Задание_к_контрольной
.pdf6. Определим тонки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости,
|
« * |
-(х+\)3-3(х+\)2(\-х) |
-х-1-3+3* |
|
2 * - 4 |
|||
Найдем у": |
|
, |
" = |
. Г*+1/ |
;— = |
тт- |
||
|
|
|
(*+1) |
(*+1)4 |
||||
у" - |
0 при х ~ 2 |
2 - критическая тонка второго рода, |
|
|||||
х = -1 их = 2разбивают числовую ось на интервалы (-oq -1), (-]; 2), |
||||||||
(2; |
Определим знаку" на каждом из этих интервалов. |
|
||||||
Заполним таблицу; |
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
(-Щ п |
|
2 |
|
+ |
|
|
У" |
|
1 |
- |
0 |
|
|
|
|
У |
|
»ыпуюшя щыпукяая |
2/9 |
вогнутая |
|
||
|
|
|
п- |
п |
|
|
и |
|
При переходе через критическую точкух - 2 слева направо у" ме- |
||||||||
няет свой знак |
Так как Д2) |
= 2/(2+1)* « 2/9, то точка (2; 2/9) являет* |
||||||
ся точкой перегиба графика функции. |
|
|
|
|
7. Определим Наклонные асимптоты. Уравнение такой асимптоты
имеет шд у ~kx + b, |
|
|
|
|
где k = От |
lim |
* |
, = lim |
Цг = 0; |
lim(f(x)~kx)= |
lim |
= |
|
Следовательно, прямая у ~0 яеляШся двусторонней горизонтальной асимптотой.
8. Построим график функций (рис.5).
28
Тема 3: Неопределенный н определенный интегралы
Вопросы
1.Первообразная. Неопределенный интеграл ц его свойства. ,
2.Таблица основных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
3.Интегрирование простейшихрациональных дрббей.
4Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей.
5.Интегрирование тригонометрических функций.
6.Интегрирование иррациональных функций.
7.Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
8.Задачи} приводящие к понятию определенного интеграла (задача о плои^ади криволинейной трапеции и работе переменнойсилы)-
9.Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
10.Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
11.Производная определенного интеграла по верхнему npedejfy. Формула Ньютона-Лейбница.
12.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
13.Приближенное вычисление определенных интегралов: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
14.Вычисление площадей в прямоугольных и полярных координатах.
15.Вычисление длины дуги линии.
16.Вычисление объемов тел вращения.
17.Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести плоской кривой.
18.Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести плоских фигур.
19.Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.
|
Контрольные заданий |
Задание 3.1. Найти неопределенные интегралы. |
|
|
В а р и а н т ы |
1. а) \хЧ2хА - 5 dx; |
Ь) \х1пЪх(1х ; с) J * |
х —81
d) jsin3 4x • cos2 4x dx.
