doc1
.pdf170 |
IX.Динамика материальной точки; |
Теорема моментов относительно оси:
производная по времени от момента количества движения матш риальной точки относительно некоторой оси равна моменту силь| действующей на точку, относительно той же оси:
(28.1
at
Следствие 2. Если момент сил, действующих на точку относиа тельно некоторой оси, равен нулю, то момент количества движений относительно той же оси остается величиной постоянной.
Последовательность решения задач этого параграфа в случай применения теоремы об изменении момента количества движения
1. Показать на рисунке движущуюся точку (тело) в произвольном положении, а также все силы, действующие на точку, включая и реакции связи, если точка несвободна, и векторы (или вектор) количества движения.
2.Определить момент сил относительно оси или центра в зависш мости от того, вокруг чего движется точка.
3.При условии выполнения следствия 1 или 2 записать момент количества движения точки в начальном и конечном положениях и, приравняв их, определить искомую величину.
4.При движении точки вокруг некоторого центра под действием центральной силы применить формулу Бине или формулы всемирного тяготения.
5.Провести вычисления с учетом размерности входящих в выражения величин.
Задачи и решения
Задача 28.1
Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
171 |
|||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Рассмотрим движущийся поезд как матери- j/t |
|
|||
альную точку, на которую действуют силы: сила |
|
|||
тяжести mg, нормальная реакция N, сила со- |
|
|||
противления |
(см. рисунок). Ось л: направим |
|
||
в сторону движения поезда. |
|
|
|
|
Согласно теореме об изменении количества |
|
|||
движения запишем уравнение |
|
|
|
|
|
mv2 -wv, = |
|
|
|
или в проекции на ось х |
|
|
|
|
|
wvzx ~mvu = |
|
= -Fc t. |
(1) |
Так как t0 =0, a v,x = v0, vlv = x, то уравнение (1) примет вид |
|
|||
|
х - v0 = m / = |
m |
= -Q,\gt. |
(2) |
Откуда получим дифференциальное |
уравнение |
|
||
|
* = v0 -0,lgr. |
(3) |
||
Проинтегрируем уравнение (3): |
|
|
|
|
|
x = v o / - 0,lgy+C . |
|
||
Постоянную интегрирования найдем из начальных условий: при
h =0 х0 =0; С = 0 .
Следовательно,
* = |
(4) |
|
Найдем время торможения Т. При t=Tx |
= 0, тогда согласно фор- |
|
муле (2) |
|
|
0 = v0 -0,1 gT, |
|
|
откуда |
|
|
' = |
= ——— = 20,4 (с). |
|
0,1* |
0,1-9,8 |
|
172 |
IX. Динамика материальной точки; |
|
Определим тормозной путь: при t= |
Т= 20,4 |
с х = L, тогда со.ла^ |
но формуле (4) |
|
|
L = r(v0 -ОД^у] = 20,4^20-0,1-9,8• ^ j |
= 204 (м). |
|
О т в е т : 20,4 с; 204 м. |
|
|
Задача 28.2
По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени Гтело пройдет путь длины / = 39,2 м, если коэффициент трения / = 0,2.
Р е ш е н и е
Примем движущееся тело за материальную точку, на которую действуют силы: сила тяжести mg, нормальная реакция W, сила трения Fc. Ось х направим в сторону движения тела, т.е. вниз вдоль наклонной плоскости (см. рисунок).
Запишем уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения:
mv2 -mv, |
|
или в проекции на ось х. |
|
mv2x -mv]x = Y,skx |
= (mg sin a - Fc)t, |
так как t0 = 0. |
|
Имея в виду, что v]x = v0 = 0, v2x |
= x, получим |
mx = (mg sin a - Fc)t.
Поскольку Fc = Nf =mgf cosa, то
mz
x = — (sina - /cosa)/ = g(sina-/cosa)/. m
Проинтегрируем это выражение и получим
х = g(sin a - / cosa)у+С.
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
173 |
Найдем постоянную интегрирования С из начального условия:
при t = 0 х0 = 0, значит, С = 0. Тогда |
|
t2 |
(1) |
х = g ( s i n a - / c o s a ) y . |
Определяем время Гдвижения. При t = T х = 1, тогда формула (1) примет вид
|
I = g(sina- / |
Г2 |
|
|
cosa)—, |
||
откуда |
|
|
|
Г = I - |
^ |
= |
=5(с). |
"|g(sina- / cosa) |
\ 9,8(0,5-0,2-0,866) |
||
О т в е т : Т = 5 с.
