doc1
.pdf150 |
|
|
|
|
|
IX.Динамика материальной точки; |
||
|
Решение неоднородного уравнения (5) ищем в виде |
|
||||||
|
|
У = У + У*, |
|
|
|
|||
где у ->- решение однородного уравнения, у =С2 sin к2t+C3 |
cosk2t. |
|||||||
|
Частное решение уравнения (5): у*-С4; к*С4 =k2v0. Отсюда |
|||||||
Г |
- vo |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда полное решение уравнения (2) имеет вид |
|
||||||
|
y = C2sink2t+CiCO$k2t+\ |
(61 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
к2 |
|
|
Для определения постоянных интегрирования С2 и С, найдем |
|||||||
производную по времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = С2к2 cosk2t -С3к2 |
sin k2t. |
(7) |
|||||
|
Из уравнений (6) и (7) при начальных условиях движения: t = 0, |
|||||||
Уо = 0, у0 =0, получим: С2 = 0, С3 |
= - ~ . Тогда уравнение движения |
|||||||
частицы вдоль оси у |
|
|
к2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = ^ ~ c o s k 2 t ) . |
|
(8) |
|||||
|
|
к1 |
|
|
|
|
|
|
|
Продифференцируем уравнение (8) по времени и подставим по- |
|||||||
лученное выражение в уравнение (1): |
|
|
|
|
||||
|
y = v0smk2t, |
|
|
(9) |
||||
|
Jc = -/c2v0 sin А:2/. |
(10) |
||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем замену: х - — , разделим переменные в уравнении (10) |
|||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
и |
проинтегрируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
-k2v0smk2tdt, |
|
|||||
|
dx |
0 |
|
2 |
|
4 |
. |
(11) |
|
x = — = v |
cosk |
t+C |
Разделим переменные в уравнении (11) и проинтегрируем: dx = v0 cosк2 tdt+C4dt,
x = ^smk2t+C4t+Cs. |
(12) |
к |
|
27. Дифференциальные уравнения движения |
151 |
Найдем постоянные интегрирования С4 и С5 из уравнений (11) и (12) с учетом начальных условий движения: t = 0, х0 = 0, Xq = v0; С4 = О, С5 = 0. Тогда уравнение движения частицы вдоль оси х примет вид
x = -^-sin k2t. |
(13) |
к |
|
При интегрировании уравнения (3) с учетом начальных условий: t = 0, Zo= 0, гь = v0, получим z = 0, т.е. частица будет двигаться в плоскости Оху.
Найдем уравнение траектории в координатной форме, исключив
из уравнений (8) и (13) cos k2t и sin k2t: |
|
-cosk2t = ~ ( y - ^ ] , sin k2t = |
—. |
v0V k2 J |
v0 |
Возведем эти выражения в квадрат и сложим, получим
vj |
у0ЧУ к2) |
'' |
или |
|
|
„vn mvn „
—окружность радиусом R = -±- = —- , центр которой смещен по оси
кеН
ув положительном направлении оси на величину R в плоскости Оху.
О т в е т : окружность радиуса mv0 / (еН).
Задача 27.60
Определить траекторию движения частицы массы т, несущей заряд е электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением Е = A coskt (А и к — заданные постоянные) со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила F = -еЕ.
152 |
IX. Динамика материальной точки; |
Р е ш е н и е
Выберем декартову систему координат Оху (начало координат — точку О совместим с начальным положением частицы). Составим дифференциальное уравнение движения частицы М в электрическом поле под действием силы F (см. рисунок) в проекции на оси х и у:
тх = О,
ту = -еА coskt
у
m m t*
0
X М{х,у)
И Л И
|
х = 0, |
(1) |
|
- |
е А |
и |
(2) |
у |
т |
cos kt. |
|
|
|
|
Решим уравнение (1):
х = Ср x-Cxt+C2.
Исходя из начальных условий: t = 0, Хо =0, х0 = v0, найдем постоянные интегрирования: С, = v0, С2 =0. Тогда
|
|
|
х = V . |
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
Решим уравнение (2). Сделаем замену: у = —, разделим перемен- |
||||||
ные, возьмем определенный интеграл |
|
dt |
||||
|
|
|||||
у |
|
—еА ' |
|
|
-еА . . . |
|
jdy |
= |
jcosktdt |
=>у |
тк |
smw |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
тк |
smkt. |
|
|
Аналогично определим у: |
|
|
|
|
||
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
\dy = |
т к |
—\smktdt. |
|
|
|
|
>•(0) |
о |
|
|
27. Дифференциальные уравнения движения |
153 |
Откуда
(4)
Из уравнения (3) найдем t = —, подставим это значение в формуле
лу (4). Уравнение траектории примет вид
|
|
у = |
еА (, |
кх |
|
|
|
тк |
1-cos |
|
|
Ответ: у = |
еА ( |
кх^ |
|
|
|
тк 2 |
1-cos — I, где ось у направлена по напряжению |
||||
|
"о |
|
|
|
поля, начало координат совпадает с начальным положением точки в поле.