29
2. |
а) |
Г - 4 — А ; |
|
^ |
\xcos(2x-\)сЬс |
; cj f |
I Z - t l l l — b ; |
||||||
|
|
4х |
- |
2 |
|
|
|
|
1 |
' |
>(х + г)(х |
+* + 1) |
|
|
J) |
jcos* |
Зх dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
я ; |
4 ) |
6 |
< f |
c |
; |
|
b)\x-e'Axdx; |
|
с) |
|
|
|
|
, |
f cay3 2* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d ) |
J —rr |
2* |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
e j U - 4 |
V 4 ; |
|
b) |
\4~xlnxdx; |
c)\-. |
-бдг + 5 |
|
|||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
<Л) fли2 - • cos1 |
- |
dx. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
aA^-dx; |
|
|
b)\CSx~4)lnxdx |
; |
c) f T |
- f - — |
|
|||||
|
' « w 3 |
* |
|
|
|
' |
|
|
|
\/дг - 5*+1 |
|
||
|
</H |
|
* |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
6. |
|
yfx |
|
|
|
' |
|
2 |
|
c) J |
- f z l ^ ^ r ; |
||
|
J |
|
|
|
|
|
V4*2 +4x+l |
|
|||||
|
|
| sinxsin3x |
dx. |
' |
|
|
|
|
|
||||
.'7. |
a)J \jcos2x~4 |
sin2xdx; |
b)[lnx2 |
dx ; |
с)[щ==<1х; |
|
|||||||
|
d ) |
| |
|
• |
|
|
г |
, |
|
|
|
|
|
|
|
• 2 sinx+3cos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
8. |
a r f ^ ^ A ; |
|
b) |
Г(2д: 3)sinlxdx; |
c) f |
|
|
||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
' |
|
|
X 4 Xе + 2x |
||
|
<3f> I COfIr • co^SJC |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
9. |
a) |
i |
, |
|
dx; |
b) |
f arcsin - dx ; c) |
[T— |
-т |
- dx; |
|||
|
d)j/g42xdx. |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. а) |
I |
h) iantglxdx; |
с) f |
|
' cos13x |
3 |
' y/x + Vx |
i ) \ |
5 - 4 *sinx |
|
|
Задание 3.2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
! 7 * L |
2. | |
|
3. r - i t . |
4. f — ^ Ц - . 5. L . / a . |
|||||
\xlnx |
|
^ 4 + х |
|
I V h V |
|
|
-V |
||
6. f - Д . . 7. Г — * |
. 8 . ? — 9 . f — . |
10 . } * . |
|||||||
Задание 3.3. Вычислить площадь фшуры, ограниченной линиями: |
|||||||||
|
|
|
|
В а р и а н т ы |
|
f |
|
||
1.у = 2х-х2 ,у3 5 х2 . |
|
. |
6. г = 4(1 + |
|
|||||
2. |
ху =1, у = х, х = 2, у - 0. |
|
l.r- |
5 sin3qk. |
|
||||
3. |
у = х2,2х + у-3=: 0. |
|
|
8 .r=*2cos3tpi |
|
||||
4. |
у = (х - 4)2, у - |
16 - х2, у ж 0. |
|
9.г |
- 3 Лп2щ |
> |
|||
З.у = ( х + 1)2,х + у = 1,у = 0. |
|
10.г ^*cos2qx |
|
||||||
Задание 3.4. Вычислить длину дуги кривой. |
|
|
|||||||
|
|
v |
|
В а р и а н т ы |
|
|
|||
1 |
|
2(1 :cosp). |
|
|
|
|
|
|
|
2.x - |
3(t-sin |
t), у |
= 3(1 - со* t), 0 < t < 2 т |
|
|||||
3. |
г = 3(7 - со.? |
|
|
|
|
|
|
||
4. x-2 |
cos3 t,y~2sin31, |
0 £ t |
< |
n/2. |
|
|
|||
5. x = |
у- |
4-1/4 |
м е щ точками ее пересечения с осями |
||||||
|
|
|
|
|
координат. |
|
|
|
6.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у - 4 - х2,2х + у«4 = 0.
7.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у ж х2/2, у * х3/8.
8.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у ~ -х2 + 8, у ~ х2.
9.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = х3, х - 1» у = 0.
10.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями ху = 9, у ~ 3, у = 9, х = 0.
