметричная матрица C = −CT .При этом очевидно,
что det(V )2 = 1.
23
3.2Матричные группы и группы линейных преобразований
Определение14 Векторным(линейным)пространством V называют множество объектов(векторов) x,¯ y,¯ . . . ,, которые можно умножать на числа ,β, . . . , и складывать друг с другом,так что результат снова принадлежит тому же множеству векторов
V:
x¯ + βy¯ = z¯ 2 V.
Векторное пространство V называется n-мерным,если в V существует n линейно независимых векторов e¯i (i = 1, 2, . . . , n) таких,что 8x¯ 2 V имеет место разложение x¯ = xie¯i, где набор чисел {xi}, называется координатами вектора x¯:
x¯ = (x1, x2, . . . , xn).
Если координаты xi 2 R вещественные числа,то пространство V является вещественным векторным пространством,если xi 2 C комплексные числа,то пространство V является комплексным векторным пространством.
Определение15 Группа с невырожденными матрицами в качестве элементов и матричным умножением в качестве группового умножения называется матричной группой.
Любая n n матрица T = ktijk определяет линейное преобразование в n-мерном векторном пространстве V:
x¯ = (x1, . . . , xn) ! x¯0 = (x01, . . . , x0n), x0j = xitij, x¯0 = xT¯ .
Таким образом,матричной группе соответствует группа линейных преобразований в пространстве V.Все невырожденные линейные преобразования n-мерного векторного пространства V над полем комплексных чисел C образует группу GL(n, C) (general linear group) (группу инвариантности пространства V),то есть группа GL(n, C) это группа всех невырожденных матриц (n n) с коэффициентами из C.
Определение16 Функция f(¯x, y¯) от двух векторов пространства V называется билинейной формой,если
f( x¯ + βy,¯ z¯) = f(¯x, z¯) + βf(¯y, z¯), f(¯x, y¯ + βz¯) = f(¯x, y¯) + βf(¯x, z¯).
24
Билинейная форма f(¯x, y¯) невырождена,если из условия f(¯x, y¯) = 0, 8y¯ 2 V, следует x¯ = 0.
Определим3примера матричных групп,оставляющих инвариантными три специальные невырожденные билинейные формы:симметричную (¯x, y¯) = (¯y, x¯), антисимметрич -
ную (¯x, Cy¯) = −(¯y, Cx¯) и эрмитовую hx,¯ y¯i = hy,¯ x¯i :3
(x, y) = xiyi, (¯x, Cy¯) = xiCijyj (C = −CT ), hx,¯ y¯i = xi yi
Так как антисимметричная матрица всегда вырождена в нечетно-мерном пространстве и соответствующая билинейная форма будет также вырождена,то антисимметричные билинейные формы мы будем рассматривать только на четно-мерных пространствах.
Преобразования оставляющие инвариантными симметричную (x, y), антисимметрич - ную (¯x, Cy¯) и эрмитову hx,¯ y¯i формы будут реализовываться соответственно ортогональными T = O, симплектическими T = V и унитарными T = U матрицами.Действительно, рассмотрим для примера симплектические преобразования векторов x¯0 = xT¯ и y¯0 = yT¯ . Соответствующие преобразование антисимметричной билинейной формы будет иметь вид
(¯x, Cy¯) ! (¯x0, Cy¯0) = xkVkjCjlymVml = xkVkjCjlVlmT vm = xk(V CV T )kmym = xkCkmym = (¯x, Cy¯)
то есть в случае симплектических преобразований (V CV T = C) антисимметричная форма (¯x, Cy¯) не меняется.Аналогично,рассматриваются случаи симметричных и эрмитовых форм.
Итак,ортогональные,симплектические и унитарные преобразования являются преобразованиями симметрии соответствующих билинейных форм.Отсюда следует,что совокупности ортогональных O(n), симплектических Sp(2n) и унитарных U(n) матриц должны образовывать группы относительно матричного умножения.Групповое свойство следует из того,что два последовательных преобразования из одного и того же класса матриц сохраняют величину соответствующей билинейной формы.Групповое свойство можно проверить и непосредственно.Например,если
V1CV1T = C, V2CV2T = C
3Отметим,что эрмитова форма не билинейна в смысле выше-данного определения.
25
то и их произведение будет симплектической матрицей:
V1V2C(V1V2)T = V1V2CV2T V1T = V1CV1T = C
Аналогично,
O1O2(O1O2)T = O1O2O2T O1T = O1O1T = I, U1U2(U1U2)† = U1U2U2†U1† = U1U1† = I
для любых двух ортогональных матриц O1, O2 и унитарных матриц U1, U2, в силу свойств антиинволютивности транспонирования и эрмитового сопряжения.
Все матричные группы O(n), Sp(n) и U(n) - бесконечномерны ( та как образованы бес - конечным числом матриц данного типа)и являются подгруппами в общей группе GL(n) всех невырожденных преобразований T в n-мерном векторном пространстве V.Если ограничиться только специальными матричными преобразованиями T 2 GL(n), такими что det(T ) = 1,то мы очевидно выделим из группы GL(n) специальную матричную подгруппу SL(n) (название происходит от английских слов"special linear"),которая также бесконечномерна.Аналогично,налагая дополнительные условия det(O) = 1 и det(U) = 1 на элементы групп O(n) и U(n),мы выделим из этих групп подгруппы,которые обозначаются SO(n) и SU(n) соответственно.Заметим,что согласно определениям простой и полупростой групп,группы GL(n), O(n) и U(n) -полупросты,а группы SL(n), SO(n) и SU(n) -просты.