Задача 27.61
По негладкой наклонной плоскости движется тяжелое тело М, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизонтальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно АВ, равна
12 м/с. Определить вторую составляющую v, скорости, а также натяжение Г нити при следующих данных: уклон плоскости tga = 1/30, коэффициент трения / = 0,1, масса тела 30 кг.
Р е ш е н и е
Возможны два способа решений.
Первый способ. Так как материальная точка движется по наклонной плоскости прямолинейно и равномерно, то действующие на нее в плоскости силы Т, mg sin а и Flp (рис. 1) образуют уравновешенную систему.
154 |
IX. Динамика материальной точки; |
mg sin а fVp=fmg cos а"
Рис.2
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3 |
|
Из силового треугольника (рис. 2) найдем натяжение нити: |
||||||||||||
Т = |
(fmg cos a)2-(mg |
sin а)1 |
= mg-Jf2 cos2 a - s i n 2 a = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Vl + tg2 a |
l+tg 2 a |
g F |
^ f |
* |
a |
= 30-9,8- |
100 |
900 -27,7 (H). |
||||
V 1 + tg |
|
|
|
|
1 + - |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
900 |
Определим вторую составляющую скорости (рис. 3): |
||||||||||||
v, =v |
tg<p= v |
/ngsina |
|
. |
I l + tg2 a |
= v |
( |
tg2 a |
||||
|
= v sin a |
|
|
» |
|
s |
||||||
2 |
|
2 |
2 |
V/ - t g ct |
|
2 |
||||||
|
|
|
^ |
|
|
|
|
V/ - t g a |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 2 - |
1 |
1_ =4,24 (м/с). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
100 |
900 |
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ. Запишем дифференциальные уравнения движе-
ния тела в проекциях на оси х н у (рис. 4): |
|
|
mx = /wgsina-/vpsin<p, |
(1) |
|
|
my = T-Fx v coscp, |
(2) |
где сила трения Fw -fN |
= fmg cosa, |
|
simp: V |
X |
у |
ЛJx2 + y ; cos<p = |
|
27. Дифференциальные уравнения движения |
|
|
|
|
|
155 |
||||||
Тогда дифференциальные |
урав- |
|
|
|
|
|
|
|||||
нения (1) и (2) примут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = g s i n a - / g |
|
г cosa, |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|||
V*2 + У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
my = T-fmg ~Jx2 +У'.cosa. |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
||||
Так как с некоторого момента дви- |
|
|
|
|
|
|
||||||
жение равномерное и прямолиней- |
|
|
|
|
|
|
||||||
ное, то х = 0 и у = 0. Тогда из уравне- |
|
|
|
|
|
|
||||||
ния (3) найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
4 |
|
|
tga = |
|
J* |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2x22 |
- s v ^ |
|
2 |
" |
|
|
||||
2 ~ = f** |
|
|
У |
|
|
|||||||
tg a |
= -fj—rr |
|
=> ** = |
/ |
2 - tg2 a ' |
|
|
|||||
|
|
x2 |
+y1 |
|
|
|
|
|
||||
где у = 12 м/с; tga = 1/30; / |
= 0,1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = V, |
= |
|
144 |
1/900 |
|
= 4,24 (м/с). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
/1/100 — 1 / 900 |
|
|
|
|
||||||
Так как у = 0, то из формулы (4) определим натяжение нити |
||||||||||||
, |
У |
. cosa |
- |
ОД • 30 • 9,8 -12 |
1 |
|
||||||
Т = fmg , / |
|
V4^42 +122 |
-v/l + tg2 |
a |
||||||||
Vx2 |
+у2 |
|
|
|
||||||||
|
36-9,8 |
|
|
30 |
= 27,7 (H). |
|
|
|||||
VI 7,98+144 л/901 |
|
|
|
|
|
|
||||||
О т в е т : v. = 4,24 см/с; |
T - 27,7 H. |
|
|
|
|
|
|
|
156 |
IX. Динамика материальной точки; |
|||
|
Задача 27.62 |
|
|
|
Точка М массы т |
находится под дейст- |
|
У |
|
вием двух сил притяжения, направленных |
|
м |
|
|
к неподвижным центрам О, и 02 (см. рису- |
- |
У \f2 |
|
|
нок). Величина этих сил пропорциональна |
0 |
|
||
расстоянию от точек О, и 02. Коэффициент |
А0, |
\°2 |
X. |
|
пропорциональности одинаков и равен с. |
а |
2о |
|
Движение начинается в точке А0 со скоростью v0, перпендикулярной линии 0,02. Оп-
ределить, какую траекторию опишет точка М. Найти моменты вре- мени, когда она пересекает направление линии О,02, и вычислить ее! координаты в эти моменты времени. Расстояние от точки А0 до оси у равно 2а.
Р е ш е н и е
Составим дифференциальные уравнения движения точки в про* екции на оси х и у:
|
тх = -с[(х - а)+(х |
+ а)], |
|
ту = -с(у + у) |
|
или |
|
|
|
х + &2х = 0, |
(О |
|
у + к2у = О, |
(2) |
где к2 = |
2с |
|
|
т |
|
Решение уравнение (1) имеет вид |
|
|
|
х = С, coskt +С, sin kt. |
|
Тогда |
|
|
|
х = -C}ks\nkt+С2к |
cos kt. |
Используя начальные условия: / = 0, х0 = - 2а, х0 =0, определим; С, = - 2а, С2 = 0.
