1

Билет 1

1.Пусть на отрезке [a,b] задана ф-я y=f(x)Произвольно выберем на отрезке [a,b] точки a=x₀, x₁,…x_n=b. Такой набор точек x_i, i=1,…n, назовем разбиением отрезка [a,b] и обозначим Т.

- длина отрезка, =max 1≤i≤n- параметр разбиения В каждом отрезке- выберем точку c_i Набор {c_i} – набор промежуточных точек.

f(c₁)+f(c₂)…+f(c_n)(1) называется интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b]

Определение1.Число J называется пределом интегральной сммы при : J= если такое что выполняется неравенство

Определение2.Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] если существует Величина этого предела называется определенным интегралом от данной ф-и по данному отрезку и обознач. Числа а и b соответственно – нижний и верхний пределы интеграла, х – переменная интегрирования

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] то она интегрируема на этом отрезке

Геометрический смысл.

Пусть f(x)≥0, x Тогда равно площади прямоугольника с основанием - и высотой Поэтому интегр. сумма (1) равна площади ступенчатой фигуры, образованной из прямоугольников с основаниями и высотами соответственно ∆x_1, ∆x₂,…, ∆x_n ; f(c₁),…,f(c_n)

Площадь этой фигуры σ≈S - площадь криволинейной трапеции – фигуры ограниченной графиком функции y=f(x) двумя прямыми x=a, x=b и отрезком [a,b]

Т.о. σ=≈S

Приближение точнее при . Точное значение площади криволинейной трапеции

S=

2. Двойной интеграл

Пусть D- замкнутая и ограниченная область в плоскости xOy Функция Z=f(x,y) определена и непрерывна в области D. Разобьем область D произвольным образом сетью кривых на n частей: e₁, e₂,…e_n Обозначим S(e_i)- площадь i-й ячейки e_i, i=1,2,..,n

Конечный набор ячеек {e_i} будем называть разбиением Т области D если выполнены следующие условия: 1)e₁D, S(e₁)>0, i=1,2,..n 2) 3)S(e₁∩ e_j)=0, i≠j

Пусть набор ячеек e₁, e₂,… e_n - разбиение Т области D

Обозначим - диаметр ячейки e_i - расстояние между наиболее удаленными друг от друга точками ячейки; , 1≤i≤n - параметр разбиения.

Величина характеризует насколько мелко выполнено разбиение области D Если то каждая ячейка разбиения стягивается в точку.

В каждой ячейке e_i произвольно возьмем точку Q_i(x_i;y_i) и составим сумму V_n=S(e₁)*f(Q₁)+ S(e₂)*f(Q₂)+…+ S(e_n)*f(Q_n)= (2)

Сумма V_n называется интегральной суммой для функции f(x;y) в области D

Число I называется пределом интегральных сумм (2) при : I= если для любого такое что выполняется неравенство

Функция f(x) называется интегрируемой в области D если существует предел интегральных сумм (2) при Число I= называется двойным интегралом от данной ф-и по области D и обознач.

Если функция f(x;y) непрерывна в ограниченной и замкнутой области D то она интегрируема в этой области D

Геометрический смысл.

Пусть функция f(x;y) определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области D и f(x;y)≥0

Рассмотрим тело, ограниченное снизу областью D с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz а сверху поверхностью z=f(x,y). Обозначим объем V- этого тела

Составим интегральную сумму (2) для функции f(x;y) в области D Выясним геометрический смысл каждого слагаемого этой суммы S(e₁)*f(Q₁)

Каждое слагаемое S(e₁)*f(Q₁) можно приближенно рассматривать как объем прямого цилиндра с основанием S(e₁) и высотой f(Q₁)

Тогда сумма V_n есть объем ступенчатого тела составленного из таких цилиндров у которых основания e₁, e₂,… e_n высоты f(Q₁), f(Q₂),.., f(Q_n)

Приближенно объем всего тела будет V=

Это равенство тем точнее чем меньше каждая из ячеек e_i, т е чем меньше

В пределе при это равенство станет точным так что V==

Свойства двойного интеграла: 1)линейность(сумму можно разложить на слагаемые); 2)аддитивность (разбиение области на несколько составляющих частей D=D1+D2)