3.3Матричные представления групп.Точные и неточные пред-
ставления
Матричное представление T группы G есть гомоморфизм = T : G ! " группы G в матричную группу ".Другими словами представление T группы G определяет матричную группу ", на которую гомоморфно отображена группа G.Каждому элементу g группы G ставится в соответствие матрица T (g) = ktij(g)k 2 " таким образом,что
T (g1)T (g2) = T (g1g2) $ tik(g1)tkj(g2) = tij(g1g2), T (g−1) = (T (g))−1, T (e) = I. (16)
Представление T называется n-мерным если T (g) (8g 2 G) являются n n матрицами,и эти матрицы определяют линейные преобразования в n-мерном векторном пространстве Vn.Пространство Vn, в котором действует ",называется пространством представления.
26
Представление T группы G называется точным,если T (G) = " изоморфна G, то есть имеется взаимно-однозначное соответствие между элементами " и G.Представление будет неточным,если более чем один элемент группы G представляется одной и той-же матрицей из ".
Пусть представление T группы G неточное и пусть H = Ker(T ) - ядро гомоморфизма
G T ". Тогда T будет точным представлением факторгруппы G/H.
!
Пример. Пусть G = S3, а представление T группы перестановок S3 задано в группу двух чисел " = {1, −1} по следующим правилам
T (e) = T (σ2σ1) = T (σ1σ2) = 1, T (σ1) = T (σ2) = T (σ1σ2σ1) = −1
Ядром этого представления является инвариантная подгруппа всех четных перестановок H, а факторгруппа S3/H состоит из двух элементов,смежных классов {E, K}.При этом, очевидно,что представление T заданное на этих смежных классах по правилам T (E) = 1, T (K) = −1,является точным.
3.4Эквивалентные представления
Пусть Vn - n-мерное векторное пространство и линейное преобразование T переводит вектор x¯ 2 Vn в вектор y¯ 2 Vn:
y¯ = xT¯ ) yi = xjtji,
где {xi}, {yi} - координаты векторов x¯, y¯ в базисе {e¯i}.Сделаем линейное преобразование базиса в пространстве Vn с помощью невырожденной матрицы A = kaijk : e¯0i = aije¯j. При этом координаты двух векторов x¯ и y¯ преобразуются согласно правилам xj = x0iaij, yj = yi0aij, что следует из цепочки равенств :
x¯ = xje¯j = x0ie¯0i = x0iaije¯j
Тогда матрица T линейного преобразования переводящего вектор x¯ в вектор y¯, транс -
формируется в матрицу ˜ −1,переводящую эти же вектора,но представленные в
T = AT A
новых координатах
yj = xitij ) |
0 |
0 |
) |
0 |
0 |
−1 |
0 ˜ |
ykakj = xkakitij |
ym = xkakitij(a |
|
)jm = xktkm |
27
Пусть представление T группы G в " реализовано матрицами T (g) = ktij(g)k 8g 2 G.
Тогда матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
−1 |
)mj |
, |
˜ |
|
−1 |
|
|
|
|
tij(g) = aiktkm(g)(a |
|
T = AT A |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
реализуют новое матричное представление T группы G,которое называется представлени- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
ем эквивалентным T . Тот факт , что новое представлениеT снова является гомоморфизмом |
||||||||||||||
в матричную группу " следует из следующего рассуждения: |
|
|
|
|||||||||||
˜ |
˜ |
−1 |
AT (g2)A |
−1 |
= AT (g1)T (g2)A |
−1 |
= AT (g1g2)A |
−1 |
˜ |
|||||
T (g1)T (g2) = AT (g1)A |
|
|
|
|
= T (g1g2). |
3.5Характер представления
˜ |
мы имеем тождество следов |
||
Для эквивалентных представлений T и T |
|||
˜ |
|
−1 |
) = tr(T (g)) (8g 2 G) |
tr(T (g)) = tr(AT (g)A |
|
Определим функцию на группе G, зависящую от представления T
χT (g) = tr(T (g)) (8g 2 G)
которая называется характером представления T .Из вышесказанного следует,что харак-
теры для эквивалентных представлений и ˜ совпадают: .Кроме того,элементы
T T χT = χ ˜
T
g1 и g2 из одного и того же класса сопряженности( 9g 2 G такой,что g1 = gg2g−1) име - ют одно и то же значение характера χT (g1) = χT (g2) и χT (e) = n, где n - размерность представления T , а e -единичный элемент группы G.
3.6Прямое произведение и прямая сумма представлений
Рассмотрим два матричных представления T (1) и T (2) группы G,одно из которых явля-
ется n-мерным,а второе m-мерным.Для элементов |
g 2 G эти представления реализуется |
||||
матрицами T (1)(g) = ktik(1)k, |
T (2)(g) = ktab(2)k, |
(i, j |
= 1, . . . , n, |
a, b |
= 1, . . . , m).Матрица |
T (1)(g), T (2)(g) определяют линейные преобразования векторов x¯ |
= (x1, . . . , xn) 2 Vn и |
||||
y¯ = (y1, . . . , yn) 2 Vm |
|
|
|
|
|
xk0 = xitik(1)(g), |
yb0 = yf tab(2)(g) ) |
x¯0 |
= xT¯ (1)(g), |
y¯0 |
= yT¯ (2)(g) |
28