27. Дифференциальные уравнения движения |
157 |
С учетом значений постоянных интегрирования С, и С2 запишем
решение уравнения (1): |
|
x = -2acoskt. |
(3) |
Аналогично решим уравнения (2): |
|
7 = Съ coskt+Ct, |
sinkt, |
у = ~C3ksinkt+C4kcoskt.
Исходя из начальных условий: t = 0, у0 = 0, у0 = v0, найдем: С3 = О,
С4 |
= —. Тогда |
|
|
|
|
/Г |
|
|
|
|
у = — sin/:/. |
|
(4) |
|
|
к |
|
|
|
|
Из уравнений (3) и (4) найдем |
х |
|
|
|
coskt |
, |
(5) |
|
|
|
2 а |
|
|
|
s i n * / Л |
|
(6) |
|
|
|
VO |
|
|
Возведем обе части выражений (5) и (6) в квадрат, сложим их и, учитывая, что sin2 kt + cos2 kt = 1, получим уравнение траектории точки в координатной форме:
•X2 |
V2 |
|
+ —-—— = 1, — уравнение эллипса, |
(2я)2 |
(v0 Л)2 |
где £ = 2с
" т
Точка будет пересекать линию 0,02, т.е. ось х, когда у - 0. В этом случае из уравнения (4) следует, что
sin kt = 0 |
kt = тк =>t = — , т = 0, ], 2,3,.... |
||
|
|
|
к |
Если т - 0 , |
то /„ = 0, х0 = -2acos0°= -2a, у0 =0; |
||
если т = 1, то |
|
= —, х. = ~2a cosn = 2a, у, = 0; |
|
|
|
к |
|
если т = 2, то t2 |
2 л |
х2 = -2a cos7t = -2a, у2 = 0 и т.д. |
|
= —, |
|||
|
|
к |
|
158 |
|
|
IX. Динамика материальной точки; |
||
Следовательно, при четных т |
|
|
|||
|
|
хт =~2а, ут =0, |
|
|
|
при нечетных |
|
|
|
|
|
|
|
=2а, УтМ =0. |
|
|
|
Период обращения точки при ее движении по эллипсу |
|||||
|
|
Т = — |
|
|
|
|
х2 |
у2 |
-1, где к - |
—, /=0,хд= -2а, уь = ^ |
|
О т в е т : эллипс - — - + - |
(vjk)2 |
||||
|
(2а)2 |
|
|
|
|
=n/k,xl |
= 2а, |
у, =0;/2 = 2п/к,х2 |
=-2а,у2 |
= 0ит.д. Время, |
в течение которого точка описывает эллипс, Т = 2п/ к.
Задача 27.63 |
|
На точку А массы т , которая начинает |
£А> |
движение из положения г - г0 (где г — ради- |
|
ус-вектор точки), со скоростью v0, перпен- |
|
дикулярной г0, действует сила притяжения, |
|
направленная к центру О и пропорциональ- |
|
ная расстоянию от него. Коэффициент пропорциональности равен тс,. Кроме того, на точку действует постоянная сила тсг0. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение с,/с, чтобы траектория движения проходила через центр О? С какой скоростью точка пройдет центр 01
Р е ш е н и е
Составим дифференциальные уравнения дви- у жения в проекции на оси х и у:
тх = -/J + F,
ту = -Ц
или с учетом условий задачи
тх = -тс)х+тсх0,
ту-- тс{ у.
27. Дифференциальные уравнения движения |
159 |
|
Откуда |
|
|
х+<\х |
= схй, |
(1) |
У + |
= |
(2) |
Решение уравнения (1) ищем в виде х = jc + x*
где х — решение однородного уравнения, х = Л, cos Jc\t+B, sin Jc^t, x* - D — частное решение, подставив которое в уравнение (1), най-
п |
с |
|
|
|
|
дем D - — х 0 . |
|
|
|
|
|
|
с> |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
х = Л, cos *Jc^t+Bi sinJ(\t+—x0 , |
||||
|
|
|
|
<h |
|
|
х = |
sinJc^t |
cos Jc\t. |
||
Используя начальные условия: t = 0, х = х0, х0 |
=0, определим по- |
||||
стоянные А, и В{. Ах = jc0 |
Q |
х0, Вх =0. |
|
|
|
|
|
ci |
|
|
|
С учетом значений А, и В, решение уравнения (1) примет вид |
|||||
|
X = Xq |
1 - — \cOsJcf |
+ — Xq. |
(3) |
|
|
|
V |
<\) |
<л |
|
Аналогично решим уравнение (2):
у= А3 cos -Jqt+В3 sin -Jc^t,
у= -A3J<\sin fit +B3Jc^ cos
Используя начальные условия: t = 0, ya =0, ya = v0, найдем посто-
янные интегрирования: A3 =0, B3 = - = .
Jc,
Тогда
У = |
(4) |
|
V4 |