doc1

200 IX. Динамика материальной точки;

При решении задач важным является соблюдение размерности физических величин в соответствии с выбранной системой единиц.

Единица измерения работы в СИ — джоуль (1 Дж =1 Н • м), в системе МкГс — 1кГ • м.

Единица измерения мощности в СИ — ватт (1 Вт = 1 Дж/с), в системе МкГс — 1 кГ • м/с, 75 кГ • м/с = 1 л.с. (одна лошадиная сила).

Установим связь между 1 л.с. и 1 кВт:

1 кВт = 1000 Вт = 1000 Дж/с = 1000 Н • м/с, так как 1 кГ = 9,8 Н,

то 1 кВт = 1000/9,8 = 102 кГ • м/с. Тогда

1 кВт = 102/75 = 1,36 л.с.

Последовательность решения задач этого параграфа:

1.Показать на рисунке действующие на тело силы.

2.Записать в общем виде формулы, необходимые для вычисления искомых величин, и затем найти в общем виде выражения для определения этих величин.

3.Выполнить вычисления, проверить размерность величин, входящих в это выражение.

Задачи и решения

Задача 29.1

Бетонный блок ABCD, размеры которого указаны на рисунке, имеет массу 4000 кг. Определить работу, которую надо затратить на опрокидывание его вращением вокруг ребра D.

Р е ш е н и е

Чтобы опрокинуть блок, достаточно повернуть его до положения неустойчивого равновесия, когда диагональ DB займет вертикальное

положение (см. рисунок). При этом необходимо совершить работу, равную работе силы тяжести Р при перемещении точки ее приложения из положения О в положение О, на высоту h:

h =OtD- АВ

Из рисунка 0\D~

BiD = jA,B?+AlD2 = л/82 +62 =10 м.

Тогда

h = 5 - 4 = 1 (м).

Рассчитаем работу, необходимую для опрокидывания блока:

A = \-mgh\ = \-4000• 9,8• 1| = 39 240 (Дж).

О т в е т : 39,24 кДж.

Задача 29.2

Определить наименьшую работу, которую надо затратить для того, чтобы поднять на 5 м тело массы 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол в 30°. Коэффициент трения 0,5.

Р е ш е н и е

Наименьшая работа равна сумме работ силы тяжести mg и силы трения Fw скольжения (см. рисунок):

А= -mgh-Fv--h sin30°

Найдем силу трения

FTp=fN = fmg cos 30°, где N — реакция опоры, N = mg cos 30°.

Тогда наименьшая работа

A=\-mgh - fmgh ctg30°| = |wgA(-l -/ctg30°)| =

=2000-9,8-5(~1-0,5 1,73) = 183 000 (Дж) = 183 (кДж).

От в е т : 183 кДж.

Задача 29.3

Для того чтобы поднять 5000 м3 воды на высоту 3 м, поставлен насос с двигателем в 2 л. с. Сколько времени потребуется для выполнения работы, если коэффициент полезного действия насоса 0,8?

Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы, в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе движущей силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вредных сопротивлений.

Р е ш е н и е Необходимая мощность

t

где А ж — вся затраченная работа. КПД насоса

О т в е т: t - 34 ч 43 мин 20 с.

Задача 29.6

Вычислить мощность турбогенераторов на станции трамвайной сети, если число вагонов на линии 45, масса каждого вагона 10 т, сопротивление трения равно 0,02 веса вагона, средняя скорость вагона 3,3 м/с и потери в сети 5 %.

Р е ш е н и е

Мощность, потребляемая одним вагоном, идет на преодоление сил трения и с учетом потерь в сети равна

Так как Fw = fmg, то

N{ =1,05fmgv.

Тогда суммарная мощность

= 306,4-103 (Вт) = 306,4 (кВт).

О т в е т : 306,4 кВт.

Задача 29.7

Вычислить работу, которая производится при подъеме груза массы 20 кг по наклонной плоскости на расстоянии 6 м, если угол, образуемый плоскостью с горизонтом, равен 30°, а коэффициент трения равен 0,01.

Р е ш е н и е

Затраченная на подъем груза работа по модулю равна работе силы тяжести mg и силы трения FTP (см. рисунок). Сила реакции опоры N

работы не производит, так как она перпен дикулярна перемещению. Таким образом

A^ A i F ^ + Aimg^ = j-ivPs-/ngssinaj =

=/JVs+mgJsina = mgs(/cosa+sina), где N = mgcosa; a = 30°.