Задача 28.3
Поезд массы 4 • 105 кг входит на подъем / = tga = 0,006 (где a — угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (коэффициент суммарного сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги тепловоза.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движущийся поезд как материальную точку, на которую действуют силы: сила тяжести mg, сила сопротивления Fc, сила тяги FT, нормальная реакция N. Ось л: направим в сторону движения поезда (см. рисунок).
Запишем теорему об изменении количества движения в векторном виде:
mv7 -mvl
или в проекции на ось х:
mv2x -mvu =
=(FT -Fc -mg sin a) T.
174 |
IX. Динамика материальной точки; |
Так как v2x = v2, vljc = v,, то
m.
Fr =—(v2 -v,) + /c +/«g sina,
где Fc= Nf -mgf cosa. Тогда
Fr =m |
- + g(sina +/cosa) |
(1) |
Согласно условию tga = 0,006, значит, a = 0,343°, a sina = 0,006, тогда cosa =1.
Подставим исходные данные в формулу (1) и найдем
Fr =4105 12,5-15,0-+9,8(0,006+0,005-1) = 23120 (Н). 50
О т в е т : 23 120 Н.
Задача 28.4 |
|
Гирька М привязана к концу не- |
1/2Л |
растяжимой нити МОЛ, часть которой |
|
OA пропущена через вертикальную труб- |
|
ку; гирька движется вокруг оси трубки |
|
по окружности радиуса МС = R, делая |
м, |
120 об/мин. Медленно втягивая нить <24 |
|
в трубку, укорачивают наружную часть |
|
нити до длины ОМь при которой гирь- |
|
ка описывает окружность радиусом R/2. |
|
Сколько оборотов в минуту делает гирь- |
|
ка по этой окружности? |
|
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение гирьки. На нее действуют сила тяжести mg и реакция нити N. Проведем ось ^ вертикально вверх (см. рисунок).
Запишем уравнение, выражающее теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно оси
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
175 |
dh = ТМ, dt
так как ЕЛ/ = 0, то /г = const. В начальный момент
|
l=mv-MC |
= ma>R• R = |
m—R2, |
|
|||
|
|
|
|
|
30 |
|
|
а в конечный |
момент |
|
|
|
|
||
, |
<= mv, |
|
R R |
щ |
R2 |
. |
|
М.С. = /ясо. |
2 |
= т—! |
4 |
||||
г, |
i |
l l |
1 2 |
3 0 |
|
||
Если /г = const, то /г |
= 1г{. Тогда |
|
|||||
|
|
лп |
|
|
= |
4п = 4-120 =480 (об/мин). |
|
|
m—R2 = m — |
||||||
|
|
30 |
30 |
4 |
^ |
|
|
О т в е т : 480 об/мин.
Задача 28.5
Для определения массы груженого железнодорожного состава между тепловозами и вагонами установили динамометр. Среднее показание динамометра за 2 мин оказалось 106 Н. За то же время состав набрал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу состава, если коэффициент трения / = 0,02.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движущийся состав как материальную точку массой т, на которую действуют: сила тяжести mg, сила сопротивления Fc, сила тяги Fr, нормальная реакция N. Направим ось х в сторону движения состава (см. рисунок).
Запишем уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения:
mv2 -mv, = Y^i
176 |
|
IX. Динамика материальной точки; |
или в проекции на ось х: |
|
|
mv2x -mvlx =5te |
= (FT - Fc)t. |
|
Так как vlx = v, =0, vlx = v2, то |
|
|
|
mv2 = |
Fj-Fj, |
где Fc - fN = mgf. |
|
|
Тогда |
|
|
|
mv2 = Fr |
t-mgft. |
Откуда |
|
|
W = |
^ 1 2 0 ^ 6 |
= 3,036-106 (кг). |
v2+gft |
16+9,8 0,02 120 |
|
О т в е т : 3036 т.
Задача 28.6
Каков должен быть коэффициент трения / колес заторможенного автомобиля о дорогу, если при скорости езды v = 20 м/с он останавливается через 6 с после начала торможения.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движущийся автомобиль как материальную точку, на которую действуют сила тяжести mg, сила сопротивления Fc и нормальная реакция N. Направим ось* в сторону движения автомобиля (см. рисунок).