Методические указания к решению задач но теме "Неопределенный и определенный интегралы"
|
|
Таблица основных неопределенных интегралов |
||||||||
L Iuadu = —~ |
+ С .(а*- |
I). I0.J-4L |
- /nLf ~ + |
4/ |
+ С. |
|||||
J |
|
а+1 |
|
' ш м |
|
V2 |
|
|
||
2. |
|
Inи |
|
11.J—^du |
|
— arctg — + C(a*0). |
||||
J |
|
|
а |
ч- и |
a |
|
a |
|
||
3. |
jeudu=eu+C. |
12. f |
du |
|
2a |
a + u + C. |
||||
|
|
|
|
аг-и2 |
|
а-и |
|
|||
4 . |
= |
4- С . |
|
13. JV |
du |
|
|
|
и |
|
|
|
z - arcsin— + C(j«| < jaj). |
||||||||
|
|
|
|
^ |
v |
|
|
|
|
|
5. |5Ш«А = -соу«+С. |
|
ж |
r = in\u + л/и2 ± a21 + С |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Н / yfuTTa2 |
|
|
|
|
||
6. |
|
|
|
15. JjrAw-cAw-i |
С |
|
|
|
||
7. |
|
= |
|
16. jchu-sh |
м + С |
|
|
|
||
|
CO* и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• sin |
и |
|
17. | ch2u |
|
|
|
|
|
||
9] |
|
|
+C. |
18. J du = - cthu+ C. |
|
|
||||
4 |
sin и |
2 |
shlu |
|
|
|
|
|
||
Пример 3.1, Вычислить интеграл J |
(Зх - 4)sm5xdx. |
|
|
|||||||
Решение. Применим формулу интегрирования по частям: |
||||||||||
|
|
|
| |
udv ~ uv -1 |
vdu. |
|
|
|
|
|
Положим и-Зх-4, |
dv=sin3xdxt тогда du-3dxf |
v~J |
sinSxdx=- ™со$,5х |
|||||||
J |
- 4)sin5x dx |
(Зх - 4)cos5x + ~ J |
cay5x dfr - |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=- - (3x-4)cos5x + —sin 5x + С |
|
|
|
||||
|
|
|
5* |
25 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример3,2. Найти интеграл J* |
—-dx. |
Решение. Подынтегральная функция я&шетсярациональной, т.*. отношением двух многочленов. Поскольку степень числителя дроби выше степени знаменателя, то нужно выделить целую часть. Для этого разделим шслитель на знаменатель по прат*яу деления многочленов.
• j t 4 + 8 * |
jc 4- 1 |
х3 +8
-1 0
Врезультате деления получаем
х 4 + х 3 + В х - 2 |
- 1 0 |
. * 3 + в |
~ * 3 + 8 |
Следовательно,
хг |
inf |
|
|
dx |
2 |
+ X-10J- |
|
||
" |
J |
jr3+8 |
Дробь ——~ разложим на сумму простейших дробей:
* 3 + 8
1 |
1 |
А |
Вх+С |
д:3+8 |
(х + 2)(хг-2х+А) |
* + 2 |
jc2 -2jr + 4* |
1 = А(х2 ~2х + 4)+(х + 2)(Вх + С). |
|
Найдем Af В, С, приравнивая коэффициенты при одинаковых сте - пенях х.
А + В = 0 |
I |
2В + С-2А ~ 0 |
I =>А = 1/12, В =-1/12, С = 1/3. |
х° 2С + 4А = 1 |
) |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-jr-f - |
|
|
|
|
|
||
= l / « b + |
2 1 - i - f - i l l i - |
|
A s |
i u , |
+ 2 | |
_ 1 |
|
|
||||
12 |
|
|
1 |
2 4 J * J |
- 2 * + 4 |
|
|
12 |
|
2 4 V - 2 * + 4 |
||
12 |
|
. |
|
24 x |
~2x + 4 |
|
4}x2-2x+4 |
12 |
^ 1 |
|||
- - |
Itlx1 |
- |
2* + 4t+ i f — |
|
= |
1 |
Цг + |
2| - ± |
1„Уг - |
2x + 4j + |
||
24 |
1 |
|
|
' 4 |
, Y * - V |
, |
+ 3 12 |
|
24 " |
1 |
||
|
arctg—j=r- + C. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4\f3 |
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак,
Пример 3J. Вычислить несобственный интеграл
J — * urn доказать его расходимость.