Вычислим работу

Л= 20-9,8-6 (0,01-0,866+0,5) = 598 (Дж).

От в е т: 598 Дж.

Задача 29.8

Когда турбоход идет со скоростью 15 узлов, турбина его развивает мощность 3800 кВт. Определить силу сопротивления воды движению турбохода, зная, что коэффициент полезного действия турбины и винта равен 0,41 и 1 узел = 0,5144 м/с.

Р е ш е н и е

При прямолинейном равномерном движении турбохода действующие на него силы уравновешены и поэтому развиваемая турбинами мощность с учетом КПД идет на преодоление силы сопро-

где т| — КПД; N — мощность; v — скорость турбохода. Из формулы (1) найдем

л = ^ = 0 '4 1 -3 8 0 0 103 = 201,9-Ю3(Н) = 201,9 (кН). О т в е т : 201,9 кН.

Задача 29.9

Найти мощность двигателя внутреннего сгорания, если среднее давление на поршень в течение всего хода равно 49 Н на 1 см2, длина хода поршня 40 см, площадь поршня 300 см2, число рабочих ходов 120 в минуту и коэффициент полезного действия 0,9.

Р е ш е н и е

Мощность двигателя внутреннего сгорания с учетом КПД вычислим по формуле

N = r|/V,

где г| — КПД двигателя; Р = qF — сила давления на поршень, q — среднее давление на поршень, F — площадь поршня; v — скорость поршня.

Рассчитаем силу давления и скорость поршня: /> = 49-300 = 14 700 (Н),

120

v = 0 , 4 - ^ = 0,8 (м/с). 60

Тогда

N= 0,9-14 700-0,8 = 10584 (Вт)= 10,6 (кВт).

От в е т : 10,6 кВт.

Задача 29.10

Шлифовальный круг диаметра 0,6 м делает 120 об/мин. Потребляемая мощность 1,2 кВт. Коэффициент трения шлифовального круга о деталь равен 0,2. С какой силой круг прижимает шлифуемую деталь?

Р е ш е н и е

Мощность при шлифовании расходуется на преодоление сопротивления вращению круга, создаваемого силой трения (см. рисунок), и равна

N = MoiF^io,

где M0(FW)= /Vp г = Rfr-Pfr, R — нормальная

пп

Тогда

N = Pfr~.

30

Откуда

т ф 3,14-03 ОД 120

О т в е т : 1591,5 Н.

Задача 29.11

Определить мощность двигателя продольно-строгального станка, если длина рабочего хода 2 м, его продолжительность 10 с, сила резания 11,76 кН, коэффициент полезного действия станка 0,8. Движение считать равномерным.

Р е ш е н и е

Мощность двигателя продольно-строгального станка вычислим по формуле

Pv N = —,

rj

где Г) — КПД станка; Р — сила резания; v — скорость резания. Так

5 2

как движение равномерное, то v = - = — = ОД м/с.

Тогда

Ar= l i Z ^ 2 = 2,94 (кВт).

0,8

О т в е т : 2,94 кВт.

Задача 29.12

К концу упругой пружины подвешен груз массы М. Для растяжения пружины на 1 м надо приложить.силу в с Н. Составить выражение полной механической энергии груза на пружине. Движение отнести к оси*, проведенной вертикально вниз из положения равновесия груза на пружине.

Р е ш е н и е

Полная механическая энергия груза Е на пружине равна сумме кинетической потенциальной энергии Я, груза и потенциальной энергии П2 пружины (при определении Я, и П2 за нулевой уровень принято положение статического равновесия груза):

E = Tl+ITt + П2.

Задача 29.13

При ходьбе на лыжах на дистанцию в 20 км по горизонтальному пути центр тяжести лыжника совершал гармонические колебания с амплитудой 8 см и с периодом Т= 4 с, масса лыжника 80 кг, а коэффициент трения лыж о снег/ = 0,05. Определить работу лыжника на марше, если всю дистанцию он прошел за 1 час 30 мин, а также среднюю мощность лыжника.

П р и м е ч а н и е . Считать, что работа торможения при опускании центра тяжести лыжника составляет 0,4 работы при подъеме центра тяжести на ту же высоту.

Р е ш е н и е Определим работу по преодолению сил трения:

Ж Д р ) = | - М