Запишем теорему об изменении количества движения:
mv2 -mvt |
= |
или в проекции на ось х: |
|
mv2x -mvlx = |
= -Fc t. |
Так как v2x = v2 = 0, v!;( = v,, a Fc = fN = mgf, то v, = gft.
ш
mg
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
177 |
Откуда найдем коэффициент трения
20 = 034. gt 9,8-6
О т в е т : / = 0,34.
Задача 28.7
Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью v = 650 м/с, пробегая канал ствола за время t = 0,00095 с. Определить
среднюю величину идеального давления газов, пулю, если площадь сечения канала о = 150 мм2.
Р е ш е н и е
На пулю действуют сила тяжести mg, нормальная реакция N и сила давления пороховых газов F (см. рисунок).
Запишем теорему об изменении количества движения точки в проекции на ось х:
выбрасывающих
№
-ЕЭ- mg
mv - |
mv0 = Ft, |
(1) |
где v„ = 0; F = qc, q — средняя величина давления |
газов. |
|
Тогда уравнение (1) примет |
вид |
|
mv = qat,
откуда определим среднее давление газа
mv = |
0,020-650-10^ |
4 |
2 |
Gt |
150-0,00095 |
|
|
О т в е т : среднее давление 9,12 • 104 Н/мм2.
Задача 28.8
Точка М движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v2 в наиболее удаленной от центра точке траектории, если ско-
178 IX. Динамика материальной точки;
рость точки в наиболее близком к нему положении v, = 30 см/с, а г2 в пять раз больше г,.
Р е ш е н и е |
|
|
На точку М при движении вокруг центра О |
^ |
|
действует сила притяжения F. Покажем на ри- |
|
|
сунке точку в положении Л/, — наиболее близ- |
mS |
|
ком к центру О траектории, и М2 |
— наиболее |
|
удаленном от него. |
|
|
Запишем теорему об изменении момента количества движения |
||
точки относительно центра О: |
|
|
^ = |
0, |
|
at |
|
|
откуда /0 = const, т.е. |
|
|
/«, =кг\ |
О) |
|
/01 =«v,i|, |
/02 =mv2r2. |
(2) |
Подставим выражения (2) в уравнение (1): |
|
|
Vl1 = V2r2>
где г2 = 5г,.
Откуда найдем скорость точки в положении М2:
Vi1 |
30 , . . . |
|
|
v2=-J-i- = — =6 (см/с). |
|
||
h |
5 |
|
|
О т в е т: v2 = 6 см/с. |
|
|
|
Задача 28.9 |
|
|
|
Найти импульс равнодействующих сил, |
|
м |
|
действующих на снаряд за время, когда |
ж г |
||
снаряд из начального положения О перехо- |
|
||
дит в наивысшее положение М. Дано: v0 = |
|
||
= 500 м/с; а0 =60°; v, = 200 м/с; масса сна- |
|
||
ряда 100 кг.
28. Теоремы об изменении количества и момента количества движения |
179 |
Р е ш е н и е Применим теорему об изменении количества движения точки
в проекциях на оси х и у: |
|
|
|
|
mvx -mvQx -Sx, |
(1) |
|
Найдем |
mvy-mv0y=Sy. |
(2) |
|
|
|
|
|
|
v* =v,, |
v0x = v0cos60°; |
|
|
vy = 0, |
v0y = v0 sin 60°. |
|
Подставим эти выражения в уравнения (1) и (2) и получим |
|
||
Sx = /n(v, - |
Vq cos 60°) = 100(200-500-0,5) = -5000 (Н-с), |
|
|
Sy = -mv0y |
|
-Д |
|
=-mv0 sin60°=-100-500-y- = - 4 3 300 (H-c). |
|
||
О т в е т : проекции импульса равнодействующей: Sx =-5000 H-c; = - 4 3 300 H-c.
Задача 28.10
Два астероида Л/, и М2 описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого S находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу МХМ2 эллипса можно считать отрезком прямой. Известно, что длина дуги Л/,Л/2 равнялась а, когда середина ее
находилась в перигелии Р. Предполагая, что остероиды движутся с равными секториальными скоростями, определить длину дуги МХМ2, когда середина ее будет проходить через афелий А, если известно, что SP = и SA = R2.
Р е ш е н и е
Секториальная скорость астероида пропорциональна площадям треугольников M{SM2 и M,SM2 (см. рисунок). Из равенства соответствующих площадей следует, что
1д,а = 1д2 (Л/>2 ).