*0 x +X4*+A*. 9
Решение
( , * |
' |
|
A |
|
|
|
Lx%+Ax |
+ 9 |
1тжг + 4х + 9 |
qXl+4x |
|||
|
dx |
|
= |
u |
1 |
x + 2 |
*** ' ( i + 2 f + J |
lim ~j? arctg |
|||||
|
|
|
л/5 |
|||
1 |
2 |
|
1 я |
1 |
я |
1 ' |
+ 9 |
limf |
у+5 |
|
||
n |
1 |
b |
|
||
2 |
/г |
|
Интеграл сходится.
Пример 3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
г ~ asm 3(/х
34
Решение. Фигура, площадь которой нужно найти, представляет собой трехлепестковую розу (рис.б). В силу ее симметрии достаточно вычислить площадь половины любого лепесткй и результат умножить на б.
Площадь криволинейного сектора в полярной систем* координат вы-
чисяяется по формуле |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
«* |
|
|
|
|
Следовательно, искомая площадь |
|
|
|
||||
1 |
|
|
* |
|
|
|
* |
г \ |
|
w |
{ |
2 |
2 v^ |
6 |
4 |
- — ~ |
~ - |
* g 2 |
|
|
|
|
|
2 |
"б"" |
4 |
|
|
|
|
|
Пример 3.5, Вычислить объем тела, образованного вращением «округ оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = * + у = 2, ^=0.
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения параболы у -э? и прямой у- 2-х. Решая уравнениеV ~ 2-х, находим xt = -2, л* = I.
Данная фигура (рис. ?) состоит из двух частей: первой - ограничен - ной сверху параболой (0 <х £1), и второй - ограниченной сЫрху прямой (I <х £2). Снизу фигура ограничена прямой у ~ 0.
35
• У
Поэтому |
V = V,+Vj = |
|
|
|
= яг|*4 А+я|(2-лс)г А = я |
a - x f |
П |
8 |
|
Ч |
- + - |
= — яг. |
||
|
|
5 У |
15 |
Тема 4, Функции нескольких и^реме^уых
Вопросы
LОпределение функции двух и более переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных.
2.Частные производные, их геометрический смысл для функции двух переменных.
3.Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных функций, инвариантность формы полного дифференциала.
4. Дифференцирование неявных функции: /(х, у) = 0, F(xt у, z) = 0.
5.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
6.Частные производные высших порядков. Формулировка теоремы о независимости частных производных от последовательности диф-
ференцирования. -
7.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума:
8.Достаточные условия экстремума для функции двух переменных.
9.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
J О, Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
Зб
П.Эмпирические формулы. Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.
Контрольные задания
Задание 4.1. Найти полный дифференциал функции. В а р и а н т ы
1, |
+ |
2.z -sin2(2х- |
у). |
3.x~intg~£. |
|
4.z~arctg |
— . |
5.z=t]co42x-у). |
|
6.z-ex |
. |
10. 2 • |
\3 ' |
|
|
|
|
|
P - s ) ' |
|
|
Задание 4.2 |
|
l. Дана функций z= |
Показать,что |
— = 0. |
у |
|
defy ty |
2.Дана функция z = sinfx + ay). Показать, что —г =- aа 2 —1
л& *
3. |
Дана функция z = е*у. |
Показать, что |
хг |
~ |
- у2 ~ = 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
<3г |
Ф |
4. |
Дана функция z |
х |
|
|
|
|
|
|
|
гт |
z |
~ |
|
z |
|
л |
|
|
Показать,что х |
—- + 2ху—-г |
+ у*—- |
= о. |
|
|||
|
|
ас2 |
|
|
|
|
|
|
5. |
Дана функция z = In - |
+х3- у3. |
|
|
|
|
||
|
|
.У |
- |
|
|
|
|
|
|
Показать,что |
ас |
у— = 3fjr3 |
' |
/ |
|
|
|
|
|
ф |
v |
|
|
6. Дана функция z = у in х +xln у.
п |
Л |
• Л |
Показать, что х — |
у — = х + у ± z. |
|
|
& |
J ду |